1 第5节 第2课时 一元二次不等式恒（能）成立问题(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第二课时　一元二次不等式恒(能)成立问题　► 对应学生用书P18 考点1　一元二次不等式恒成立问题 　在实数R上恒成立 [例1] (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　 ) A．0 B．－24 C．－20 D．－2 解析：选ACD.当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则⇒－24<k<0，于是－24<k≤0. 【思维升华】　一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 　在给定区间上恒成立 [例2] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m<在x∈[1，3]上恒成立． 令y＝， 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是. 答案： 【思维升华】　给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 　给定参数范围的恒成立问题 [例3] (2024·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　 ) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C.[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：选D.不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. 【思维升华】　给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 跟踪训练1 (1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　 ) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选A.当k＝0时，该不等式为8≥0，成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立， 只需解得0<k≤1， 综上所述，k的取值范围是[0，1]. (2)若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈成立，则x的取值范围为(　　 ) A.∪ B．∪ C. D． 解析：选A.由题得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈成立， 所以即 解得x≥3或x≤－8. (3)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈都有f(x)<0，则实数m的取值范围为________________． 解析：因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图象是开口向上的抛物线，所以要使对于任意的x∈都有f(x)<0成立， 解得－<m<0，所以实数m的取值范围为(－，0). 答案：(－，0) 考点2　一元二次不等式能成立问题 [例4] (2024·山西太原五中模拟)已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(－∞，) B． C．(，＋∞) D． 解析：选A.问题转化为m<在(0，2]上有解，设g(x)＝，则g(x)＝＝，x∈(0，2]，又x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，则g(x)max＝＝，故m<. 【思维升华】　能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； (2)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} 解析：选C.因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅， 所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R. 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时，需满足解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}． (2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　 ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≥ 解析：选C.由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解， 得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤， 由于＝x＋，而y＝x＋在[1，2]上单调递增， 故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≤. (3)(2024·安徽安庆模拟)若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，则实数m的取值范围为________． 解析：因为f(x)＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴为直线x＝－， ①当－≤－2，即m≥4时，f(x)min＝f(－2)＝4－2m＋3－m≤0，即m≥，∴m≥4； ②当－2<－<2，即－4<m<4时，f(x)min＝f＝－＋3－m≤0，解得m≥2或m≤－6，∴2≤m<4； ③当－≥2，即m≤－4时，f(x)min＝f(2)＝4＋2m＋3－m≤0，解得m≤－7. 综上，m≥2或m≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$