1 第5节 第1课时 一元二次不等式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第5节　一元二次方程、不等式 [课标要求]　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式． 第一课时　一元二次不等式　　　　► 对应学生用书P13 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2 或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [思考]　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？ 提示：ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (5)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1).(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(人教A版必修一·P52例3改编)不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　 ) A．{x|x≤－1或x≥} B．{x|－1≤x≤} C．{x|x≤－或x≥1} D．{x|－≤x≤1} 解析：选D.将不等式变形为2x2＋7x－9≤0，解得－≤x≤1，所以解集为{x|－≤x≤1}． 3．(湘教版必修一·P53例4改编)不等式<0的解集为(　　 ) A．∅ B．(2，3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选B.<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3. 4．(北师大版必修一·P41习题1－4B组T1改编)已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　 ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：选B.因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2. 5．(苏教版必修一·P64T11改编)已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 答案：[1，3] 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　三个“二次”之间的关系 [例1] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集是(　　 ) A．{x|0<x<3} B．{x|x<0或x>3} C．{x|1<x<3} D．{x|－1<x<3} 解析：选A.由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0.　① 又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，所以a<0，且 即　② 将①两边同除以a，得x2＋x＋<0.　③ 将②代入③，得x2－3x<0，解得0<x<3. 【思维升华】　(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 跟踪训练1 (1)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(　　 ) A．R B．∅ C．{x|－1<x<3} D．{x|x<－1或x>3} 解析：选D.由得故不等式ax2＋(b－1)x－3>0可化为x2－2x－3>0，即(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>3. (2)已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|m<x<m＋4}，则实数c的值为(　　 ) A．9 B．8 C．6 D．4 解析：选D.由题意得x＝－时，y＝＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|m<x<m＋4}，∴方程x2＋ax＋－c＝0的根为m，m＋4，即m＋m＋4＝－a，解得m＝，∴m＋＝－2，又m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝＝4. 考点2　一元二次不等式的解法 　不含参数不等式的解法 [例2] (1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　 ) A． B． C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 解析：选D.原不等式等价于即x<且x≠0. (2)已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝(　　 ) A．{x|－2<x<1} B．{x|1<x<2} C．{x|－2<x<3} D．{x|－2<x<2} 解析：选C.因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<3}． 【思维升华】　解一元二次不等式的一般步骤 　含参数不等式的解法 [例3] 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为{x|－<x<4}，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解：(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0. 因为f(x)<0的解集是， 所以a>0且－＝－，解得a＝3. (2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0， 当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为； 当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅； 当4>－，即a<－时，原不等式的解集为. 综上所述，当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为. 【思维升华】　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类如下： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练2 (1)若集合A＝{x|－x2－x＋6>0}，B＝，则A∩B＝(　　 ) A.(－3，3) B．[－2，3) C．(－2，2) D．[－2，2) 解析：选D.将－x2－x＋6>0化为x2＋x－6<0，解得－3<x<2，则A＝(－3，2).由≤－1得≤0，即解得－2≤x<3，则B＝[－2，3)，所以A∩B＝[－2，2). (2)解关于x的不等式． ①>1； ②m>0时，mx2－mx－1<2x－3. 解：①移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0， 即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－， 所以不等式的解集为. ②移项得mx2－(m＋2)x＋2<0， 对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1， 当>1，即0<m<2时，解得1<x<； 当＝1，即m＝2时，原不等式无解； 当<1，即m>2时，解得<x<1. 综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为； 当m＝2时，原不等式的解集为空集； 当m>2时，原不等式的解集为. 考点3　一元二次不等式在实际问题中的应用 [例4] 某商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时该商品的每件定价． 解：(1)设每件定价为t元， 依题意得[8－(t－25)×0.2]t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元． (2)依题意知，当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋x＋(x2－600)有解， 等价于当x>25时，a≥＋x＋有解， 由于＋x≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2. 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 【思维升华】　一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 跟踪训练3 (2024·福建龙岩联考)某企业用1 960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2 800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元). (1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2 000元，则该楼房最多建多少层？ (2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ 注：综合费用＝建筑费用＋购地费用． 解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元，则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565. 因为＋70x＋565≤2 000，结合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈Z，所以该楼房最多建12层． (2)由(1)可知该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565， 因为＋70x≥2＝2×700＝1 400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，为1 400＋565＝1 965元． 学科网（北京）股份有限公司 $$