1 第4节 基本不等式(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第4节　基本不等式　　　　　► 对应学生用书P9 [课标要求]　1.了解基本不等式的推导过程．　2.会用基本不等式解决简单的最值问题．　3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤(a，b∈R). (4)≥(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. [提醒]　利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，忽视任何一个条件，就会出错． [思考]　若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的．(　　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(人教A版必修一·P45例1改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时等号成立． 3．(北师大版必修一·P31T7改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　 ) A．4 B． C． D．2 解析：选B.依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为. 4．(多选)(苏教版必修一·P57习题T1改编)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．3x≥3y B．≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 解析：选AD.由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 5．(北师大版必修一·P30练习T1改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 答案： 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用基本不等式求最值 　配凑法 [例1] (1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　 ) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 解析：选D.由题意可知，x－2>0，所以y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，所以函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2. (2)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　 ) A． B． C．3 D．9 解析：选C.∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝×＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3. 【思维升华】　1.配凑法的运用技巧 配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记： (1)一正：各项或各因式均为正； (2)二定：和或积为定值； (3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值． 利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．2.配凑法求解最值应注意的问题 (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 　常数代换法 [例2] 已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________． 解析：令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，∴＋＝＋＝·(m＋n)＝≥×(2 ＋2)＝，当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立， ∴＋的最小值为. 答案： 【思维升华】　1.常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题． 2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 　消元法 [例3] (2024·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________，xy的最大值为________． 解析：(1)法一(换元消元法)　由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)　由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6. (2)由已知得9－xy＝x＋3y≥2，令＝t，则t>0， 有9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0<t≤， 所以≤，即xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 所以xy的最大值为3. 答案：6　3 【思维升华】　利用消元法求最值的技巧 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，则可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元). 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝＋x，则(　　 ) A．f(x)有最小值 B．f(x)有最小值－ C．f(x)有最大值－ D．f(x)有最大值－ 解析：选D.∵x<，∴－x>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋＝－[＋]＋≤－2＋＝－，当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－. (2)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　 ) A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 解析：选A.由题意可知＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当＝，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16. (3)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 解析：∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝.∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值为. 答案： 考点2　基本不等式的常见变形应用 [例4](1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 解析：选C.∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>，∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a. (2)(2024·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　 ) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤(a>0，b>0) 解析：选D.由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF＝＝， ∵CF≥OF， ∴≥(a＋b)(a>0，b>0). 【思维升华】　基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤. (2)≤≤≤ (a>0，b>0). 跟踪训练2 (1)(2024·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　 ) A. B．＋ C． D． 解析：选B.∵a，b为互不相等的正实数， ∴＋>，<＝<，<＝<， ∴最大的是＋. (2)(多选)(2024·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．0<≤ B．＋≥1 C．log2a＋log2b<2 D．≤ 解析：选BD.因为a>0，b>0，所以ab≤≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，则ab≤＝4或≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，a2＋b2≥8，≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立； 对于B选项，＋＝＝≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立． 考点3　基本不等式的实际应用 [例5] 某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， 所以1＝3－k，解得k＝2，所以x＝3－， 每件产品的销售价格为1.5×(元)， 所以2021年的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0). (2)因为m≥0，＋(m＋1)≥2 ＝8， 所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). 故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 【思维升华】　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)(＋8)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案：12 学科网（北京）股份有限公司 $$