1 第3节 等式性质与不等式性质(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第3节　等式性质与不等式性质　► 对应学生用书P7 [课标要求]　理解不等式的概念，掌握不等式性质，会利用不等式性质判断相关命题的真假． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). [提醒]　(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一个负数，不等号方向改变． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若>1，则a>b.(　　 ) (2)0<a<x<b或a<x<b<0⇔<<.(　　 ) (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 (－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (4)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(人教A版必修一·P43习题T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 解析：选D.对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误． 对于B，当a<0<b时，<，故B错误． 对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误． 对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(多选)(北师大版必修一·P26例3改编)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 解析：选ABD.C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误． 4．(苏教版必修一·P49例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为_______________． 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N. 答案：M＞N 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　比较两个数(式)的大小 1．若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　 ) A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解析：选B.p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝， 因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q. 2．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　 ) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：选B.由题意得B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B. 3．若a＝，b＝，c＝，则(　　 ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：选B.法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c. 即c<b<a. 法二　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，由f′(x)>0，得0<x<e；由f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数．∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c. 4．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 解析：＝＝，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 答案：eπ·πe＜ee·ππ 【思维升华】　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：利用函数的单调性比较大小． (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 考点2　不等式的基本性质 [例1] (1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　 ) A.2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c) C.> D．(a－c)3>(b－c)3 解析：选D.∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误； 取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误； 由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确． (2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　 ) A．ad>bc B．＋<0 C.a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) 解析：选BCD.因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误； 因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确； 因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确； 因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确． 【思维升华】　(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 跟踪训练1 (1)(2024·福州一模)“0＜a＜b”是“a－＜b－”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.∵y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，∴当0＜a＜b时，a－＜b－，充分性成立； 当a－＜b－时，不能推出0＜a＜b，例如a＝1，b＝－满足a－＜b－，但不满足0＜a＜b，必要性不成立，∴“0＜a＜b”是“a－＜b－”的充分不必要条件． (2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　 ) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 解析：选AC.由<<0，可知b<a<0. A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，则<，故A正确； B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确； D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误． 考点3　不等式性质的综合应用 [例2] (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________． 解析：∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2. 答案：(－4，2) (2)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． 解析：∵4<b<9，∴<<，又3<a<8，∴×3<<×8，即<<2. 答案： (3)已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则∴ 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴－<(x＋y)<10，1<(x－y)<， ∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，∴3x＋2y的取值范围为. 【思维升华】　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 跟踪训练2 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　 ) A．[－7，4] B．[－6，9] C．[6，9] D．[－2，8] 解析：选A.因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 解析：由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a，2a>－c，>－2； －a－c>c，－a>2c，<－；所以－2<<－. 答案：－2<<－ 学科网（北京）股份有限公司 $$