1 第2节 常用逻辑用语(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第2节　常用逻辑用语　　　　　　► 对应学生用书P4 [课标要求]　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件，也可以说p⇔q. [提醒]　(1)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇒“若p，则q”为真命题． (2)在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>3(小范围)⇒x>2(大范围)，x>2(大范围)/⇒x>3(小范围). 2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” ∀ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些” ∃ 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 定义 结构 简记 全称量 词命题 含有全称量词的命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 存在量 词命题 含有存在量词的命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) 4.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， ¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) [点拨]　因为命题p与¬p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　 ) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　 ) (3)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．(　　 ) (4)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(人教A版必修一·P27例1改编)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ 解析：选AC.对于A，∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A选项是全称量词命题且为真命题； 对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以≤<，故D选项是存在量词命题且为假命题． 3．(人教A版必修一·P22习题T2改编)设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当x>1时一定能够得到|x|>1，但是|x|>1却不一定得到x>1，也可以是x<－1. 4．(湘教版必修一·P14例2改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定 ¬p为(　　) A．∀n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 解析：选C.由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为∃n∈N*，n2≤n－1. 5．(北师大版必修一·P18练习T1改编)使－2<x<2成立的一个充分条件是(　　) A．x<2 B．0<x<2 C．－2≤x≤2 D．x>0 解析：选B.由0<x<2⇒－2<x<2知选B. 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　充分、必要条件的判定　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　 ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C.法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t， 即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得：an ＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确． 法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D， 即Sn ＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 当n≥2时，上两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立， 于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 2．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos (2kπ＋)＝cos ＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，而sin (kπ＋)＝1或－1，故必要性不成立，所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件． 3．p：x，y∈R，x2＋y2<2，q：x，y∈R，|x|＋|y|<2，则p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.如图所示，“x2＋y2<2”对应的图象为半径为的圆的内部，“|x|＋|y|<2”对应的图象为正方形的内部，则“x2＋y2<2”是“|x|＋|y|<2”的充分不必要条件． 4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m⊥l”是“m∥α”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由l⊥α，m⊥l⇒m∥α或m⊂α，由l⊥α，m∥α⇒m⊥l，所以“m⊥l”是“m∥α”的必要不充分条件． 【思维升华】　判断充分、必要条件的三种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解． 考点2　充分、必要条件的应用 [例1] (1)(多选)使不等式1＋>0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x>2 B．x≥0 C．x<－1或x>1 D．－1<x<0 解析：选AC.不等式1＋>0⇔>0⇔(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞).A，B，C，D四个选项中，只有A，C对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集． (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． 解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， ∴解得0≤m≤3. 答案：0≤m≤3 [变式] 1．(变条件)将本例(2)条件中“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：∵x∈P是x∈S的充分不必要条件， ∴PS，∴或解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由． 解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}， 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ∴∴这样的m不存在． 【思维升华】　(1)选择题中求充分不必要条件问题，是由选项推出题干，但是题干不能推出选项，而选择题中求必要不充分条件问题，是由题干推出选项，但是选项不能推出题干．对于充分、必要条件的探求，一般化为集合问题. (2)充分条件、必要条件求参数的两个注意点： ①先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．若直接解决较为困难时，则可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决． ②要注意区间端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 跟踪训练1 (1)(2024·湖南岳阳模拟)下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是(　　) A．a－2>b B．a＋2>b C．|a|>|b| D．> 解析：选B.a>b无法推出a－2>b，故A错误；a>b能推出a＋2>b，故选项B是a>b的必要条件，但a＋2>b不能推出a>b，不是充分条件，满足题意，故B正确；a>b不能推出|a|>|b|，故选项C不是a>b的必要条件，故C错误；a>b无法推出>，如a>b>1时，故D错误． (2)(2023·山东济南二模)已知条件p：x－a＜0，条件q：向量a＝(2，－1)，b＝(3，x)的夹角为锐角．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________． 解析：由x－a＜0，得x＜a，又由向量a＝(2，－1)，b＝(3，x)的夹角为锐角，得a·b>0且向量a，b不共线，所以解得x＜6且x≠－.因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x＜a}是的真子集，所以a≤－. 答案：(－∞，－] 考点3　全称量词与存在量词 　含量词命题的否定 [例2] (1)(2024·湖北襄阳四中模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为(　　) A．∃x<0，ex<1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex<1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex≥1或sin x≥1 D．∃x<0，ex≥1或sin x≤1 解析：选B.命题是全称量词命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1. (2)(2023·重庆第八中学模拟)命题p：有的等差数列是等比数列，则(　　) A．¬p：有的等差数列不是等比数列 B．¬p：有的等比数列是等差数列 C．¬p：所有的等差数列都是等比数列 D．¬p：所有的等差数列都不是等比数列 解析：选D.因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”． 【思维升华】　否定全称(存在)量词命题，一是改变量词，二是否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．　含量词命题的真假判断 [例3] (1)(多选)下列命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x－1>0 B．∃x∈R，x2＋1＜2x C．∀xy>0，x＋y≥2 D．∃x，y∈R，sin (x＋y)＝sin x＋sin y 解析：选AD.对于A项，∀x∈R，2x－1>0，A项正确；对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误；对于C项，当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2，C项错误；对于D项，取x＝y＝0，则sin (x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确． (2)(多选)下列命题是真命题的是(　　 ) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∀x∈R，x4< x5 D．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 解析：选AD.当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，当sin (x＋)＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题； x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题． 【思维升华】　(1)判断全称量词命题真假的方法 ①定义法：若对于给定的集合中的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真． ②特值法：若在给定的集合内找到一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假． (2)判断存在量词命题真假的方法 特值法：若在给定的集合中找到一个x，使p(x)为真，则存在量词命题为真，否则命题为假. 　含量词命题的应用 [例4] (1)若“∃x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为__________． 解析：若“∃x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则“∀x∈，2x2－λx－1≥0成立”是真命题，分离参数得λ≤＝2x－.设f(x)＝2x－，x∈，则f′(x)＝2＋＞0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝－1，所以λ≤－1. 答案：(－∞，－1] (2)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_______________． 解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥. 答案：[，＋∞) 【思维升华】　根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．若直接求不易求得，则利用p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．对于恒成立问题或有解问题，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围. 跟踪训练2 (1)(2024·河北涿州一模)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则命题p的否定且判断所得命题真假正确的为(　　) A．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，真命题 B．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，假命题 C．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，真命题 D．命题p的否定：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，假命题 解析：选B.由题意，命题p的否定是：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，由于Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p的否定为假命题． (2)(2023·河北邯郸摸底)已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是_____________． 解析：由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立． ①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则解得0＜a＜4. 综上，实数a的取值范围是[0，4). 答案：[0，4) 学科网（北京）股份有限公司 $$