1 第1节 集合(Word教参)-【正禾一本通】2025年高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教版）

第一章　　集合、常用逻辑用语及不等式 第1节　集　合　　　　　　► 对应学生用书P1 [课标要求]　1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算． 备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R [提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋都表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A⫋B (或B⫌A) 集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B [提醒]　空集是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A 或x∈B} A∩B＝{x|x∈A 且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U 且x∉A} 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　 ) (2)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　 ) (3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．(　　 ) (4){－1}∈{x|x2＋x＝0}．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(人教A版必修一·P14习题T1改编)设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝(　　 ) A．{1，2} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{0，1，2，3} 解析：选B.由题意，集合A＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝，又由B＝，根据集合交集的概念及运算，可得A∩B＝{1，2，3}． 3．(北师大版必修一·P7例4改编)已知集合A＝{x∈N∣x2－6x＋8≤0}，则A的真子集个数是(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.因为A＝{x∈N∣x2－6x＋8≤0}＝＝，所以A的真子集个数是23－1＝7. 4．(人教B版必修一·P14练习BT4改编)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若AB，则a的取值范围为________． 解析：由|x－a|<1得－1<x－a<1， 所以a－1<x<a＋1，由AB得或所以2≤a≤4. 答案：2≤a≤4 备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　集合的含义与表示 1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5，6，7，8}，即C中元素的个数为4. 2．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 023＋b2 023＝(　　 ) A．1 B．0 C．－1 D．±1 解析：选C.由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 023＋b2 023＝－1. 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　 ) A. B． C．0 D．0或 解析：选D.若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝. 所以a的值为0或. 【思维升华】　解集合含义与表示问题的技巧 (1)明确集合中的元素类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合； (2)清晰集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性； (3)注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数； (4)理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件． 考点2　集合间的基本关系 [例1] (1)已知集合P＝，Q＝{x|－2<x<2}，则(　　 ) A．P⊆Q B．Q⊆P C．P∩Q＝P D．P∪Q＝Q 解析：选B.因为P＝，Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P，P∩Q＝Q，P∪Q＝P. (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：因为B⊆A，所以 ①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2. ②若B≠∅，则解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 答案：(－∞，3] [变式] (变设问)在本例(2)条件下，是否存在实数m使得AB，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由． 解：由题意，若A⫋B，需或无解，所以不存在满足条件的m. 【思维升华】　1.判断两集合关系的方法 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个． (2)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 解析：∵A∩B＝A，∴A⊆B，∵B＝＝，∴∴m≥5，∴mmin＝5. 答案：5 考点3　集合的基本运算 　集合的运算 [例2] (1)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　 ) A．{－4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3} 解析：选D.由x2－3x－4<0，得－1<x<4，即集合A＝{x|－1<x<4}，又集合B＝{－4，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}． (2)设全集U＝R，A＝{x|4－x2≥0}，B＝{x|x≤－1}，则如图阴影部分表示的集合为(　　 ) A．(－1，2] B．[－1，2] C．[－2，－1) D．(－∞，－1] 解析：选A.易知阴影部分为集合A∩(∁UB)，由题意得A＝{x|－2≤x≤2}，∁UB＝{x|x>－1}，结合数轴得A∩(∁UB)＝(－1，2]. 【思维升华】　集合运算的两种常用方法 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． 　利用集合的运算求参数 [例3] (1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B.法一　易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2. 法二　由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意，排除D. (2)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　 ) A．[2，＋∞) B． C． D．(－∞，2] 解析：选C.B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥. 【思维升华】　(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 跟踪训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|0<x<m}，若A∪B＝{x|－1<x<5}，则m＝(　　 ) A．－1 B．3 C．5 D．10 解析：选C.由题知，A＝(－1，3)，∵A∪B＝(－1，5)，B＝(0，m)，∴m＝5. (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A.由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确； ∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，选项B错误； M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误； ∁UN＝＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1或x≥2}，选项D错误． 考点4　集合的新定义问题 [例4] 设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝∪.若A＝，B＝，则A*B表示的6位字符串是(　　 ) A．101010 B．011001 C．010101 D．000111 解析：选C.由题意可得若A＝，B＝，则A*B＝，所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符均为0，即A*B表示的6位字符串是010101. 【思维升华】　解决集合新定义问题的两策略 (1)紧扣新定义．先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中． (2)用好集合的性质．集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质． 跟踪训练3 设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________． 解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞). 答案：{0}∪[2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$