精品解析：山东省广饶县第一中学2024-2025学年高二上学期开学收心考试数学试题

高二开学收心考试数学 2024.8 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 不共面的四点最多可确定（ ）个平面 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ） A. 一定在直线BD上 B. 一定直线AC上 C. 在直线AC或BD上 D. 不在直线AC上，也不在直线BD上 7. 如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A B. C. D. 8. 在中，，，，（），则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正四棱锥底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 11. 在三角形内，下列说法中正确的是（ ） A. 若三角形是锐角三角形，则 B. 若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形 C. 是的必要条件 D. 若，则直线一定经过这个三角形的外心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为______. 13. 如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________. 14. 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的内切球的表面积. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若是的中点，且，，求. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. （1）若函数，求函数的“相伴向量”； （2）若函数为向量“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学收心考试数学 2024.8 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】由得，，所以. 故选：A. 2. 不共面四点最多可确定（ ）个平面 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正四棱台的体积，再利用，且四棱柱的底面是边长为4的正方形，求解即可． 【详解】因为正四棱台的下底面边长是上底面边长的倍， 所以令正四棱台下底面边长为，上底面边长为， 所以， 由题意可得：，且四棱柱的底面是边长为的正方形， 设四棱柱中水的高度为， 所以，解得，即四棱柱中水的高度为． 故选：B． 5. 已知，，且在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：， 又，，则， 所以. 故选：D. 6. 在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（ ） A. 一定在直线BD上 B. 一定在直线AC上 C. 在直线AC或BD上 D. 不在直线AC上，也不在直线BD上 【答案】B 【解析】 【分析】先说明点P在平面ABC，且在平面ACD上，进而得到答案. 【详解】如图， ∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD． 又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC. 故选：B． 7. 如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，分别用含的式子表示出和，再结合已知条件，列方程求解即可． 【详解】在中，，所以， 在中，，所以， 因为，两点间距离为， 所以，解得． 故选：C． 8. 在中，，，，（），则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于的函数，利用函数的观点即可求最小值. 【详解】因为 所以 又因为，，， 所以 所以 当时，，即， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先由外接球的表面积得到外接球半径，连接AC、BD交于点E，分别球心O在线段PE上和球心在PE的延长线上，即可求出结果. 【详解】因为正四棱锥的底面积为3，所以底面边长为， 又因为外接球的表面积为，所以球的半径r为. 连接AC、BD交于点E，设球心为O，则， 当球心O在线段PE上时，则， 所以正四棱锥的体积为； 当球心在线段PO的延长线上时，则， 所以正四棱锥的体积为； 故选：AB. 10. 函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期为，故A正确； 因为，所以的图象关于对称，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 在三角形内，下列说法中正确的是（ ） A. 若三角形是锐角三角形，则 B. 若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形 C. 是的必要条件 D. 若，则直线一定经过这个三角形的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据余弦定理，奔驰定理，向量的数量积的定义，以及三角函数的单调性，逐个选项进行判断求解即可. 【详解】对于A，若三角形是锐角三角形，，所以， 在锐角三角形中，不妨设，所以，又因为，所以，，得，所以，有，A正确； 对于B，O是三角形的内心，且满足，根据角平分线的性质和奔驰定理（证明见备注），可得，设， 得，所以，该三角形一定是钝角三角形，B正确； 备注：证明过程：已知是内的角平分线，，，的面积分别为，，，求证：. 证明：延长与边相交于点，则，，∵，∴，∴，所以，设内切圆的半径为，，则，整理得， . 对于C，只证必要性即可，因为，，当，时，，；当，时，，则有，所以，成立，所以，必要性成立；所以，C正确； 对于D，，因为 ，所以， ，因此，所以，直线一定经过这个三角形的垂心，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形，又知，，则平面图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出梯形的面积，再根据公式，即可求解. 【详解】过作垂直于点，如图所示， 因为是直角梯形， 所以四边形是矩形， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 13. 如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，设点的新位置为，则可得当A，P，三点共线时，的长为的最小值. 【详解】连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合， 设点的新位置为，连接，则有，如图所示. 当A，P，三点共线时，的长为的最小值， 因为，，所以. 又，所以是边长为的正三角形，. 又，所以，所以， 由勾股定理可得. 故答案为：7 14. 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响，则3人中至少有一人被选中的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算3人都没被选中的概率，然后利用对立事件的概率公式求解. 【详解】记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B、C，则 可得， 3人都没被选中的概率， 所以3人中至少有1人被选中的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，. （1）若，求； （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到，再利用向量夹角的坐标表示即可. 【小问1详解】 因为， 又因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 所以， 所以. 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为. （1）求圆锥的体积； （2）求圆锥的内切球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解. 【小问1详解】 由题意圆锥的底面半径为，设母线长为，圆锥的高为， 由圆锥的侧面积公式得：，解得，所以. 由圆锥的体积公式得:. 【小问2详解】 如图所示， 圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为， ∵相似于， ∴，即， 解得：，所以内切球表面积：. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若是中点，且，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【小问1详解】 因为， 又正弦定理可得， 则， 即，所以， 又，所以，所以，又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 在中，由余弦定理可得， 即，所以. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点. （1）求； （2）连接，交于点，求； （3）若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【小问1详解】 因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以. 【小问2详解】 设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问3详解】 在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 19. 设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. （1）若函数，求函数的“相伴向量”； （2）若函数为向量的“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据相伴向量的概念即可求解； （2）①由函数变换得，令，得，根据题意在内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a的范围； ②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解． 【小问1详解】 由题意，函数 所以的“相伴向量”； 【小问2详解】 因为函数为向量“相伴函数”， 所以， 由题意，函数， ， 由，可得， 令，则， 根据题意在内有两个不同的实根， 关于的方程的一个根在区间，另一个根在， 当一个根为0时，即，所以， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根是，即，解得， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根在，另一个根在， 则有，解得； 当一个根是1，另一个根在内， 由得， 此时方程为，解得或，不合题意； 综上，a的取值范围是； ② 设为方程的两个不相等的实数根，且， 由①知，，所以，即， ，所以关于对称，则， 所以，即， 由且，可得， 因为，所以， 所以， 所以，又，且 所以，所以， 整理得， 因为，所以，解得或，又， 所以， 所以，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题中，第①题的关键是先图象变换得到，然后得到，换元后构造二次函数，转化为方程在内有两个不同的实根，再进行分类讨论即可得解；第②题的关键是，巧妙的将二次函数及三角函数结合起来，在三角恒等变换后，通过换元，再一次转化为一元二次方程根的分布问题，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$