小升初拓展培优：环形跑道问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学北师大版

环形跑道问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、环形跑道问题的基本概念 环形跑道问题主要关注在环形路径上运动的物体（如人、车、动物等）之间的相对位置变化。这些物体可能以相同的方向或相反的方向运动，也可能具有不同的速度。 二、环形跑道问题的基本题型 1、首次相遇问题： （1）同向运动：当两个物体以不同的速度同向运动时，快者会追上慢者，形成首次相遇。此时，追击距离 等于环形跑道的周长，追击时间可以通过公式“追击时间 = 环形跑道周长 / (快者速度 - 慢者速度)”计算 得出。 （2）相向运动：当两个物体以不同的速度相向运动时，它们会在某一点相遇。此时，相遇时间可以通过公 式“相遇时间 = 环形跑道周长 / (快者速度 + 慢者速度)”计算得出。 2、N次相遇问题： 无论是同向还是相向运动，N次相遇的距离都是N倍的环形跑道周长。因此，追及时间或相遇时间可以通 过单次追及时间或相遇时间乘以N来得出。 3、特殊情境问题： 某些环形跑道问题可能涉及更复杂的情境，如物体在环形跑道上的不同位置出发、物体速度随时间变化等。这类问题通常需要结合具体情况进行分析和求解。 三、环形跑道问题的解题技巧 1、明确问题类型：首先判断题目属于哪种环形跑道问题类型，是首次相遇还是N次相遇，是同向运动还 是相向运动。 2、画出运动示意图：通过画图的方式帮助理解题目中的运动关系，特别是当物体在环形跑道上的位置关 系较为复杂时。 3、利用公式求解：根据题目中的条件列出相应的公式或关系式，并代入已知数值进行计算。 4、注意单位统一：在计算过程中要注意速度、时间和距离的单位是否统一，避免因单位不一致而导致的 计算错误。 【典例1】在500米的圆形跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米都要休息10秒。甲需要多少秒才能追上乙？ 【答案】解：100+5+10=30 （秒），甲每30秒跑100米。 100+4+10=35 （秒），乙每35秒跑100米。 [30，35]=210=30×7=35×6， 甲每210秒跑700米，乙每210秒600米，此时甲在乙后面600+170-700=70米处， 甲每30秒跑100米，90秒跑300米，14秒跑70米。 乙每35秒跑100米，95秒跑300米（然后休息10秒）。 甲需：210+90+14=314（秒） 答： 甲需要314秒才能追上乙（追上时，乙已休息了9秒）。 【解析】由题意可得，甲跑100米需要（100÷5+10）=30秒，乙跑100米需要（100÷4+10）=35秒，根据30和35的公倍数可分析出在相同时间下甲乙分别跑了多少米，此时再根据相差的距离具体计算即可。 【典例2】甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶，甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头：一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米?（每一次甲车追上乙车也看作一次相通） 【答案】解：①6÷（65+55）=0.05（小时）， 这时距离A点：55×0.05=2.75（千米）； ②6÷（65-55）=0.6（小时） 55×0.6=33（千米），即5圈又3千米， 这时距离A点：3-2.75=0.25（千米） 所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2……3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，即与A点的距离是3000米。 答：第11次相遇的地点距离A点有3000米。 【解析】第一次相遇时间是：6÷（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75（千米），然后乙车调头，变为追及问题，追及时间为：6÷（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程是：速度×追及时间，算出路程发现乙车走了5圈多3千米，这时乙车距离A点的距离是多出的3千米减去相遇时距离A点的距离。此时甲车掉头，又成为相遇问题，同样方法计算。然后乙车掉头，成为追及问题，又重复上述步骤，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶方向与最开始相同。所以得出结论，每4次相遇为一个周期，据此可以解答。 【典例3】环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇。如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米。 （1）求甲乙两人原来的行走速度。 （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 【答案】（1）解：甲乙原来的速度之和是： (米)， 提高速度之后的速度之和是： (米)， 所以提高速度之后二人相遇的时间是： (分钟)， 设甲原来的速度是 米/分， 则提高速度后， 甲的速度是 米/分根据题意可得方程： 解得 则乙原来的速度是： (米/分) 答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分。 （2）解：1920×2÷（90-70） =3840÷20 =192（分） 192×90÷1920 =17280÷1920 =9（圈） 没有余数，说明正好在出发点第二次追上乙。 答： 甲在出发点第二次追上乙。 【解析】（1）根据题意可得：公路长÷相遇时间=甲、乙两人的原速度和；甲、乙两人的原速度和+甲每分钟多走的路程+乙每分钟多走的路程=提速后甲、乙两人的速度和，公路长÷提速后甲、乙两人的速度和=提速后两人的相遇时间；甲的速度×原相遇时间－（甲原来的速度+甲每分钟多走的路程）×提速后的相遇时间=提速后相遇地点与前次相差的距离，据此关系式设甲原来的速度为x米/分，列方程即可解答； （2）根据问题“第二次追上乙”说明两人之间已经相差2圈的距离，因此，公路长×2÷（甲原来的速度－乙原来的速度）=甲第二次追上乙的时间，甲第二次追上乙的时间×甲的速度=第二次追上乙时甲走的路程，甲第二次追上乙的时间×甲的速度÷公路长=走了几圈……余数，如果有余数，则余数是几就是在距离出发点几米的地方追上乙，如果没有余数说明是在出发点追上乙，据此解答即可。 【典例4】甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发，每当甲车追上乙车一次，甲车减速，而乙车则增速，问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行驶了多少千米? 【答案】解：第一次追及的时间： 210÷（160-20） =210÷140 =1.5（小时） 甲车：160×1.5=240（千米） 乙车：20×1.5=30（千米） 第一次追及后两车速度： 甲车：160×（1-） =160× =（千米/小时） 乙车：20×（1+） =20× =（千米/小时） 第二次追及的时间： 210÷（-） =210÷ =（小时） 甲车路程：×=280（千米） 乙车路程：×=70（千米） 第二次追及后两车速度： 甲车：×（1-） =× =（千米/小时） 乙车：×（1+） =× =（千米/小时） 第三次追及的时间： 210÷（-） =210÷ =（小时） 甲车路程：×=420（千米） 乙车路程：×=210（千米） 第三次追及后两车速度： 甲车：×（1-） =× =（千米/小时） 乙车：×（1+） =× =（千米/小时） = 速度相等时刻两车行驶路程： 甲车：240+280+420 =520+420 =940（千米） 乙车：30+70+210 =100+210 =310（千米） 答：当两车行驶速度刚好相等时，甲行驶了940千米，乙行驶了310千米。 【解析】根据已知可知：甲车每次追及后的速度=前一次追及时的速度×（1-），乙车每次追及后的速度=前一次追及时的速度×（1+）；环形公路长度÷（甲车速度－乙车速度）=追及时间，甲车速度×追及时间=甲车路程，乙车速度×追及时间=乙车路程；当速度刚好相等时，它们的行驶路程等于前面每次追及时的路程之和，据此可以解答。 【典例5】绕湖的一周是24千米，小明和小青从湖边某一地点同时出发，反向而行，小明以每小时4千米的速度，每走一小时后休息5分钟，小青以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，两人出发后多长时间第1次相遇？ 【答案】解：小王到第二轮休息结束时花了2小时10分，2小时10分=1小时+5分+1小时+5分，所以小王共走了4×2=8（千米）， 2小时10分=50分+10分+50分+10分+10分，小张走的时间为50分+50分+10分=110分，所以小张走了=11（千米）。 这时两人还相距24-(8+11)=5(千米) 由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这5千米两人共需的时间是：5-(4+6) =0.5 (时) =30 (分) 所以，他们第一次相遇共需2小时10分+30分=2小时40分 答：两人出发后经过2小时40分第一次相遇。 【解析】先求出小王到第二轮休息结束时花的时间，然后计算出小王实际走的时间，再根据“速度×时间”求出小王这段时间内走的路程，同理可求出小张再这段时间内走的路程；然后求出此时两人之间的距离，两人不休息了，计算出还需走的时间，用已走的时间加上还需走的时间就是相遇时间。 1． 3辆汽车在环形公路上试车，3辆汽车跑一圈分别需要30分钟，18分钟，10分钟，现在3辆汽车在同一起点，同时同向而行。问：最少多长时间，它们相遇在一起？ 2．甲、乙两人， 在一圆形跑道上同时同地出发， 反向跑步．已知甲的速度是每分钟 ， 乙的速度是每分钟 ， 在 30 分钟内， 它们相遇了 24 次， 问跑道的长度最多是多少米？ 3．可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去，可可的速度是6米/秒，乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗？如果没有相遇，两人还相距多少米? 4．甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步。出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差100米时俩人第二次相遇，求跑道的长是多少米？ 5．有一个200米的环形跑道，甲、乙两人同时从同一地点同方向出发。甲以每秒0.8米的速度步行，乙以每秒2.4米的速度跑步，乙第二次追上甲时用了多少时间? 6．在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒、5米/秒的速度骑车同时同向出发，沿跑道行驶，问：16分钟内，甲追上乙多少次? 7．小明和爷爷一起去操场散步。如果两人同时同地出发，背向而行，分钟相遇；如果两人同时同地出发，同方向而行，24分钟小明超出爷爷一整圈。问小明和爷爷走一圈，各自需要多少分钟? 8．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟 ， 乙的速度是每分钟 。在 30 分钟内， 它们相迎了24 次， 问跑道的长度最多是多少米？ 9．环形跑道长 400 米，小百和小合从同一地点出发，背向而行快步走，小百的速度是 5 米/秒，小合的速度是 4 米/秒，请问在 30 分钟内两人会相遇多少次？ 10．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？ 11．在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4 分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 12． 甲、乙两车绕周长为 400 千米的环形跑道行驶， 他们从同一地点同时出发， 背向而行， 5 小时相遇， 如果两车每小时各加快 10 千米， 那么相遇点距离前一次相遇地点 3 千米。已知乙车比甲车快， 求甲车原来每小时行多少千米。 13． 甲、乙两车绕周长为 400 千米的环形跑道行驶， 从同一地点同时出发， 背向而行， 5 小时相遇； 如果两车每小时各加快 10 千米， 那么相遇点距离前一次相遇地点 3 千米， 已知乙车比甲车快， 求原来甲车每小时行多少千米？ 14．一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇？ 15．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 16．两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 17．两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇？ 18．小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 19．在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 20．甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求原来每小时行多少千米？ 21．在400米的环形道路上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑10米，乙每秒跑9米，每人每跑100米都要停10秒．那么甲追上乙需要多少秒？ 22．一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇? 23．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？ 24．有一个200米的环形跑道，甲、乙两人同时从同一地点同方向出发．甲以每秒0.8米的速度步行；乙以每秒2.4米的速度跑步，乙在第2次追上甲时用了多少秒？ 25．在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米．甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟．那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 26．甲、乙、丙三人环湖跑步锻炼，同时从湖边一固定点出发，乙、丙二人同向，甲与乙丙反向，在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙．已知甲速遇乙速的比是3：2，湖的周长是2000米．求甲、乙、丙三人的速度每分钟各是多少米？ 27．如图﹐在长为400公尺的环形跑道上﹐A﹑B两点之间的跑道长100公尺．甲从A点﹑乙从B点同时出发相背而跑．两人相遇后﹐乙即转身与甲同向而跑﹐当甲跑到A时乙恰好跑到B．继续跑若甲追上乙时﹐甲从出发开始算起共跑了多少公尺﹖ 28．甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求原来每小时行多少千米？ 29．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，甲的速度是每分钟280米，乙的速度是每分钟240米。经过多长时间甲第一次追上乙？ 30．标准的400米跑道的弯道是半圆形，且最内圈的半径是36米，每条跑道宽1.2米，江滨小学体育老师要在这样的跑道上画400米赛跑的起跑线， 第5跑道的运动员要比第2跑道的运动员起跑点提前约多少米？(得数保留两位小数)(π取3.14) 1．【答案】解：30=2×3×5，18=2×3×3，10=2×5 所以30、18、10的最小公倍数为2×3×3×5=9×10=90 答：最少90分钟，它们相遇在一起。 【解析】因为是在环形公路上试车，三辆车跑一圈所用的时间都不同，所以可以计算出当它们跑了一定数量的圈数以后得到的时间一样，这个时间就是它们相遇的时间。所以算出30，18，10的最小公倍数，这样就是在最少时间内，它们会相遇。 2．【答案】解：30×（180+240） =30×420 =12600（米） 12600÷24=525（米） 答：跑道的长度最多是525米。​​​​​​ 【解析】根据相遇问题的经验可知两人相遇一次即走了一个跑道的长度，所以相遇24次即走了24个跑道的长度，而跑道的长度要最大就不需要考虑这30分钟内走的总路程除了相遇外还有没有相遇的路程长度，因此用两人30分钟内走的总路程除以24即为一个跑道的最多长度；（甲的速度+乙的速度）×时间=两人30分钟内所走的总路程，两人30分钟内所走的总路程÷24=跑道最大的长度，据此可以解答。 3．【答案】解：（6+4）×30 =10×30 =300（米） 400>300 400-300=100（米） 答：两人没有相遇，还相距100米。 【解析】可可的速度 +乐乐的速度=两人的速度和，（可可的速度 +乐乐的速度）×跑步时间=两人的路程和。然后用两人的路程和与跑道长比较：如果路程和等于跑道长度说明两已经相遇；如果路程和小于跑道长度说明两人还没有相遇，跑道长度与路程和的差就是两人之间相距的距离；如果路程和大于跑道长度说明两人已经相遇并又向相反方向跑了一段距离了。 4．【答案】解：半跑道长为x米，则有 3(x-60)=2x-100 3x-180=2x-100 x=80 2x=2×80=160 答： 跑道的长是 160米。 【解析】根据第一次相遇甲、乙共跑了半圈，其中甲跑了60米。设半跑道长为x米，则乙在俩人第一次相遇时跑了(x-60)米。又因为从出发到甲、乙第二次相遇共跑了3个半圈长，由于他俩匀速跑步，在3个半圈长里乙应跑3(x-60)米，而这个距离恰好是乙跑一圈还差100米，即(2x-100)米，根据此数量关系列方程解答即可。 5．【答案】解：200×2÷(2.4−0.8) =400÷1.6 =250（秒）； 答：乙第二次追上甲时用了250秒 【解析】要求乙在第2次追上甲时用了多少时间，应先求出乙第2次追上甲时两人的距离和乙第2次追上甲时两人的速度差．根据题意，两人同时从同一地点同方向出发，当乙第2次追上甲时，乙比甲多跑了2圈即200×2米，乙第2次追上甲时两人的速度差是：2.4－0.8＝1.6（米/秒），然后根据追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间． 6．【答案】解：第一次甲追上乙需：200÷2÷（6-5）=100（秒） （圈） 超过1圈追上1次， 因此共追上 （次）。 答：16分钟内，甲追上乙5次。 【解析】 根据“追及时间=路程差÷速度差”，如图，第一次甲追上乙是在200÷2÷（6-5）=100秒后，16分=60×16=960秒，后来又行了16×60-100=860（秒），后来甲行了860×6÷200=25.8（圈），乙行了860×5÷200=21．（圈）；超过1圈追上1次，所以后来又追上了25-21=4（次），因此共追上4+1=5次； 此题属于复杂的环形跑道追及问题，解答此题的关键是根据路程差、速度差和追及时间三者之间的关系，进行分析解答即可 7．【答案】解：将操场一圈看作单位“1”， 速度和： 速度差： 小明的速度： （分钟） 爷爷的速度： （分钟） 答：小明走一圈需要6分钟，爷爷走一圈需要8分钟。 【解析】将操场一圈看作单位“1”，则两人的速度和为，两人的速度差为；再根据和差公式：较大数=(和+差)÷2可以计算出小明的速度；较小数=(和-差)÷2可以计算出爷爷的速度；最后用路程分别除以两人的速度即可求出两人走一圈各自需要的时间。 8．【答案】解：（180＋240）×30 ＝420×30 ＝12600（米） 12600÷24＝525（米） 答：跑道的长度最多是525米。 【解析】因为是同时同地出发，反向跑步，所以第一次相遇两人路程之和等于跑道长，因此第一次相遇时两人跑的路程和是跑道1圈的长度。从第一次相遇开始，两人每相遇一次，两人的路程和是跑道长的1圈的长度。因此30分钟内相遇24次，即共跑了24圈，此时共跑了（跑道1圈的长度×24）米。 求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长度。 9．【答案】 解： 400÷（5+4） =400÷9 =（秒） 30分=1800秒 答：30分钟内两人会相遇40次 【解析】 【分析】根据”路程和÷速度和=时间“先算出一次相遇所需要的时间，再求出30分钟即1800秒里有多少个，既是相遇的次数 10．【答案】解：假设甲乙不休息，二人相遇时间为： 20÷（4+6）=2（小时） 因二人中途休息，所以两人相遇所用时间超过2小时，且都休息了两次， 当二人同时出发130分钟时： 甲走了：4×2=8（千米） 乙走了：6×(130-20)÷60=11(千米) (20-8-11)÷(4+6)=0.1(小时) 130+0.1×60=136(分钟) 答： 两人从出发到第一次相遇用了 136分钟。 【解析】由题意可知，当甲乙二人走的路程和为20千米时，二人相遇。实际上甲每走3千米花费时间为1小时又5分钟，即65分钟；乙每走6千米花费时间为1小时又10分钟，即70分钟； 假设甲乙不休息，求相遇需要时间是2小时，因中途休息，所以相遇时间超过2小时，先求2小时甲乙走的路程，再求出剩余路程甲乙走需要的时间，即可求得相遇用的时间。依据‘路程=速度×时间’ 11．【答案】解：速度差：600÷12=50（米）， 速度和：600÷4=150（米）， 哥哥的速度：（50+150）÷2=100（米）， 弟弟的速度：150-100=50（米）， 哥哥跑一圈用的时间：600÷100=6（分钟）， 弟弟跑一圈用的时间：600÷50=12（分钟）， 答：哥哥用6分钟，弟弟用12分钟。 【解析】题中要求两人跑一圈各用多少分钟？根据题意要求两人跑一圈各用多少分钟，那么我们就需要计算出两人的速度，题中告诉我们兄弟两人同时从同一地点出发，一前一后，每隔12分钟相遇一次，也就是路程差，即一圈路程；每隔4分钟相遇一次，也就是路程和，即一圈路程。所以两人合跑一圈用4分钟，根据路程=速度×时间，可以分别算出两个人的速度，再根据时间=路程÷速度，即可解答。 12．【答案】解：甲乙两车原速度和为400÷5=80（千米/时），两车速度增加后，相遇时间为：400÷（80+10×2）=4（小时）， 甲车现在4小时比原来多走：10✖4=40（千米） 所以甲车原来的速度为：（40-3）÷（5-4）=37÷1=37（千米/时） 答：甲车原来每小时行37千米 【解析】两车速度差不变，第一次两车5小时相遇速度增加后，两车4小时相遇，用现在多走的路程减去多出的3千米，除以时间差，就是甲原来的速度 13．【答案】解：原来的速度和为400÷5=80（千米/小时） 后来加快后速度和为80+10+10=100（千米/小时） 所需时间为400÷100=4（小时） 因为乙比甲快，所以相遇时，甲4小时比原来多走4×10=40（千米） 这40千米甲以原来的速度走5-4=1（小时）还多出3千米； （4×10-3）÷（5-4）=37（千米/小时） 答：原来甲车每小时行37千米。 【解析】首先根据题干中：甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，背向而行，5小时相遇，得出原来的速度和；又知两车每小时各加快10千米，故可得加快后的速度和，进而得出速度加快后相遇所需的时间；用甲加快的速度乘以加速后相遇所需的时间即可得到甲相遇时比原来多走的路，又因为乙车比甲车快，且相遇点距离前一次相遇地点3千米，可以根据速度=路程÷时间，得出原来甲车每小时行多少千米。 14．【答案】解：400÷（260-210）=8（分钟） 答：经过8分钟两人相遇。 【解析】两人同向出发相遇用的时间=跑道的长度÷速度差，据此代入数据作答即可。 15．【答案】解：由题意可知，两人的速度和为 ，速度差为 可得两人速度分别为 和 所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟． 【解析】本题将一圈的距离看成单位“1”，那么两人的速度分别是：速度和÷2，速度差÷2，据此作答即可。 16．【答案】解：250-200=50（米/分） 50×45=2250（米） 2250÷（250+200）=5（分钟） 答：经过5分钟两人相遇。 【解析】两人同向而行，甲追上乙，甲比乙多跑一圈，所以两人的路程差=跑道一圈的长度=速度差×同向出发相遇用的时间，所以反向而行的相遇时间=跑道一圈的长度÷速度和。 17．【答案】解：（相遇问题求解）（4+3）×45=315（米） （追及问题求解）315÷（4-3）=315（秒） 答：315秒后两人再次相遇。 【解析】跑道的长度=速度和×背向相遇用的时间，所以同向而行两人相遇用的时间=跑道的长度÷速度差。 18．【答案】解：800×3+（250-210）=60（分钟） 答：小新第三次超过正南需要60分钟。 【解析】小新第三次超过正南是比正南多跑了三圈，所以小新第三次超过正南需要需要的时间=跑道的周长×3÷速度差。 19．【答案】解：甲乙的速度和为： （米/秒），甲乙的速度差为： （米/秒），甲的速度为： （米/秒），乙的速度为： （米/秒）． 【解析】先将单位进行换算，即3分20秒=200秒，那么两人的速度和=跑道一圈的长度÷背向而行相遇用的时间，两人的速度差=跑道一圈的长度÷同向而行相遇用的时间，因为甲比乙快，所以甲的速度=（速度和+速度差）÷2；乙的速度=（速度和-速度差）÷2。 20．【答案】解：加速后两车的相遇时间为：400÷（400÷5+10×2）=400÷（80+20）=400÷100=4（小时）甲车原来的速度：（40﹣3）÷（5﹣4）=37÷1=37（千米/小时）答：原来甲车每小时行37千米 【解析】分析】甲、乙两车原来的速度和=400÷5=80（千米/小时） 现在两车的速度和=80+10+10=100（千米/小时）； 现在的相遇用时=400÷100=4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4=40（千米），这40千米甲以原来的速度走（5﹣4=）1小时，还多出3千米． 所以甲车原来的速度：（40﹣3）÷（5﹣4）=37（千米/小时）． 21．【答案】解：如果如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）=100（秒）， （100÷10﹣1）×10+100 =9×10+100， =190（秒）． 答：如果乙在甲的前边，则两人相距100米，甲追上乙需要190秒． 如果如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100=300米． 190×3=570（秒）． 答：如果乙在甲的后边，则两人相300米，则甲追上乙要570秒． 【解析】本题要从两个方面去分析： 如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）=100（秒），甲、乙每跑100米停10秒，等于甲跑100÷10=10（秒）休息10秒，乙跑100÷9=11（秒）休息10秒．跑100秒甲要停100÷10﹣1=9（次）共用100+10×9=190（秒），此时甲已跑的路程为1000米；跑100秒乙要停100÷11﹣1=8次，在第180秒时乙已跑路程为100×9=900米（他此时已休息8次，花80秒），并在该处休息到第190秒，甲刚好在乙准备动身时赶到，他们确实碰到一块了．所以甲追上乙需要的时间是190秒． 如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100=300米．追及100米的距离需要190秒，则追及300米需要190×3=570秒． 　 22．【答案】解：500÷(66+59)=500÷125=4（分钟） 答：经过4分钟才能相遇。 【解析】相遇用的时间=跑道的周长÷两人的速度和，据此作答即可。 23．【答案】解：把这个跑道的长度看做整体“1”， 则甲的速度为：（+）÷2=， 乙的速度是：﹣=； 所以跑完一圈甲需要时间：1÷=6（分钟）， 乙跑完一圈需要时间：1÷=12（分钟）， 答：各跑一圈时，较快的需要6分钟，较慢的需要12分钟． 【解析】把这个跑道的长度看做整体“1”：分别求得二人的速度，即可求出他们跑一圈各自用的时间； （1）两人都按顺时针方向跑时，属于追及问题：假设甲比乙跑的快，12分钟相遇说明二人的速度差是：； （2）其中一人改成按逆时针方向跑，属于相遇问题：每隔4分钟相遇一次说明二人的速度之和是； 有上述推理即可得出甲的速度为：（+）÷2=，从而得出乙的速度是：﹣=；由此即可解决问题． 　 24．【答案】解：200×2=400（米） 400÷（2.4-0.8） =400÷1.6 =250（秒） 答：乙在第2次追上甲时用了250秒。 【解析】乙两次追上甲则乙跑的路程是环形跑道两圈的长度，乙的速度－甲的速度=两人的速度差，乙跑的路程÷（乙的速度－甲的速度）=乙在第2次追上甲时用的时间。据此可以解答。 25．【答案】解：如果两人不休息，那么甲追上乙需要：100÷（5﹣4）=100（秒）， 100秒内甲实际跑了：100×5=500（米）， 所以甲休息了4次， 100+4×10=140（秒）； 答：甲追上乙需要时间是140秒． 【解析】甲实际跑100÷（5﹣4）=100秒时追上乙，则甲实际跑了100×5=500米，所以甲已经休息了4次，由此即可求得追上乙所用的时间． 　 26．【答案】解：甲的速度为每分钟： 2000÷（1.25+3.75）× =2000÷5×， =240（米）； 乙的速度为每分钟： 2000÷5﹣240 =4000﹣240， =160（米）． 丙的速度为每分钟： 2000÷6.25﹣240 =320﹣240， =80（米）． 答：甲每分钟跑240米，乙每分钟跑160米，丙每分钟跑80米． 【解析】在甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，再经过3.75分钟第二次遇乙，则甲乙二人相时间为1.25+3.75=5分钟，两人相遇时 共行了一周即2000米，所以两人的速度和为每分钟2000÷5=400米．甲乙两人的速度比为3：2．由此可知甲的速度为每分钟400×=240米．由于甲与乙相遇时间为5分钟，甲第一次遇上乙后1.25分钟第一次遇上丙，则甲丙的相遇时间为5+1.25=6.25分钟，则丙的速度为每分钟2000÷6.25﹣240米． 　 27．【答案】解：400+[400﹣（400÷2﹣100）]×2 =400+[400﹣（200﹣100）] =400+[400﹣100]×2 =400+600 =1000（米） 答：当甲追上乙时，甲共跑了1000米． 【解析】根据在相同的时间内，乙从B跑到C，甲可以从A跑到C（相向而行），乙如果按原路返回（从C跑到B），甲又可以同向从C经过B跑到A，可知 甲前后跑的两段路程是相等的，则AC=400÷2=200米．又因A、B两点间的距离是100米，所以乙每次跑的路程是200﹣100=100米，即甲的 速度是乙的速度的2倍．现在乙在前300米，甲在后追及，甲跑300×2=600米可以追上乙，原来乙跑了400米，所以甲从出发开始共跑的路程是 400+（400﹣100）×2=1000米． 　 28．【答案】解：加速后两车的相遇时间为： 400÷（400÷5+10×2） =400÷（80+20）， =400÷100， =4（小时）； 甲车原来的速度： （40﹣3）÷（5﹣4） =37÷1， =37（千米/小时）． 答：原来甲车每小时行37千米． 【解析】甲、乙两车原来的速度和=400÷5=80（千米/小时） 现在两车的速度和=80+10+10=100（千米/小时）； 现在的相遇用时=400÷100=4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4=40（千米），这40千米甲以原来的速度走 （5﹣4=）1小时，还多出3千米． 所以甲车原来的速度：（40﹣3）÷（5﹣4）=37（千米/小时）． 　 29．【答案】解：400÷（280-240） =400÷40 =10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【解析】甲第一次追上乙需要的时间=环形跑道的长度÷（甲的速度-乙的速度）。 30．【答案】解：第2条跑道提前的长度：π×（1.2×2）=2.4π（米）， 第3条跑道提前的长度：2.4π+2.4π=2.4π×2（米）， 第4条跑道提前的长度：2.4π×2+2.4π=2.4π×3（米）， 第5条跑道提前的长度：2.4π×3+2.4π=2.4π×4（米）， 2.4π×4-2.4π =9.6π-2.4π =7.2π =22.608（米） ≈22.61（米） 答：第5跑道的运动员要比第2跑道的运动员起跑点提前约22.61米。 【解析】跑道依次提前的长度=π×（每条跑道的宽×2），据此求出第2条跑道提前的长度和第5条跑道提前的长度，并计算出他们的差，最后得数保留两位小数。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$