2.1：等式性质与不等式性质（6大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

2.1：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 · 考点一、由已知条件判断不等式是否正确 · 考点二、作差法比较大小 · 考点三、作商法比较大小 · 考点四、利用性质比较大小 · 考点五：利用不等式的性质求范围 · 考点六、利用不等式的性质判断或证明 【知识梳理】 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（24-25高一上·上海）若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、作差法比较大小 4．（20-21高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 题型三、作商法比较大小 7．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 8．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 9．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 题型四、利用性质比较大小 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 11．（24-25高一上·上海·课前预习）在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 12．（20-21高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（25-26高一上·全国）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 17．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：；(2)已知，求证：. 18．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【高分演练】 一、单选题 19．（25-26高一上·全国）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 24．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 28．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 二、多选题 29．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 30．（2024高一上·山东·专题练习）对于实数，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．（23-24高二下·江西·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 33．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 34．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 三、填空题 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 38．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于实数、，，有下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则且；⑤若，则；⑥若，则，其中正确的是 （填序号）． 四、解答题 39．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 40．（24-25高一上·上海·单元测试）设、、为正数，且，求证：． 41．（24-25高一上·上海） （1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1：等式性质与不等式性质 【考点梳理】 · 考点一、由已知条件判断不等式是否正确 · 考点二、作差法比较大小 · 考点三、作商法比较大小 · 考点四、利用性质比较大小 · 考点五：利用不等式的性质求范围 · 考点六、利用不等式的性质判断或证明 【知识梳理】 知识点一：基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【例题详解】 题型一、由已知条件判断不等式是否正确 1．（24-25高一上·上海）若，，有下列不等式：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质即可得出，充分利用同向可乘性，同向可加性的思路来逐步证明． 【详解】∵， ∴． 又， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， 即．又， ∴，故②正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， 即，故④正确， 故选：C． 2．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质判断AD，举反例判断BC. 【详解】因为实数a，b满足，所以，所以，故选项A错误； 当时，满足，但是，不满足， 故选项B错误； 当时，满足，但是，不满足， 故选项C错误； ，即，故选项D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 题型二、作差法比较大小 4．（20-21高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 题型三、作商法比较大小 7．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 8．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 9．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 题型四、利用性质比较大小 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 11．（24-25高一上·上海·课前预习）在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 【答案】 > > < 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由于，故，即， （2）由于，则，又，， 故答案为：>，>，< 12．（20-21高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【答案】①④⑥ 【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可. 【详解】因为，则，所以，即，故①正确； 由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误； 因为，所以，则，所以，即，则③错误； 由，不等式边同时乘，得，故④正确； 由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误； 由可得，，故⑥正确； 因此，正确结论的序号是①④⑥. 故答案为：①④⑥. 题型五：利用不等式的性质求范围 13．（25-26高一上·全国）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 14．（24-25高一上·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 15．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 题型六、利用不等式的性质判断或证明 16．（23-24高一上·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与(2)与 【答案】(1)(2) 【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解. 【详解】（1）解：由， 所以. （2）解：由， 所以． 17．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：；(2)已知，求证：. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 18．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【分析】 ①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为，所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以，所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【高分演练】 一、单选题 19．（25-26高一上·全国）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：B. 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围可分别求得的范围，再利用不等式性质可得结论. 【详解】因为，所以， 由不等式性质可得， 即． 故选：C 22．（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】通过作差法并结合，即可判断的大小. 【详解】由作差法得， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 24．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用不等式性质，结合特殊值法逐个判断即可. 【详解】对于①，因为且， 根据不等式性质，可得， 取，时，， 所以且可以推出，但不能推出，故①错误； 对于②，， 因为且，所以且， 所以，即， 所以且不能推出，故②错误； 对于③，因为，所以，故③正确； 对于④，， 因为，所以，所以，即， 所以可以推出，故④正确. 故选：B. 25．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，根据糖水不等式可得，即充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 26．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念即可求解. 【详解】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 27．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 28．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 二、多选题 29．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质直接判断A，由作差法判断BC，举反例判断D. 【详解】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则， 因为当且仅当，所以显然不可能（因为）， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC. 30．（2024高一上·山东·专题练习）对于实数，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，当时，由可得， 当时，由可得， 综上可得若，则，故B正确； 对于C：当，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，即， ，即， ，，，故D正确． 故选：ABD 31．（23-24高二下·江西·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 32．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知均为非零实数，则下列一定正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由不等式性质判断A和D，由取特值判断B，由函数单调性判断C. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，时，显然不成立，故B错误； 对于C，因为，且函数在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，根据不等式的性质可知，，故D正确. 故选：ACD. 33．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 34．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 三、填空题 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可比较大小. 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 【答案】，时， 【分析】利用作差法即可证得所提炼的不等式. 【详解】由题意有，时，． 理由如下：，因为，， 所以，即. 故答案为：，时，． 38．（24-25高一上·上海·课堂例题）对于实数、，，有下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则且；⑤若，则；⑥若，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥ 【分析】根据举反例和不等式性质进行判断； 【详解】①中，的正、负或是否为0未知，因而判断与的大小缺乏依据，故①不正确；②③反例，；和不成立，故②③错误； ④反例，，故④错误； ⑤中，由，知，故，所以成立，故⑤正确； ⑥中，所以，所以，所以，故⑥正确． 故答案为：⑤⑥． 四、解答题 39．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用不等式的加法性质即可求解. （2）利用不等式的减法性质即可求解. （3）利用不等式的乘法性质即可求解. （4）利用不等式的除法性质即可求解. 【详解】（1）∵，∴.又∵，∴. （2）∵，∴.又∵，∴. （3）∵，，∴. （4）∵，∴.由，可得. 40．（24-25高一上·上海·单元测试）设、、为正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】运用作差法的思路来证明，由条件可得不等式的左边为，配方即可得证． 【详解】证明：由，可得： ． 当且仅当取得等号． 即有． 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$