专题1.3 代数式全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（人教版2024）

专题1.3 代数式全章知识典例详解 【人教版2024】 知识点1 代数式 1．用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: （1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“· ”; （2）字母与数相乘时,· 通常写在字母的前面; （3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为· ; （4）字母与字母相除时,要写成· 的形式； （5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2．代数式的概念 用· 把· 或· 连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是· . 3．代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言· ,就是将代数式的字母及运算符号赋予· . 4．列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是· 减去· ，列成式子· ，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即· （填完整的代数式）. 5．正比例关系和反比例关系 （1）正比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的· 一定,这两个量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值(k是一个确定的值,且k≠0),正比例关系可以用· =k来表示,其中k叫作比例系数. （2）反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的· 一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用· =k或· 来表示,其中k叫作比例系数. 【典例1】在π，x2+2，1﹣2x＝0，，ab，a＞3，0，中，代数式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【典例2】下列式子中，符合代数式书写格式的有（　　） ①m×n；②3ab；③；④m+2天；⑤abc3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A．（2a+b）2 B．2（a+b）2 C．2a+b2 D．（a+2b）2 【典例4】小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法： 说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元； 说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元． 则下面判断正确的是（　　） A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ与Ⅱ都对 D．Ⅰ与Ⅱ都错 【典例5】x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（　　） A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x 【典例6】超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【典例7】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（　　） A．（8a+b）厘米 B．（8b+a）厘米 C．（9a﹣b）厘米 D．（9b﹣a）厘米 【典例8】小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 知识点2 代数式的值 1．代数式的值的概念 用· 代替代数式中的· ,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2．求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“· ”.代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“· ”.代入的值不同,最后计算出的结果也可能· . 【典例1】当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．4 D．7 【典例2】若3x2+4x+1＝0，则代数式6x2+8x+2024的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【典例3】若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（　　） A．14 B．2 C．﹣18 D．﹣2 【典例4】如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（　　） A．64 B．16 C．4 D．1 【典例5】如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　 　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 代数式全章知识典例详解 【人教版2024】 知识点1 代数式 1．用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: （1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”; （2）字母与数相乘时,数通常写在字母的前面; （3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数; （4）字母与字母相除时,要写成分数的形式； （5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2．代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 3．代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 4．列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子a-b，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）. 5．正比例关系和反比例关系 （1）正比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的比值一定,这两个量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值(k是一个确定的值,且k≠0),正比例关系可以用=k来表示,其中k叫作比例系数. （2）反比例关系:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k或来表示,其中k叫作比例系数. 【典例1】在π，x2+2，1﹣2x＝0，，ab，a＞3，0，中，代数式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据代数式的定义，代数式是有数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有＝、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号进行解答即可． 【解答】解：∵1﹣2x＝0，a＞3，含有＝和＞，所以不是代数式， ∴代数式的有π，x2+2，，ab，0，，共6个． 故选：A． 【典例2】下列式子中，符合代数式书写格式的有（　　） ①m×n；②3ab；③；④m+2天；⑤abc3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：①正确的书写格式是mn； ②正确的书写格式是ab； ③的书写格式是正确的， ④正确的书写格式是（m+2）天； ⑤的书写格式是正确的． 故选：A． 【典例3】用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A．（2a+b）2 B．2（a+b）2 C．2a+b2 D．（a+2b）2 【分析】先求倍数，然后求平方，再求和． 【解答】解：用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”为2a+b2， 故选：C． 【典例4】小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法： 说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元； 说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元． 则下面判断正确的是（　　） A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ与Ⅱ都对 D．Ⅰ与Ⅱ都错 【分析】根据题中的条件，计算出每支签字笔的价钱和小咏原有的现金，即可进行选择． 【解答】解：每支签字笔的价钱：50﹣（50﹣8a）＝8a，8a÷8＝a（元）； 小咏原有现金：2a×8+50﹣8a＝（50+8a）元， ∴Ⅰ与Ⅱ都对，故C符合题意， 故选：C． 【典例5】x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（　　） A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x 【分析】x原来的最高位是十位，现在扩大了10倍，而6写到x的右边组成一个三位数，6成为三位数的个位，即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知，x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数， ∴相当于将x扩大了10倍， ∴表示这个三位数的式子是10x+6， 故答案为：B． 【典例6】超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【分析】根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10即可求解． 【解答】解：根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10， 得售价为：a（1+20%）×8÷10＝0.8×（1+20%）a， 故选：C． 【典例7】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（　　） A．（8a+b）厘米 B．（8b+a）厘米 C．（9a﹣b）厘米 D．（9b﹣a）厘米 【分析】画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到9个圆环的长度即可． 【解答】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：3a2＝b+2a， 当圆环个数为9时，链长为9a+2（8a+b）（cm）， 故答案选：A． 【典例8】小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 【分析】根据题意可以求得每增加一个水杯增加的高度，然后根据题目中的数据即可求得把n个这样的杯子叠放在一起，高度是多少，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 每增加一个水杯，增加的高度是（13﹣11）÷（5﹣3）＝2÷2＝1cm， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：11+（n﹣3）×1＝11+n﹣3＝（n+8）cm， 故选：B． 知识点2 代数式的值 1．代数式的值的概念 用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2．求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“代入”.代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“计算”.代入的值不同,最后计算出的结果也可能不同. 【典例1】当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．4 D．7 【分析】将x＝﹣1，y＝3代入计算即可得． 【解答】解：将x＝﹣1，y＝3代入得：x3﹣2y＝（﹣1）3﹣2×3＝﹣1﹣6＝﹣7， 故选：A． 【典例2】若3x2+4x+1＝0，则代数式6x2+8x+2024的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】由已知条件可得3x2+4x＝﹣1，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵3x2+4x+1＝0， ∴3x2+4x＝﹣1， ∴6x2+8x+2024 ＝2（3x2+4x）+2024 ＝2×（﹣1）+2024 ＝2022， 故选：B． 【典例3】若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（　　） A．14 B．2 C．﹣18 D．﹣2 【分析】直接将原式变形，进而代入已知得出答案． 【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4， ∴（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10 ＝（﹣4）2+2（x﹣3y）﹣10 ＝16+2×（﹣4）﹣10 ＝16﹣8﹣10 ＝﹣2． 故选：D． 【典例4】如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（　　） A．64 B．16 C．4 D．1 【分析】计算出前8次的输出结果，找出规律，利用规律求解． 【解答】解：由题意知，第1次输入x的值为1024时， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：1+3＝4， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：1+3＝4， …… 以此类推可知，从第5次输出结果开始，奇数次输出结果为1，偶数次输出结果为4， 因此第2024次输出的结果为4， 故选：C． 【典例5】如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　 　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【解答】解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：ab，πa2； （2）该长方形场地上种草的面积为： 3a⋅b﹣ab﹣πa2＝（2ab﹣πa2）平方米， 故长方形场地上种草的面积为（2ab﹣πa2）平方米； （3）当a＝2，b＝10时，2ab﹣πa2≈2×2×10﹣3.14×2×2＝27.44≈27平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$