湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024年高三秋季数学入学考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．设全集U＝{x∈N|x≤5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，5} B．{0，5} C．{1，2，3，4} D．{0，1，4，5} 2．复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知第二象限角α满足，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 4．已知正项数列{an}满足，则＝（　　） A． B． C． D． 5．已知数列{an}各项为正数，{bn}满足＝bnbn+1，an+an+1＝2bn+1，则（　　） A．{bn}是等差数列 B．{bn}是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 6．近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　） A．240 B．420 C．540 D．900 7．如图，A，B是椭圆的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知M（4，6），点N在圆C：x2+y2+6x+4y＝0上运动，若点P满足d（M，P）＝2，则|PN|的最大值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（　　） A．AG⊥平面PBD B．直线FG和直线AB所成的角为 C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆 D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为2+ 10．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在棱DD1上，记平面BC1M截正方体所得的截面图形为Ω，则（　　） A．平面A1BC⊥平面B1C1D B．不存在点M，使得直线CM∥平面BA1C1 C．B1M+CM的最小值为 D．Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大 11．已知函数f（x）＝x3+ax+，（a＜0），其中Ai（xi，yi），i＝0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线A0A3为函数f（x）在点A0处的切线，则（　　） A．函数f（x）的图象关于中心对称 B．函数f（x）的极大值有可能小于零 C．对任意的x1＞x0＞0，直线A0A3的斜率恒大于直线A0A1的斜率 D．若A1，A2，A3三点共线，则x1+x2＝2x0 12．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，其中f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，g（x）的图象关于直线x＝2对称，f（x）﹣g（2+x）＝4，g（2）＝3，则（　　） A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（2024）＝7 C．g（2024）＝﹣1 D． 三．填空题（共4小题，） 13．已知集合M＝{x∈N|（x+2）（x﹣3）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝　 　． 14．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+cosx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为 　 　． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若，且∠F2F1N＝∠F2NF1，则C的离心率为 　 　． 16．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai＝“第i次命中目标”（i＝1，2，3），P（A1）＝，P（Ai+1|Ai）＝2P（Ai），P（Ai+1|）＝（i＝1，2），则P（A3）＝　 　． 四．解答题（共6小题） 17．已知函数f（x）＝ex+asinx﹣1（a∈R）． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f（x）在x＝0处取得极小值，求a的值； （Ⅲ）若存在正实数m，使得对任意的x∈（0，m），都有f（x）＜0，求a的取值范围． 18．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，，点O是AC的中点，点P在棱SD上（异于端点）． （1）若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC； （2）若二面角S﹣AC﹣P的余弦值为，求线段SP的长． 19．住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如表表格： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y 166 188 220 249 286 331 389 463 （1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数； （3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：． 20．已知函数f（x）＝xk+1（lnx﹣λx），其中k，λ∈R． （1）若k＝﹣1，讨论f（x）在[1，4]上的单调性； （2）若存在正数k，使得∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，，求λ的取值范围． 21．已知抛物线与双曲线相交于两点A，B，F是C2的右焦点，直线AF分别交C1，C2于C，D（不同于A，B点），直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点． （1）设A（x1，y1），C（x2，y2），求证：y1y2是定值； （2）求的取值范围． 22．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①∃M＞0，an＜M；②{an}为单调数列，则称数列{an}具有性质P． （1）若，求数列{an}的最小项； （2）若，记，判断数列{Sn}是否具有性质P，并说明理由； （3）若，求证：数列{cn}具有性质P． 2024年08月23日杨乐的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．设全集U＝{x∈N|x≤5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，5} B．{0，5} C．{1，2，3，4} D．{0，1，4，5} 【分析】先求出A∪B，由此能求出∁U（A∪B）． 【解答】解：全集U＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， 集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}， ∴A∪B＝{1，2，3，4}， 则∁U（A∪B）＝{0，5}． 故选：B． 【点评】本题考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数的四则运算化简复数z，由几何意义得复平面内对应的点所在象限． 【解答】解：， 则在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知第二象限角α满足，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【分析】由，结合正切两角和公式化简，求得tanα，利用万能公式即可求解． 【解答】解：∵，∴3tan2α+5tanα﹣2＝0， 解得tanα＝﹣2或（舍去）， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查三角恒等变换，考查三角函数求值，属于基础题． 4．已知正项数列{an}满足，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解． 【解答】解：依题意，， 则数列是以为公比的等比数列， 因此， 所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题． 5．已知数列{an}各项为正数，{bn}满足＝bnbn+1，an+an+1＝2bn+1，则（　　） A．{bn}是等差数列 B．{bn}是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【分析】由题意可得an＞0，bn＞0，推得+＝2，由等差数列的定义可得结论． 【解答】解：数列{an}各项为正数，{bn}满足＝bnbn+1，an+an+1＝2bn+1， 可得an＞0，bn＞0， an＝，an+an+1＝+＝2bn+1＝2， 即有+＝2， 可得{}是等差数列． 故选：C． 【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义，考查转化思想和推理能力，属于基础题． 6．近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　） A．240 B．420 C．540 D．900 【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为1：2：3或1：1：4或2：2：2，结合排列、组合数的计算公式，即可求解． 【解答】解：若三个景点安排的人数之比为1：2：3，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为1：1：4，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为2：2：2，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是360+90+90＝540． 故选：C． 【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 7．如图，A，B是椭圆的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得Q在椭圆上，则设Q（acosθ，bsinθ），结合题意可得tan∠PAB＝tan∠QAB＝，tan∠QBA＝，tan∠PAB•tan∠QBA＝1，可得＝，即可得出答案． 【解答】解：由题意得Q在椭圆上，则设Q（acosθ，bsinθ）， ∴tan∠PAB＝tan∠QAB＝，tan∠QBA＝， ∴tan∠PAB•tan∠QBA＝①， 又AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°，即∠PAB+∠PBA＝90°， ∴tan∠PAB•tan∠PBA＝1②， 由①②得＝＝， 又c2＝a2﹣b2，则e＝＝＝＝． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 8．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知M（4，6），点N在圆C：x2+y2+6x+4y＝0上运动，若点P满足d（M，P）＝2，则|PN|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求得圆心C，半径，设P（x0，y0），则|x0﹣4|+|y0﹣6|＝2，可得点P的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解． 【解答】解：如图所示，由圆C：x2+y2+6x+4y＝0，可得（x+3）2+（y+2）2＝13， 则圆心C（﹣3，﹣2），半径， 设P（x0，y0），则|x0﹣4|+|y0﹣6|＝2，可得点P的轨迹为如下所示的正方形， 其中A（4，8），B（6，6），则， 则，所以|PN|的最大值为． 故选：D． 【点评】本题考查圆的综合应用，属于中档题． 二．多选题（共4小题） （多选）9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（　　） A．AG⊥平面PBD B．直线FG和直线AB所成的角为 C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆 D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为2+ 【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断AB正误；结合椭圆的定义可判断C的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断D的正误． 【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上， 则AG⊥平面PBD，故A正确； 设PB中点为H，则FG∥AH，且，故B正确； ∵TA+TG＝2，∴T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球， 又平面PBD与其长轴垂直，∴截面为圆，故C错误； 设平面EFG与PB，PD交于点M，N，连接PE，EC，PF，FC，EM，MG，GN，NF， ∵PA＝BC，AE＝BE，∠PAE＝∠CBE，∴△PAE≌△CBE， ∴PE＝CE，而PG＝GC，故EG⊥PC，同理FG⊥PC， 而FG∩EG＝G，∴PC⊥平面EFG，而EM⊂平面EFG，则PC⊥EM， ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC， ∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， ∵EM⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，则EM⊥PB， ∴BM＝EM＝BE＝，同理，FN＝DN＝， 又PG＝，PM＝2＝，则GM＝GN＝， 而EF＝BD＝， ∴交线长为EF+EM+MG+GN+FN＝2，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题． （多选）10．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在棱DD1上，记平面BC1M截正方体所得的截面图形为Ω，则（　　） A．平面A1BC⊥平面B1C1D B．不存在点M，使得直线CM∥平面BA1C1 C．B1M+CM的最小值为 D．Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大 【分析】根据几何体特征判断A选项，根据线面平行的判定定理判断B选项，结合距离和最小判断C选项，根据导数结合函数单调性判断D选项． 【解答】解：由于正方体的对角面相互垂直，故A正确； 当点M与D1重合时，直线CM∥平面BA1C1，故B错误； 将四边形DCC1D1翻折至与四边形BB1D1D共面，则，故C正确； 当DM＝0时，Ω为△BC1D，且△BC1D的周长为． 当DM＝2时，Ω为四边形ABC1D1，且四边形ABC1D1的周长为． 当0＜DM＜2时，如图，过点M作MN∥AD1， 易得MN∥BC1，所以Ω为四边形MNBC1， 设DM＝x，四边形MNBC1的周长为l， 则， 所以， 令f′（x）＞0，解得0＜x＜4， 所以l（x）在（0，2）上单调递增， 所以Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查线面位置关系的应用，属于中档题． （多选）11．已知函数f（x）＝x3+ax+，（a＜0），其中Ai（xi，yi），i＝0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线A0A3为函数f（x）在点A0处的切线，则（　　） A．函数f（x）的图象关于中心对称 B．函数f（x）的极大值有可能小于零 C．对任意的x1＞x0＞0，直线A0A3的斜率恒大于直线A0A1的斜率 D．若A1，A2，A3三点共线，则x1+x2＝2x0 【分析】设g（x）＝x3+ax，（x∈R），推导出g（x）为奇函数，图象关于原点对称，从而f（x）＝g（x）+的图象关于点（0，）中心对称，判断A；令f′（x）＝3x2+a＝0，解得x＝±，利用导数性质和函数的单调性判断B；求出＝，，推导出＝（x0﹣x1）（2x0+x1）＜0，判断C；求出＝+a，＝，，当A1，A2，A3三点共线时，则有+a，化简运算判断D． 【解答】解：设g（x）＝x3+ax，（x∈R）， ∵g（﹣x）＝（﹣x）3+a（﹣x）＝﹣（x3+ax）＝﹣g（x）， ∴g（x）为奇函数，图象关于原点对称， ∴f（x）＝g（x）+的图象关于点（0，）中心对称，故A正确； 令f′（x）＝3x2+a＝0，解得x＝±， 当x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递减， ∴当x＝﹣时，f（x）取得极大值， 由单调性知f（﹣）＞f（0）＝，故B错误； ＝＝， ∵x1≠x0，∴＝， 又， ∴＝＝＝（x0﹣x1）（2x0+x1）， ∵x1＞x0＞0， ∴＝（x0﹣x1）（2x0+x1）＜0，∴，故C错误； 同上，可得＝+a， ＝，， 当A1，A2，A3三点共线时，则有+a， 整理得（x3﹣x2）（x3+x2）＝x1（x2﹣x3）， ∵x3≠x2，∴x3+x2＝﹣x1，即x1+x2＝﹣x3， ∵＝f′（x0），∴， 整理得（x3+2x0）（x3﹣x0）＝0， ∵x3≠x0，∴x3+2x0＝0，∴﹣x3＝2x0， ∴x1+x2＝2x0，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题考查函数的单调性、对称性、极值、导数性质及应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （多选）12．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，其中f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，g（x）的图象关于直线x＝2对称，f（x）﹣g（2+x）＝4，g（2）＝3，则（　　） A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（2024）＝7 C．g（2024）＝﹣1 D． 【分析】根据题意，结合函数的性质，所以f（x）＝f（﹣x），可判定A错误；再由函数f（x）是以4为周期的周期函数，得到f（2024）＝f（0），可判定B正确；结合g（2024）＝f（2022）﹣4，结合周期性，可判定C错误；求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，进而可判定D正确． 【解答】解：由题意知f（x）﹣4＝g（2+x），g（2+x）＝g（2﹣x）， 所以f（x）﹣4＝f（﹣x）﹣4，所以f（x）＝f（﹣x），所以A错误； 又由f（0）＝4+g（2）＝7，因为f（x）关于点（1，1）中心对称， 所以f（1）＝1，f（x+2）+f（﹣x）＝2，所以f（x+4）+f（﹣x﹣2）＝2， 又因为f（x+2）＝f（﹣x﹣2），所以f（x+4）＝f（﹣x）＝f（x）， 所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（2024）＝f（0）＝7，所以B正确； 由g（2024）＝f（2022）﹣4＝f（2）﹣4＝2﹣f（0）﹣4＝2﹣7﹣4＝﹣9，所以C错误； 因为f（1）＝1，f（2）＝2﹣f（0）＝2﹣7＝﹣5，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝7， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝4，所以，所以D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查抽象函数的周期性、对称性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三．填空题（共4小题） 13．已知集合M＝{x∈N|（x+2）（x﹣3）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝　{0，1，2}　． 【分析】列举法表示M，由交集的定义求M∩N． 【解答】解：因为M＝{x∈N|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}， 又N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以M∩N＝{0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}． 【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题． 14．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+cosx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为 　　． 【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数以及放缩法得出函数的单调性，将不等式化简，计算出不等式的解集． 【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x+cosx的定义域为R，且f（﹣x）＝e﹣x+ex+cosx＝f（x），则f（x）是偶函数，∵ f'（x）＝ex﹣e﹣x﹣sinx，且f'（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sinx＝﹣f'（x）， ∴f'（x）是奇函数，又， 即f′（x）是为增函数， 当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数， 则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于f（|2m|）＞f（|m﹣2|）， ∴|2m|＞|m﹣2|，平方得3m2+4m﹣4＞0， 化简得（m+2）（3m﹣2）＞0， 解得或m＜﹣2， 故答案为：． 【点评】本题考查函数的奇偶性，属于中档题． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若，且∠F2F1N＝∠F2NF1，则C的离心率为 　　． 【分析】作F2E⊥MN，分别求得，，，在直角△MF2E中，利用勾股定理，列出关于离心率e的方程，结合离心率的定义，即可求解． 【解答】解：如图所示，作F2E⊥MN，垂足为E， 因为∠F2F1N＝∠F2NF1，所以|F1F2|＝|F2N|＝2c，点E为F1N的中点， 所以|F1N|＝2a﹣2c，|F1E|＝a﹣c， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 在直角△MF2E中，由勾股定理可得， 整理得到5a2﹣12ac+7c2＝0，即7e2﹣12e+5＝0， 因为e∈（0，1），解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 16．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai＝“第i次命中目标”（i＝1，2，3），P（A1）＝，P（Ai+1|Ai）＝2P（Ai），P（Ai+1|）＝（i＝1，2），则P（A3）＝　　． 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案． 【解答】解：由题意，P（A2|A1）＝2P（A1）＝2×＝，P（）＝， 则P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（）＝； P（A3|A2）＝2P（A2）＝2×，P（）＝， 则P（A3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（）P（）＝． 故答案为：． 【点评】本题考查条件概率，考查全概率公式，考查学生的计算能力，是基础题． 四．解答题（共6小题） 17．已知函数f（x）＝ex+asinx﹣1（a∈R）． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f（x）在x＝0处取得极小值，求a的值； （Ⅲ）若存在正实数m，使得对任意的x∈（0，m），都有f（x）＜0，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（0）＝1+a＝0，即a＝﹣1，当a＝﹣1时，根据导数与函数单调性，极值的关系，即可求得当a＝﹣1时，f（x）在x＝0处取得极小值； （Ⅲ）分a≥﹣1与a＜﹣1，根据导数与函数单调性的关系，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ex+asinx﹣1（a∈R），f′（x）＝ex+acosx， 由f′（0）＝1+a，f（0）＝0， 所以曲线在（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝（1+a）（x﹣0），即y＝（a+1）x， 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y＝（a+1）x； （Ⅱ）由函数f′（0）＝1+a＝0，所以a＝﹣1，此时f（x）＝ex﹣asinx﹣1，f′（x）＝ex﹣cosx， 当x＞0时，f′（x）＝ex﹣cosx＞1﹣cosx≥0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝ex+sinx，设φ（x）＝g′（x），则φ′（x）＝ex+cosx， 所以，当，φ′（x）＞0，所以g′（x）在区间上单调递增， 又，g′（0）＝1＞0，故存在使得g′（x0）＝0， 所以当x∈（x0，0）时，g（x）＜g（0）＝0，即f′（x）＜0， 所以f（x）在区间（x0，0）上单调递减，故函数在x＝0时，取得极小值，所以a＝﹣1， 所以a的值为﹣1； （Ⅲ）①若a≥﹣1时，当时，sinx＞0，所以f（x）≥ex﹣sinx﹣1， 由（Ⅱ）可知，y＝ex﹣sinx﹣1在区间（0，+∞）上单调递增， 所以ex﹣sinx﹣1＞e0﹣sin0﹣1＝0，所以f（x）在区间上恒成立， 此时不存在正实数m，使得对任意的x∈（0，m）都有f（x）＜0， 所以当a≥﹣1不合题意， ②当a＜﹣1时，f′（x）＝ex+acosx，设h（x）＝f′（x），则h′（x）＝ex﹣asinx， 所以当时，h′（x）＝ex﹣asinx＞ex+sinx＞0，所以f′（x）在区间上单调递增， 而f′（0）＝1+a＜0，，故存在，使得f′（m）＝0， 所以，当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，，即f（x）在区间（0，m）上单调递减， 所以，当x∈（0，m）时，f（x）＜f（0）＝0， 所以a＜﹣1符合题意， 综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值（最值）的关系，考查导数与三角函数的应用，考查函数思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于难题． 18．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，，点O是AC的中点，点P在棱SD上（异于端点）． （1）若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC； （2）若二面角S﹣AC﹣P的余弦值为，求线段SP的长． 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直，先证明SD⊥平面PAC，即可得出平面SAD⊥平面PAC； （2）分别以为x轴、y轴、z轴正方向建系，设，则进而表示出，求出平面PAC的一个法向量为，再利用二面角S﹣AC﹣P的余弦值为求出，最后得出结果． 【解答】（1）证明：由题意得，正四棱锥所有棱长均为， 因为P是SD的中点， 故CP⊥SD，AP⊥SD，又AP∩CP＝P，且AP，CP⊂平面PAC， 故SD⊥平面PAC，又SD⊂平面SAD， 故平面SAD⊥平面PAC； （2）如图，连接OB，易知OB，OC，OS两两垂直， 以O为原点，以分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），D（﹣1，0，0）， 所以， 设，则， 所以P（﹣λ，0，1﹣λ），所以， 设平面PAC的法向量为，则， 令z＝λ，则x＝1﹣λ，所以平面PAC的一个法向量为， 易知平面SAC的法向量为， 设二面角S﹣AC﹣P的平面角为θ， 则， 即3λ2﹣8λ+4＝0，解得或λ＝2（不合题意，舍去）， 此时． 【点评】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和与空间角有关的计算，属于中档题． 19．住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如表表格： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y 166 188 220 249 286 331 389 463 （1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数； （3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：． 【分析】（1）利用相关系数的定义求出r，即可求解； （2）先求，，即可得到线性回归方程，再将x＝10代入即可求解； （3）言之有理即可． 【解答】解：（1）由题意，＝＝4.5，＝＝286.5， r＝＝＝ ＝≈≈0.98＞0.75， 所以y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系； （2）由题意，＝＝＝41.12，＝﹣＝286.5﹣41.12×4.5＝101.46， 所以y关于x的线性回归方程为＝41.12x+101.46， 当x＝10时，＝41.12×10+101.46＝512.66≈513， 所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513； （3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能用所求线性回归方程预测，理由如下： ①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况； ②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式． 【点评】本题考查相关系数以及线性回归方程，属于中档题． 20．已知函数f（x）＝xk+1（lnx﹣λx），其中k，λ∈R． （1）若k＝﹣1，讨论f（x）在[1，4]上的单调性； （2）若存在正数k，使得∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，，求λ的取值范围． 【分析】（1）求导f′（x）＝，讨论λ的正负及与1和4的大小关系判断单调性； （2）先转化为f′（x）≤0，构造新函数得F（x）≤0，求导分类讨论判断F（x）单调性，当λ＞0分离参数求得范围． 【解答】解：（1）由题意得，f（x）＝lnx﹣λx，x∈[1，4]，f′（x）＝． 若λ≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在[1，4]上单调递增； 若，则f′（x）≥0，此时f（x）在[1，4]上单调递增； 若λ≥1，则f′（x）≤0，此时f（x）在[1，4]上单调递减； 若，则当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0， 故f（x）在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，f（x）在[1，4]上单调递增； 当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减； 当λ≥1时，f（x）在[1，4]上单调递减． （2）由题意得，∃k∈（0，+∞），使得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减， f′（x）＝． 令F（x）＝（k+1）lnx﹣λ（k+2）x+1， 问题即转化为：∃k∈（0，+∞），∀x∈（0，+∞），F（x）≤0． ①当λ≤0时，F′（x）＝，且单调递增， 易知x→+∞，F（x）→+∞，不合题意，舍去． ②当λ＞0时，因为F′（x）＝， ∴F（x）在上单调递增，在上单调递减， ∴． 即∃k∈（0，+∞），使得． 令， 故G′（k）＝， ∴G（k）在（0，+∞）上单调递减，且当k→+∞时，， ∴lnλ＞﹣1， ∴． 综上所述，实数λ的取值范围为． 【点评】本题考查函数恒成立问题，属于难题． 21．已知抛物线与双曲线相交于两点A，B，F是C2的右焦点，直线AF分别交C1，C2于C，D（不同于A，B点），直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点． （1）设A（x1，y1），C（x2，y2），求证：y1y2是定值； （2）求的取值范围． 【分析】（1）根据给定条件，设出直线AF的方程，与抛物线C的方程联立即可计算得证； （2）由（1）求出直线BC的方程并求出点P的横坐标xp，直线AF的方程与双曲线C2的方程联立，借助直线BD，求出点Q的横坐标xQ，再列式求出范围作答． 【解答】（1）证明：双曲线，可得c2＝a2+（4﹣a2）＝4， 可得c＝2，所以双曲线的右焦点F（2，0）， 因为直线AF与抛物线有两个交点，设A（x1，y1），C（x2，y2）， 显然直线AF不垂直y轴，又点F（2，0）， 故设直线AF的方程为x＝my+2， 联立方程，整理可得：y2﹣4my﹣4＝0， 则Δ＝16m2+16＞0， 所以y1y2＝﹣4，为定值； （2）解：由（1）知B（x1，﹣y1）， 所以直线BC的斜率为， 故直线BC的方程为， 令y＝0，得点P的横坐标为， 设D（x3，y3），联立方程， 整理可得：（4m2﹣m2a2﹣a2）y2+4m（4﹣a2）y+（4﹣a2）2＝0， 则， 所以， 而直线BD的方程为，依题意m≠0， 令y＝0，得点Q的横坐标为 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 因此， 所以的取值范围是． 【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 22．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①∃M＞0，an＜M；②{an}为单调数列，则称数列{an}具有性质P． （1）若，求数列{an}的最小项； （2）若，记，判断数列{Sn}是否具有性质P，并说明理由； （3）若，求证：数列{cn}具有性质P． 【分析】（1）利用an＝，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解； （2）变形bn≤，再利用等比数列求和证明性质①，利用bn＝＞0，证明②； （3）结合二项式定理及n元基本不等式求解． 【解答】解：（1）∵an＝＝3， 当且仅当，即n＝2时，等号成立， ∴数列{an}的最小项为a2＝2+＝3； （2）数列{Sn}具有性质P， ∵bn＝， ∴Sn＝≤＝1+＝＜2， ∴数列{Sn}满足条件①， ∵bn＝＞0，∴Sn＜Sn+1，∴{Sn}为单调递增数列， ∴数列{Sn}满足条件②． 综上，数列{Sn}具有性质P； （3）证明：先证数列{cn}满足条件①： ． 当k≥2时，• ＝ ≤＝， 则＜3， ∴数列{Sn}满足条件①； 再证数列{cn}满足条件②： （1+＞1，等号取不到） ＝， ∴{cn}为单调递增数列，∴数列{cn}满足条件②， 综上，数列{cn}具有性质P． 【点评】本题考查等比数列求和及二项式定理，考查利用函数性质研究数列问题，属难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/23 17:03:54；用户：杨乐；邮箱：13348702015；学号：41228115 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$