第三章 微专题一 平面直角坐标系中的相关计算-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

　 　 26　 微专题一　平面直角坐标系中的相关计算 　类型一 点的坐标变化规律 模型一　 旋转问题中点的坐标变化 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(a, b),将点 A 绕原点 O 顺时针旋转. (1)如图,每次旋转 90°􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则点 A1(b, - a),A2( - a, - b),A3( - b,a),A4(a,b),点 A4的坐标与点 A􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的坐标相同,即每旋转 4 次为一个循环. 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 若将点 A 以此规律旋转 n 次,n ÷ 4 = p……q(q 为正整 数,且 q < 4),则点 An的坐标与点 Aq的坐标相 同. 例:将点 A 以此规律旋转 9 次,9 ÷ 4 = 2…… 1,则 A9的坐标与 A1相同,即 A9(b, - a) . (2)每次旋转 60°,则点 A6的坐标与点 A 的坐标􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 相同,即每旋转 6 次为一个循环 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 . 若将点 A 以此 规律旋转 n 次,n ÷ 6 = p……q( q 为正整数,且 q < 6),则点 An的坐标与点 Aq的坐标相同. 例: 将点 A 以此规律旋转 10 次,10 ÷ 6 = 1……4,则 A10的坐标与 A4相同. (3)每次旋转 45°,则点 A8的坐标与点 A 的坐标􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 相同,即每旋转 8 次为一个循环 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 . 若将点 A 以此 规律旋转 n 次,n ÷ 8 = p……q( q 为正整数,且 q < 8),则点 An的坐标与点 Aq的坐标相同. 例: 将点 A 以此规律旋转 20 次,20 ÷ 8 = 2……4,则 A20的坐标与 A4相同. 例 1　 如图,已知菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 (1,0),顶点 B 的坐标为(4,4),若将菱形 ABCD􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 绕原点 O 逆时针旋转 45°称为 1 次变换,求经􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 过 60 次变换后点 C 的坐标.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 解:∵ 360° ÷45° =8, ∴ 菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 8 次变换为 一次循环. ∵ 60 ÷ 8 = 7……4,4 × 45° = 180°, ∴ 经过 60 次变换后点 C 的坐标处于点 C 绕原 点逆时针旋转 180°的位置. ∵ 顶点 A 的坐标为(1,0),顶点 B 的坐标为(4, 4), ∴ AB = (4 - 1) 2 + 42 = 5. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BC∥AD,BC = AB = 5. ∴ C(9,4) . ∴ 经过 60 次变换后点 C 的坐标为( - 9, - 4) . 1. 如图,矩形 ABCD 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴 上,OB =4,OA =3,AD =10.将矩形 ABCD绕点O 顺时针旋转,每次旋转 90°,则第2 023 次旋转结 束时,点 D的坐标为 (　 C　 ) A. (6,5)　 　 　 　 　 　 　 B. (5,6) C. ( - 6, - 5) D. ( - 5,6) 第 1 题图 　 第 2 题图 2. 如图,指针 OA,OB 分别从与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴重合的位置出发,绕着原点 O 顺 时针转动,已知 OA 每秒转动 45°,OB 的转动 速度是 OA 的 13 ,则第 102 秒时,∠AOB 的度 数为 (　 A　 ) A. 90°　 　 B. 130°　 　 C. 145°　 　 D. 150° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27　 　 3. 如图,直线 y = x + 1 与 x 轴,y 轴分别相交于 点 A,B,过点 B 作 BC⊥AB,使 BC = 2BA,连 接 AC. 将△ABC 绕点 O 顺时针旋转,每次旋 转 90°. 若第 101 次旋转结束时,点 C 的对应 点 C′落在反比例函数 y = kx 的图象上,则 k 的值为 (　 D　 ) A. - 4 B. 4 C. - 6 D. 6 模型二　 运动轨迹中点的坐标变化 与旋转问题的思路相似,先依据运动轨迹 确定点的变化规律,再根据规律确定动点的最 终位置,从而求出坐标. 例 2　 如图,在平面直角坐标系中,A( - 1,1), B( - 1, - 2),C(3, - 2),D(3,1),一只瓢虫从􀪍 点 A 出发以 2 个单位长度 /秒的速度沿 A→B→􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 C→D→A循环爬行,􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍请分别求出第9 秒、第110 秒、 第 2 023 秒瓢虫所在位置的坐标. 解:∵ A( - 1,1),B( - 1, - 2),C(3, - 2),D(3, 1), ∴ AB =CD =3,AD =BC =4. ∴ C矩形ABCD =2 × (3 +4) =14. ∵ 14 ÷ 2 = 7, ∴ 瓢虫每 7 秒爬行一圈. ∵ 9 ÷ 7 = 1……2,∴ 瓢虫第 9 秒爬行 1 圈回到 点 A 处后又继续爬行了 2 秒. 又∵ 2 × 2 = 4, ∴ 第 9 秒瓢虫所在位置的坐标为(0, - 2) . 4. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆 O1,O2,O3,…组成一条 平滑的曲线. 点 P 从原点 O 出发,沿这条曲 线向右运动,速度为每秒π2 个单位长度,则第 2 023秒时,点 P 的坐标是　 (2 023, - 1)　 . 5. 在平面直角坐标系中,若干个半径为 2、圆心 角为 60°的扇形形成了如图所示的连续的曲 线(x 轴上的半径除外),点 P 从原点 O 出 发,沿这条曲线向右上下起伏运动,在直线上 的速度为每秒 2 个单位长度,在弧线上的速 度为每秒2π3 个单位长度,则第 2 023 秒时,点 P 的坐标是　 (2 023, - 3 )　 . 6. 如图,在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点 O 出发,沿着 O→A1→A2→A3→A4→A5→A6→… 运动,每次移动 1 个单位长度,则该蚂蚁运动 2 023次时所在位置的坐标为　 　 　 　 　 　 　 . 模型三　 图形渐变中点的坐标变化 需要从两个方面考虑:(1)位置变化规律􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍, 同旋转问题的思路相似,通常为旋转或平移; (2)大小变化规律􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,求出每次变化后对应坐标 的数值变化,通常为倍数关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 28　 例 3　 在平面直角坐标系中,等边三角形 AOB 如图放置,点 A 的坐标为 (1,0),每一次将􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 △AOB 绕着点 O 沿逆时针方向旋转 60°,同时􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 每边扩大为原来的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,第一次旋转后得到 △A1OB1,第二次旋转后得到△A2OB2……依次 类推,则点 A2 024的坐标为 (　 　 ) A. ( - 22 023, - 3 × 22 023) B. (22 024, 3 × 22 024) C. ( - 22 023, 3 × 22 023) D. ( - 22 024, - 3 × 22 024) 7. 如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3,A4,… 在 x 轴上且 OA1 = 1,OA2 = 2OA1,OA3 = 2OA2, OA4 = 2OA3,…按此规律,分别过点 A1,A2, A3,A4,…作 x 轴的垂线,分别与直线 y = 　 3 x 交于点 B1,B2,B3,B4,…则点 B2 024的纵坐标 为 (　 　 ) A. 22 023 B. 22 022 　 3 C. 22 023 　 3 D. 22 024 　 3 8. 如图,过原点的两条直线分别为 l1:y = 2x, l2:y = - x. 过点 A(1,0)作 x 轴的垂线与 l1 交于点 A1,过点 A1作 y 轴的垂线与 l2交于 点 A2,过点 A2作 x 轴的垂线与 l1交于点 A3, 过点 A3作 y 轴的垂线与 l2交于点 A4,过点 A4 作 x 轴的垂线与 l1交于点 A5……依次进行下 去,则点 A20的坐标为 . 9. 在平面直角坐标系中,由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB = ∠BOC = ∠COD = … = ∠LOM = 30°. 若点 A 的坐标为( 3 ,0),则与△BOC 位似的三角形 的直角顶点坐标为 . 　类型二 三角形的面积问题 模型一　 三角形的一边在坐标轴上或平行于坐 标轴 直接公式法:如图,在△ABC 中,AB 是三角形在 坐标轴上(或平行于坐标轴)的边,h 为 AB 边上 的高,则直接使用三角形的面积公式 S = 12 AB·h. 　 　 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29　 　 例 1 　 如图,在平面直角坐标系中,已知点􀪍 A( -2,0),B(4,0),C(5, -4)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,求△ABC 的面积. 解:如图,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D. 1. 如图,一次函数 y = kx + b 的图象经过 A(1,2), B(0,1)两点,与 x 轴交于点 C,则△AOC 的 面积为　 1　 . 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,在同一平面直角坐标系中,直线 y = t ( t 为常数)与反比例函数 y1 = 4 x ,y2 = - 1 x 的 图象分别交于点 A,B,连接 OA,OB,则△OAB 的面积为 (　 C　 ) A. 5t　 　 　 B. 5t2 　 　 　 C. 5 2 　 　 　 D. 5 3. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = x2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A( - 1,0), B(3,0),与 y 轴交于点 C. (1)求 b,c 的值; (2)若点 D在该二次函数的图象上,且 S△ABD = 2S△ABC,求点 D 的坐标. 解:(1)∵ 点 A,B 在二次函数 y = x2 + bx + c 的图象上, ∴ 0 = 1 - b + c, 0 = 9 + 3b + c,{ 解得 b = - 2, c = - 3.{ (2)如图,连接 BC,AC. 由题意,可得 A( -1,0),B(3,0),C(0, -3), ∴ S△ ABC = 1 2 AB·DC = 1 2 × 4 × 3 = 6. ∵ 点 D 在该二次函数的图象上, ∴ 设点 D(m,m2 - 2m - 3) . ∵ S△ABD = 2S△ABC,∴ 点 D 的坐标为(1 + 10, 6)或(1 - 10,6). 模型二　 三角形的三边不在坐标轴上或不平行 于坐标轴 S△ABC = 1 2 ×水平底 ×铅垂高. (1)分割法:①如图,△ABC 的一个顶点在坐标轴 上,△ABC 被坐标轴分为两个三角形,则 S△ABC = S△CBD + S△ABD = 1 2 BD·h1 + 1 2 BD·h2 = 1 2 BD· (h1 + h2) . 　 ②如图,△ABC 的顶点均不在坐标轴上,过点 A 作 AD∥y 轴交 BC 于点 D,分别过点 B,C 向 AD 作垂线,则 S△ABC = S△ABD + S△ACD = 1 2 AD·h1 + 1 2 AD·h2 = 1 2 AD·(h1 + h2) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 30　 (2 ) 增补法:如图, 在 △ABC 中, 过点 B 作 DE∥x 轴,分别过点 A,C 向 DE 作垂线,垂足为 D,E,则 S△ABC = S四边形ADEC - S△ADB - S△BEC . 例 2　 如图,直线 y = - 43 x + 4 与 y 轴交于点 A, 与直线 y = 45 x + 4 5 交于点 B,且直线 y = 4 5 x + 4 5 与x 轴交于点 C,BC 交 y 轴于点 D,求 △ABC 的面积. 解:如图,过 点 B 作 BE ⊥ y 轴 于 点 E. ∵ 点 B 为直线 y = - 43 x + 4 与直线 y = 4 5 x + 4 5 的交点, ∴ y = - 43 x + 4, y = 45 x + 4 5 , ì î í ï ï ï ï 4. 如图, 平面直角坐标系中, 点 A ( 0, 3 ), B( - 2,0),C(1, - 1),连接 AB,BC,AC. 则 △ABC 的面积为　 　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y = kx + b( k≠0)的图象与反比例函数 y = n x (n≠0)的图象相交于 A,B 两点,点 B 的坐标 为(12,m),线段 OA =10,点 E 在 x 轴负半轴上, tan∠AOE = 43 .则△AOB 的面积为　 36　 . 6. 如图,抛物线 y = - x2 + x + 6 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 F,直线 y = x - 3 经过点 A,交 y 轴于点 C,且与抛物线交于另一点 D, 点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一动点,连 接 PA,PD,求△PAD 面积的最大值,并求出 此时点 P 的坐标. 解:如图,过点 P 作 PE∥y 轴 交直线 AD 于点 E. 令 - x2 + x + 6 = x - 3,解得 x1 = - 3,x2 = 3. ∴ A(3,0),D( - 3, - 6) . 设点 P(m, - m2 + m + 6),则 E(m,m - 3) . ∴ PE = - m2 + m + 6 - (m - 3) = - m2 + 9. ∴ S△PAD = 1 2 PE·(xA - xD) = 1 2 × ( - m 2 + 9) × [3 - ( - 3)] = - 3m2 + 27. ∵ -3 < 0, ∴ 当 m = 0 时,S△PAD取得最大值,最大值为 27,此时 P(0,6) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 时，活动二更合算． 综上所述，当３００≤ａ＜４００或６００≤ａ＜８００时，活动二更合算． 考法拓展 Ｂ !3#$ 4% ! １ " 89:;<=>?@A<= 以题代讲抓考点 考点一　平面直角坐标系中点的坐标 题目１．（１）一　（２）ａ＜－１２　（３）３　－ １ ２　（４） ２ ３ （５）（１３，３）　（６）（１，１）　（７）（５，１）　（－５，－１）　（－５，１） 考点链接 ①（－，＋）　②（＋，－）　③０　④横　⑤（０，０）　⑥相等　⑦互为相反数 ⑧纵坐标　⑨横坐标　⑩（ａ，－ｂ）　瑏瑡（－ａ，ｂ）　瑏瑢（－ａ，－ｂ） 考点二　平面直角坐标系中的距离 题目２．（１）（－１，３）或（－４，－３）　（２）１１　（３） －３２，( )２ （４）（－１，３）或（－３，－１）　（５）槡３５或槡５ 考点链接 瑏瑣 ｂ　瑏瑤 ａ　瑏瑥 ａ２＋ｂ槡 ２　瑏瑦 ｘ２－ｘ１ 　瑏瑧 ｙ２－ｙ１ 瑏瑨 （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２ 多向思维解真题 １．－３＜ｍ＜１　２．Ｄ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．（－２，－４）　６．槡２３３　７．（－３，１）　８．Ｃ ９．Ａ　１０．（４，２）　１１． ９４，( )０　１２．Ｂ　１３．Ｄ　１４．Ａ　１５．２２０２２槡３ 567"$ 89:;<=>?@ABCD BC&#@A<=DEFG 模型一　旋转问题中点的坐标变化 例１．解：∵３６０°÷４５°＝８， ∴菱形ＡＢＣＤ绕原点Ｏ逆时针旋转８次变换为一次循环． ∵６０÷８＝７……４，４×４５°＝１８０°， ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标处于点Ｃ绕原点逆时针旋转１８０°的位置． ∵顶点Ａ的坐标为（１，０），顶点Ｂ的坐标为（４，４）， ∴ＡＢ＝ （４－１）２＋４槡 ２＝５． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ＝ＡＢ＝５． ∴Ｃ（９，４）． ∴经过６０次变换后点Ｃ的坐标为（－９，－４）． 变式训练 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｄ 模型二　运动轨迹中点的坐标变化 例２．解：∵Ａ（－１，１），Ｂ（－１，－２），Ｃ（３，－２），Ｄ（３，１）， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝４． ∴Ｃ矩形ＡＢＣＤ＝２×（３＋４）＝１４． ∵１４÷２＝７，∴瓢虫每７秒爬行一圈． ∵９÷７＝１……２， ∴瓢虫第９秒爬行１圈回到点Ａ处后又继续爬行了２秒． 又∵２×２＝４， ∴第９秒瓢虫所在位置的坐标为（０，－２）． ∵１１０÷７＝１５……５， ∴瓢虫第１１０秒爬行１５圈回到点Ａ处后又继续爬行了５秒． 又∵５×２＝１０， ∴第１１０秒瓢虫所在位置的坐标为（３，１）． ∵２０２３÷７＝２８９， ∴瓢虫第２０２３秒正好爬行２８９圈回到点Ａ处． ∴第２０２３秒瓢虫所在位置的坐标为（－１，１）． 变式训练 ４．（２０２３，－１）　５．（２０２３， 槡－３）　６． 槡 ２０２３ ２ ２ ，－ 槡２( )２ 模型三　图形渐变中点的坐标变化 例３．Ｃ 变式训练 ７．Ｃ　８．（１０２４，－１０２４）　９． － 槡６４ ３２７， ６４( )２７ BC-#H;IA9JKL 模型一　三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例１．解：如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄ． ∵点Ａ（－２，０），Ｂ（４，０），Ｃ（５，－４）， ∴ＡＢ＝６，ＣＤ＝４． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２×６×４＝１２． 变式训练 １．１　２．Ｃ ３．解：（１）∵点Ａ，Ｂ在二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上， ∴ ０＝１－ｂ＋ｃ， ０＝９＋３ｂ＋ｃ{ ，解得 ｂ＝－２，ｃ＝－３{ ． （２）如图，连接ＢＣ，ＡＣ． 由题意，可得Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３）， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＝ １ ２×４×３＝６． ∵点Ｄ在该二次函数的图象上， ∴设点Ｄ（ｍ，ｍ２－２ｍ－３）． ∵Ｓ△ＡＢＤ＝２Ｓ△ＡＢＣ， ∴ １２ＡＢ· ｙＤ ＝２×６＝１２． ∴ １２×４× ｍ ２－２ｍ－３ ＝１２，解得ｍ１ 槡＝１＋ １０，ｍ２ 槡＝１－ １０． ∴点Ｄ的坐标为（ 槡１＋ １０，６）或（ 槡１－ １０，６）． 模型二　三角形的三边不在坐标轴上或不平行于坐标轴 例２．解：如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ｙ轴于点Ｅ． ∵直线ｙ＝－４３ｘ＋４与ｙ轴交于点Ａ， ∴点Ａ的坐标为（０，４）． ∵ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５与ｙ轴交于点Ｄ， ∴点Ｄ的坐标为 ０，( )４５ ．∴ＡＤ＝４－４５＝１６５． 令 ４ ５ｘ＋ ４ ５＝０，则ｘ＝－１，故点Ｃ的坐标为（－１，０）． ∵点Ｂ为直线ｙ＝－４３ｘ＋４与直线ｙ＝ ４ ５ｘ＋ ４ ５的交点， ∴ ｙ＝－４３ｘ＋４， ｙ＝４５ｘ＋ ４ ５ { ，解得 ｘ＝３２，ｙ＝２{ ． 故点Ｂ的坐标为 ３２，( )２． ∴ＢＥ＝３２，ＯＣ＝１． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ＡＤ·ＢＥ＋ １ ２ＡＤ·ＯＣ＝ １ ２× １６ ５× ３ ２＋ １ ２× １６ ５× １＝４． 变式训练 ４．１１２　５．３６ ６．解：如图，过点Ｐ作ＰＥ∥ｙ轴交直线ＡＤ于点Ｅ． 令－ｘ２＋ｘ＋６＝ｘ－３，解得ｘ１＝－３，ｘ２＝３． ∴Ａ（３，０），Ｄ（－３，－６）． 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋ｍ＋６），则Ｅ（ｍ，ｍ－３）． ∴ＰＥ＝－ｍ２＋ｍ＋６－（ｍ－３）＝－ｍ２＋９． ∴Ｓ△ＰＡＤ＝ １ ２ＰＥ·（ｘＡ－ｘＤ）＝ １ ２×（－ｍ ２＋９）×［３－（－３）］＝－３ｍ２＋２７． ∵－３＜０， ∴当 ｍ＝０时，Ｓ△ＰＡＤ取得最大值，最大值为２７，此时 Ｐ（０，６）． ! ２ "#M%./NO 以题代讲抓考点 考点一　函数的相关概念 题目１．（１）Ｂ （２）①ｙ＝５－ｘ　０＜ｘ＜５　３　１　②Ｓ＝－ｘ２＋５ｘ　二次　６ 考点链接 ①不为０　②非负数 考点巩固练 １．Ｄ　２．Ｃ 考点二　函数的图象与性质 题目２．解：（１）ｘ≠－１　（２）０　－１　－３２ （３）函数图象如图所示． （４）函数图象关于直线ｘ＝－１对称．（答案不唯一，合理即可） 考点链接 ③函数值　④横　⑤纵　⑥平滑曲线 多向思维解真题 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ａ　４．Ａ　５．Ａ　６．Ｃ　７．槡７３                                                                                                                                         ２ —３—