第三章 第3节 一次函数的图象与性质-【王睿中考】2024年河南中考总复习一本通数学

37　 　 第 3 节　一次函数的图象与性质 一次函数解析式的确定 题目 1　 在平面直角坐标系中,有点 A(1,3), 点 B( - 1,2) . (1)若正比例函数 y = kx 的图象经过点 A, 则 k 的值为　 3　 ; (2)若一次函数 y = x + b 的图象经过点 A, 则 b 的值为　 2　 ; (3)若一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A, B,则该一次函数的解析式为　 　 　 　 　 　 . 1.一次函数、正比例函数的概念 一次函数:一般地,形如 y = kx + b( k,b 为常 数, ①　 k≠0　 )的函数,叫做一次函数. 正比例函数:特别地,当 b =②　 0　 时,y = kx (k 为常数,k≠0)叫做正比例函数. 2.一次函数解析式的确定———待定系数法 (1)设:􀪍􀪍设出一次函数解析式③　 y = kx + b (k≠0)　 ; (2)列:􀪍􀪍找出函数图象上的两个点,代入 y = kx + b 中,得到二元一次方程组; (3) 解:􀪍􀪍解这个二元一次方程组,得到 k, b 的值; (4)还原:􀪍􀪍􀪍将所求的 k,b 的值代入所设的函数 解析式中即可. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次函数的图象与性质 题目 2　 已知一次函数 y = kx + b(k≠0,b 为 常数),回答下列问题: (1)若 k <0,b < 0,则该一次函数图象经过第 　 二、三、四　 象限,y 随 x 的增大而　 减小　 ; (2)若该函数的图象如图所示,则 k 　 < 　 0, b 　 > 　 0; (3)若该函数图象经过第一、三、四象限,则 k 　 > 　 0,b 　 < 　 0; (4)若 kb < 0 且 k > b,则该函数图象可能是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 B C 　 　 　 　 　 D (5)若 k =1,b =0,函数图象经过第　 一、三　 象限,y 随 x 的增大而　 增大　 ; (6)若将(5)中的函数图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度,得到直线 l1,则直线 l1的函数 解析式为　 y = x + 1　 ,与 y 轴的交点坐标 为 . 1.图象与性质 k > 0 k < 0 正比例函数 y = kx(k≠0) 图象经过第一、 三象限 图象 经 过 第 二、 四限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 38　 (续表) 一次函数 y = kx + b (k≠0) b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图象经过 第一、二、 三象限 图象经过 第一、三、 四象限 图象经过 一、二、 四象限 图象经过 第二、三、 四象限 性质 y 随 x 的增大而 增大 y 随 x 的增大而 ④　 减小　 2.一次函数图象的平移(口诀:左加右减,上加􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 下减)􀪍􀪍􀪍 (1)直线 y = kx + b 向左平移 m(m > 0)个单 位长度得到直线⑤　 y = k(x + m) + b　 ; (2)直线 y = kx + b 向右平移 m(m > 0)个单 位长度得到直线⑥　 y = k(x - m) + b　 ; (3)直线 y = kx + b 向上平移 m(m > 0)个单 位长度得到直线⑦　 y = kx + b + m　 ; (4)直线 y = kx + b 向下平移 m(m > 0)个单 位长度得到直线⑧　 y = kx + b - m　 . 3.求交点坐标 (1) 与 x 轴的交点坐标⇔ y = 0,求对应的 x 值; (2) 与 y 轴的交点坐标⇔ x = 0,求对应的 y 值; (3)两个一次函数的交点坐标⇔联立两个函 数关系式解方程(组) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系 题目 3　 已知一次函数 y = kx + b. (1)若点 A(0,4),B(1,3)在该函数图象上, 则方程 kx + b = 2 的解是　 x = 2　 ; (2)若直线 y = - x + 4 与该函数图象交于 点 P ( m, 1 ), 则 方 程 组 y = kx + b, y = - x + 4{ 的 解 是　 　 　 　 　 ; (3)若该一次函数的图象经过点 A( - 2,0), B(0,4),则不等式 kx + b >0 的解集是　 　 　 , 不等式 kx + b < 4 的解集是　 x < 0　 . 1.一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴交点的横 坐标⇔方程 kx + b = 0 的解. 2.一次函数与二元一次方程组的关系 一次函数 y = kx + b 与 y = k1x + b1的图象的交 点横、纵坐标⇔方程组 y = kx + b, y = k1x + b1{ 的解. 3.一次函数与一元一次不等式的关系 (1)一次函数 y = kx + b 的函数值 y > 0 时,自 变量 x 的取值范围⇔kx + b > 0 的解集; (2)一次函数 y = kx + b 的函数值 y < 0 时,自 变量 x 的取值范围⇔kx + b < 0 的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一次函数的实际应用 题目 4　 已知某文具店要购进A,B 两种文具, A 的进价为15 元 /个,B 的进价为10 元 /个,该 文具店一次性购进 A,B 两种文具共 30 个, 其中 A 的个数不少于 B 的个数的一半,请 你为商家设计一个最省钱的购进方案. 解:设购进 A 文具的数量为 x 个,则购进 B 文具的数量为　 (30 - x)　 个. 列一次函数关系式:设购进费用为 y 元,则 y = 　 15x + 10(30 - x)　 = 　 5x + 300　 . 求 x 的取值范围:由　 　 　 　 　 得　 x≥10　 , 且 x≤30,可得 x 的取值范围是　 　 　 　 . 确定 y 随 x 的变化的情况:∵ k 　 > 　 0,∴ y 随 x 的增大而　 增大　 . 确定最省钱的购进方案:当 x = 　 10 　 时, 进货费用最少,即购进　 10 　 个 A,　 20　 个 B 花费最少. (由 x 的取值范围可确定方 案个数) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39　 　 1.含有一次函数图象的实际问题 (1)函数图象变化的意义:图象从左向右上 升,说明函数值随着自变量的增大而增大;图 象平行于 x 轴,说明此段图象上,函数值随着 自变量的增大而没有发生变化;图象从左向 右下降,说明函数值随着自变量的增大而 减小. (2)图象上拐点的意义:图象上的拐点既是 前一段函数变化的终点,又是后一段函数变 化的起点,它反映函数图象在这一时刻开始 发生变化. (3)函数图象的交点:交点说明在此刻几段 函数的值相同,在实际问题中,常转化为结果 相等,尤其是在比较两段函数值大小的情况 下,交点的作用尤为突出. 2.不含一次函数图象的实际问题 (1)一般步骤 ①设出问题中的变量; ②建立一次函数的解析式; ③确定自变量的取值范围; ④利用函数的性质解决问题; ⑤作答. (2)实际问题中的最大值、最小值 在实际问题中,一般自变量的取值范围受到 限制,一次函数的图象就由直线变成线段或 射线,根据函数图象的性质,函数就存在最大 值或最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　命题点一 一次函数解析式的确定（10年 5考） 1. (2022 河南)请写出一个 y 随 x 的增大而增 大的一次函数的表达式:　 y = 2x + 1(答案不 唯一)　 . 2. (2021 河南)请写出一个图象经过原点的函 数的解析式　 y = x(答案不唯一)　 . 　命题点二 一次函数的图象与性质 3. (2023 巴中)一次函数 y = (k - 3) x + 2 的函 数值 y 随 x 的增大而减小,则 k 的取值范 围是 ( 　 　 ) A. k > 0　 　 　 　 　 　 　 　 B. k < 0 C. k > 3 D. k < 3 4. (2023 包头)在平面直角坐标系中,将正比例 函数 y = - 2x 的图象向右平移 3 个单位长度 得到一次函数 y = kx + b(k≠0)的图象,则该 一次函数的解析式为 (　 　 ) A. y = - 2x + 3 B. y = - 2x + 6 C. y = - 2x - 3 D. y = - 2x - 6 　命题点三 一次函数与一元一次不等式的关系 5. (2023 宁夏)在同一平面直角坐标系中,一次 函数 y1 = ax + b(a≠0)与 y2 =mx + n(m≠0)的 图象如图所示,则下列结论错误的是 (　 　 ) A. y1随 x 的增大而增大 B. b < n C. 当 x < 2 时,y1 > y2 D. 关于 x,y的方程组 ax -y = -b, mx -y = -n{ 的解为 x =2, y =3{ 　解题讲方法 根据一次函数图象确定不等式组的解集 第一步:确定关键点(两个一次函数图象的交 点)的坐标; 第二步:根据关键点左右两侧图象的位置关系, 确定不等式组的解集. 如图,在点 A 左侧,直线 l1在直线 l2下方,则 y1 < y2,故 x < xA即为不等式 k1 x < k2 x + b 的解 集;在点 A 右侧,直线 l1 在直线 l2 上方,则y1 > y2,故x > xA即为不等式 k1x > k2x + b 的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 40　 　命题点四 一次函数的实际应用（10 年 10 考） 6. (2023 扬州)近年来,市民交通安全意识逐步 增强,头盔需求量增大. 某商店购进甲、乙两 种头盔,已知购买甲种头盔 20 只,乙种头盔 30 只,共花费 2 920 元,甲种头盔的单价比乙 种头盔的单价高 11 元. (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元? (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共 40 只, 正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下: 甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只 降价 6 元出售. 如果此次购买甲种头盔的数 量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购买 多少只甲种头盔,使此次购买头盔的总费用 最小? 最小费用是多少元? 7. (2020 河南)暑期将至,某健身俱乐部面向学 生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身 费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费 用按八折优惠. 设某学生暑期健身 x(次),按照方案一所需 费用为 y1(元),且 y1 = k1x + b;按照方案二所 需费用为 y2(元),且 y2 = k2 x. 其函数图象如 图所示. (1)求 k1和 b 的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和 k2的值; (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部 健身 8 次,选择哪种方案所需费用更少? 说 明理由. (2)打折前的每次 健身 费 用 为 15 ÷ 0 . 6 = 25(元) . k2 = 25 × 0. 8 = 20. (3) 选择方案一所 需费用更少. 理由:∵ k1 = 15,b = 30,∴ y1 = 15x + 30. ∵ k2 = 20,∴ y2 = 20x. 当 x = 8 时, y1 = 15 × 8 + 30 = 150,y2 = 20 × 8 = 160. ∵ 150 < 160, ∴ 选择方案一所需费用更少. 　解题讲方法 一次函数实际应用题的解题通法 一次函数的实际应用题一般涉及:求函数 解析式,选择最优方案,利润最大或费用最少. 1.求函数解析式 ①文字型及表格型问题,一般都是根据题干 中给出的数据来求一次函数解析式; ②图象型问题,一般是找图象上的两个点的 坐标,根据待定系数法求一次函数解析式. 2.选择最优方案 ①若给定自变量的取值,则将自变量的值代 入解析式,得到因变量的值,再进行选取; ②若给定因变量的取值,则将因变量的值代 入解析式,得到自变量的值,再进行选取; ③若自变量、因变量均未给定取值,可分别求 出 y1 < y2,y1 = y2,y1 > y2的解集,再根据结果 进行选取. 3.利润最大或费用最少 一般根据图象、题干信息或解不等式得到自 变量的取值范围,然后利用一次函数的增减 性求最少费用或最大利润. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　对应配套练习见进阶训练卷 P17 567+$ *EFG4%HI BC&#2PQR$SKLAM%NO 例　Ｂ 变式训练 １．Ｄ　２．Ｄ　３．Ｄ BC- 2PQRTUVWKLAM%NO 模型一　判断函数图象 例１．Ｄ 变式训练 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ 模型二　分析函数图象 例２．Ｃ 变式训练 ４．槡２５＋２　５．Ｃ　６．Ｄ ! ３ "#&'M%ANO*XY 以题代讲抓考点 考点一　一次函数解析式的确定 题目１．（１）３　（２）２　（３）ｙ＝１２ｘ＋ ５ ２ 考点链接 ①ｋ≠０　②０　③ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０） 考点二　一次函数的图象与性质 题目２．（１）二、三、四　减小　（２）＜　 ＞　（３）＞　 ＜　（４）Ａ　（５）一、三　 增大　（６）ｙ＝ｘ＋１　（０，１） 考点链接 ④减小　⑤ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ　⑥ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ　⑦ｙ＝ｋｘ＋ｂ＋ｍ ⑧ｙ＝ｋｘ＋ｂ－ｍ 考点三　一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系 题目３．（１）ｘ＝２　（２） ｘ＝３， ｙ{ ＝１　（３）ｘ＞－２　ｘ＜０ 考点四　一次函数的实际应用 题目４．（３０－ｘ）　１５ｘ＋１０（３０－ｘ）　５ｘ＋３００　ｘ≥３０－ｘ２ 　ｘ≥１０　１０≤ｘ≤３０ 　＞　增大　１０　１０　２０ 多向思维解真题 １．ｙ＝２ｘ＋１（答案不唯一）　２．ｙ＝ｘ（答案不唯一）　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｃ ６．解：（１）设购买甲种头盔的单价为ｘ元，乙种头盔的单价为ｙ元． 根据题意，得 ｘ－ｙ＝１１， ２０ｘ＋３０ｙ＝２９２０{ ，解得 ｘ＝６５，ｙ＝５４{ ． 答：甲、乙两种头盔的单价分别是６５元，５４元． （２）设购买ｍ只甲种头盔，总费用为ｗ元． 根据题意，可得ｗ＝０．８×６５ｍ＋（５４－６）（４０－ｍ）＝４ｍ＋１９２０． ∵４＞０，∴ｗ随ｍ的增大而增大． 又∵ｍ≥ １２（４０－ｍ），解得ｍ≥１３ １ ３， ∴当ｍ＝１４时，ｗ取最小值，ｗ最小 ＝４×１４＋１９２０＝１９７６． 答：购买１４只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小，最小费用为１９７６元． ７．解：（１）∵ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象过（０，３０），（１０，１８０）， ∴ ３０＝ｂ， １８０＝１０ｋ１＋ｂ{ ，∴ ｋ１＝１５， ｂ＝３０{ ． ｋ１的实际意义是：打六折后的每次健身费用为１５元． ｂ的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为３０元． （２）打折前的每次健身费用为１５÷０．６＝２５（元）． ｋ２＝２５×０．８＝２０． （３）选择方案一所需费用更少． 理由：∵ｋ１＝１５，ｂ＝３０，∴ｙ１＝１５ｘ＋３０． ∵ｋ２＝２０，∴ｙ２＝２０ｘ． 当ｘ＝８时， ｙ１＝１５×８＋３０＝１５０，ｙ２＝２０×８＝１６０． ∵１５０＜１６０，∴选择方案一所需费用更少． ! ４ "#Z[\M% 以题代讲抓考点 考点一　反比例函数的图象与性质 题目１．（１）－３　６　（２）如图所示　（３）一、三　减小　＞　＜　（４）在 考点链接 ①０　②一、三　③二、四　④减小　⑤增大　⑥原点 考点二　反比例函数解析式的确定及ｋ的几何意义 题目２．－１２ 考点链接 ⑦ ｋ　⑧ ｋ　⑨ １２ ｋ　⑩２ｋ 多向思维解真题 １．Ｃ　２．Ｃ　３．２０ ４．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经过点Ａ（１，２）， ∴ｋ＝１×２＝２． ∴反比例函数的解析式为ｙ＝２ｘ． （２）如图，∵反比例函数ｙ＝２ｘ的图象过点Ｂ， ∴正方形ＯＣＢＤ的面积为２． 由图，可知ＯＥ＝２， ∴正方形ＯＥＦＧ的面积为２×２＝４． ∴阴影部分的面积为４×（４－２）＝８． ５．解：（１）将Ａ（４，１）代入ｙ２＝ ｍ ｘ（ｘ＞０）中， 可得１＝ｍ４，解得ｍ＝４． ∴反比例函数的解析式为ｙ２＝ ４ ｘ（ｘ＞０）． ∵Ｂ １２，( )ａ在ｙ２＝４ｘ（ｘ＞０）的图象上， ∴ａ＝４１ ２ ＝８．∴Ｂ １２，( )８． 将Ａ（４，１），Ｂ １２，( )８分别代入ｙ１＝ｋｘ＋ｂ， 得 ４ｋ＋ｂ＝１， １ ２ｋ＋ｂ＝８ { ，解得 ｋ＝－２，ｂ＝９{ ． ∴一次函数的解析式为ｙ１＝－２ｘ＋９． （２）由（１），可知Ａ（４，１），Ｂ １２，( )８．当ｙ１－ｙ２＞０时，ｙ１＞ｙ２，此时直线 ＡＢ在 反比例函数图象上方，对应的ｘ的取值范围是 １２＜ｘ＜４．故答案为 １ ２＜ｘ＜４． （３）设点Ｐ（ｐ，－２ｐ＋９），则Ｑ ｐ，４( )ｐ ． ∴ＰＱ＝－２ｐ＋９－４ｐ． ∴Ｓ△ＰＯＱ＝ １ ２ＰＱ·ｘＰ＝ １ ２× －２ｐ＋９－ ４( )ｐ ·ｐ＝３， 整理，得２ｐ２－９ｐ＋１０＝０， 解得ｐ１＝２，ｐ２＝ ５ ２． 当ｐ＝２时，－２ｐ＋９＝－２×２＋９＝５； 当ｐ＝５２时，－２ｐ＋９＝－２× ５ ２＋９＝４． ∴点Ｐ的坐标为（２，５）或 ５２，( )４． ６．解：（１）将Ａ（槡３，１）代入ｙ＝ ｋ ｘ中，得１＝ ｋ 槡３ ，解得ｋ 槡＝３． （２）如图，连接ＡＣ，交ｘ轴于点Ｍ． ∵四边形ＡＯＣＤ是菱形， ∴ＡＣ⊥ＯＤ，Ｍ是ＡＣ的中点． ∵Ａ（槡３，１），∴ＡＭ＝１，ＯＭ 槡＝３，ＡＣ＝２． ∴ＯＡ＝ （槡３） ２ ＋１槡 ２＝２． ∴ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＣ．∴△ＡＯＣ是等边三角形． ∴∠ＡＯＣ＝６０°． ∴扇形ＡＯＣ的半径为２，圆心角为６０°． （３）如图，设ＢＦ交ＯＥ于点Ｎ． 由题，可知Ｓ△ＦＮＯ＝Ｓ△ＢＮＯ＝ ｋ ２ ＝ 槡３ ２． ∴Ｓ△ＦＢＯ＝２×槡 ３ ２ 槡＝３． ∵ＯＤ＝２ＯＭ 槡＝２３，∴Ｓ菱形ＡＯＣＤ＝ １ ２ＯＤ·ＡＣ 槡＝２３． 又∵Ｓ扇形ＡＯＣ＝ ６０π×２２ ３６０ ＝ ２π ３， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＦＢＯ＋Ｓ菱形ＡＯＣＤ－Ｓ扇形ＡＯＣ 槡 槡＝３＋２３－ ２π ３ 槡＝３３－ ２π ３． ７．解：（１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过点Ａ（２，４）， ∴ｋ＝２×４＝８． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝８ｘ                                                                                                                                         ． —４—