第8章 拓展视野7 阿波罗尼斯圆（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m,0)，B(m,0)． 又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得 ＝λ，两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． 学生用书↓第195页 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________． (2)已知圆O：x2＋y2＝1和点A ，若定点B(b,0) 和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________． 答案：(1) 　(2)2　 解析：(1)设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得 2＋y2＝，所以点P的轨迹的圆心坐标为 . (2)设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，整理得x2＋y2－x＋＝0，所以解得 如图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB面积的最大值为××1＝. 对点练．(1)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为________． (2)(2024·广东佛山联考)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,1)，B(－2,4)，点P是满足λ＝的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____________________________；若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PB|＋|PQ|＋|QH|的最小值为________． 答案：(1) 　(2)(x＋2)2＋y2＝4　－1 解析：(1)点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a,2a－4)．因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得＝2，化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上，又点M在圆C上，所以两圆有公共点，则|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤.即a的取值范围是. (2)设点P(x，y)，因为λ＝，所以＝，所以(x＋2)2＋y2＝4；抛物线的焦点为点F，由题意知F(1,0)，|PB|＝|PA|，|QH|＝|QF|－1，所以min＝(|PA|＋|PQ|＋|QF|－1)min＝|AF|－1＝－1＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$