第4章 第10节 多边形与三角形中的特殊线段(培优课)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第十节　多边形与三角形中的特殊线段(培优课5) 类型一　多边形中的解三角形问题 如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为. (1)求AC； (2)求∠ACD. 解：(1)因为△ABC的面积为， 所以AB·BCsin B＝. 又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2. 由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， 即AC2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12， 所以AC＝2. (2)因为ABCD为圆内接四边形，且B＝120°， 所以D＝60°. 又AD＝2， 由正弦定理可得＝， 故sin∠ACD＝＝＝. 因为AC>AD， 所以0°<∠ACD<60°， 所以∠ACD＝45°. 规律方法 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．　　 对点练1.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，线段AE交BC于点D，BD＝1. (1)求sin∠ADB； (2)若AD＝3DE，求BE的长． 解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，代入数据可得AD2＝32＋12－2×3×1×＝7，所以AD＝， 由正弦定理可得＝， 所以sin∠ADB＝＝＝. (2)在△ABD中，由(1)及余弦定理得cos∠ADB＝－， cos∠EDB＝cos(π－∠ADB)＝－cos∠ADB＝， 又DE＝＝， 所以在△BED中，由余弦定理可得BE2＝BD2＋DE2－2BD×DE×cos∠EDB＝1＋－2×1××＝，故BE＝. 类型二　三角形的中线问题 (2024·山东济南模拟)在△ABC中，2sin∠ACB＝sin∠ABC，AB＝2，BC边上的中线长为 . (1)求AC的值； (2)求△ABC的面积． 解：(1)因为2sin∠ACB＝sin∠ABC，由正弦定理得＝⇒＝＝，所以2AB＝AC.又AB＝2，所以AC＝4. (2)如图，记BC的中点为D，则AD＝，设BD＝CD＝x.因为∠ADB＋∠ADC＝π，即cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，由余弦定理可得＋＝0，即＋＝0，所以x＝1，从而BC＝2， 所以AC2＝BC2＋AB2，则∠ABC＝，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2. 学生用书↓第105页 　规律方法 与三角形中线有关的解题策略 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝，联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 2．向量法：2＝(b2＋c2＋2bccos A)． 推导过程：由＝(＋)，得2＝(＋)2＝2＋2＋||||·cos A，所以2＝(b2＋c2＋2bccos A)．　 对点练2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点． (1)求角A的大小； (2)若a＝，求中线AM长度的最大值． 解：(1)因为b＝acos C＋csin A，根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以cos Asin C＝sin Csin A. 因为sin C≠0，所以tan A＝.又0<A<π，所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3. 因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号， 所以b2＋c2≤6.又AM是BC边上的中线， 所以＝，两边平方得||2＝(b2＋c2＋bc)≤＝××(b2＋c2)≤，当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值. 类型三　三角形的角平分线 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bsin. (1)求角A的大小； (2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长． 解：(1)因为asin B＝bsin，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bsin. 因为sin B≠0，所以sin A＝sin， 所以sin A＝sin A＋cos A， 即sin A＝cos A，所以tan A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)法一：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以AB·AC·sin∠BAC＝AB·AD·sin∠BAD＋AD·AC·sin∠DAC， 所以×3×1×sin＝×3×AD×sin＋×AD×1×sin，所以AD＝. 法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos＝7，所以BC＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝， 在△ADC中，由正弦定理得＝. 因为sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC， 所以＝＝，所以DC＝. 在△ADC中，由余弦定理得DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，设AD＝x，则＝x2＋1－2x·，即x2－x＋＝0，解得x＝或. 在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝－<0，所以C是钝角，则在△ADC中，AD>AC，所以AD＝. 法三：在△ABD中，由正弦定理得＝，在△ADC中，由正弦定理得＝. 因为sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC， 所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以||2＝2＝||2＋||2＋·＝×9＋×1＋×3×1×＝，所以AD＝. 　规律方法 与三角形角平分线有关的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2．内角平分线定理：＝. 3．等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A，所以(b＋c)AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式)．　 学生用书↓第106页 对点练3.(2024·福建漳州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cos B(bcos C＋ccos B)． (1)求B； (2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最小值． 解：(1)由正弦定理得sin A＝2cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝2cos Bsin A， 因为sin A≠0，所以cos B＝，又B∈(0，π)， 所以B＝. (2)因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝， 又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以acsin＝a·2·sin＋c·2·sin， 化简得ac＝a＋c，所以＋＝， 所以a＋c＝(a＋c)＝≥＝， 当且仅当＝时，等号成立，即a＋c的最小值为. 类型四　三角形的高线问题 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos C＝. (1)求角B的大小； (2)若边AB上的高为，求cos C的值． 解：(1)由余弦定理得＝，所以a2＋b2－c2＝2a(a－csin B)，所以b2＝a2＋c2－2acsin B．又因为b2＝a2＋c2－2accos B，所以sin B＝cos B，则tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝，则a＝c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝2＋c2－2×c×c×＝c2，所以b＝c，所以cos C＝＝＝－. 规律方法 1．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． 高线的两个作用：(1)产生直角三角形．(2)与三角形的面积相关．　　 对点练4.(2024·湖北武汉高三四调)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin＝. (1)求角A； (2)若BC边上的高h＝a，求cos Bcos C. 解：(1)由题意得2sin＝， 则(sin B＋cos B)sin A＝sin B＋sin Acos B＋sin Bcos A， 有sin A＝1＋cos A，即2sin＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由S△ABC＝ah＝bcsin A，则a2＝bc， 所以a2＝2bc， 有sin2A＝2sin Bsin C，则sin Bsin C＝， 又cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，则cos Bcos C＝－. 课时测评36　多边形与三角形中的特殊线段(培优课5) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－4，每小题5分，共20分) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，若asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，且AD＝，b＝3c，则a的值为(　　) A． B． C．3 D．22 答案：B 解析：由asin A＝bsin B＋(c－b)sin C及正弦定理得a2＝b2＋(c－b)c.由余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.由三角形内角平分线定理得＝＝，所以＝＋，两边平方得||2＝2＝2＋·＋2，即()2＝c2＋c·3c·＋(3c)2，解得c＝，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝42＋2－2×4××＝，所以a＝.故选B. 2．(2024·江苏南通诊断测试)在△ABC中，已知A＝60°，BC＝2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：C 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立．因为＝(＋)，所以2＝(2＋2＋2·)＝＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋bc＋bc)≤(4＋8)＝3，所以||≤.故选C. 3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 答案：2 解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，故AD＝＝＝2. 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 4．(2024·河南洛阳模拟)如图，在△ABC中，BC＝AC，∠BAC＝，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝DC＝1，则BD的最大值是________． 答案：2＋ 解析：在△ABC中，设AC＝x，则BC＝AC＝x，由∠BAC＝及正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ABC＝.因为∠ABC∈，所以∠ABC＝，则∠ACB＝.在△ACD中，设∠ADC＝θ，则由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos θ，即x2＝2－2cos θ，由正弦定理可得＝，所以xsin∠ACD＝sin θ.在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即BD2＝3x2＋1－2xcos＝3x2＋1＋2xsin∠ACD＝3x2＋1＋2sin θ＝3(2－2cos θ)＋1＋2sin θ＝4sin＋7≤4＋7，当θ＝＋＝时，BD取得最大值，最大值为2＋. 5．(12分)已知a，b，c分别为三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且有2sin＝. (1)求角A； (2)若D为边BC上一点，且2CD＝AD＝BD，求sin C. 解：(1)由2sin＝，有sin C＋cos C＝， 即sin Asin C＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C， 所以sin Asin C＝sin Ccos A＋sin C，因为sin C≠0，所以sin A－cos A＝1， 即2sin＝1⇒sin＝， 又因为A∈(0，π)，故A＝. (2)设∠BAD＝θ，θ∈，则∠ADC＝2θ，∠DAC＝－θ，∠ACD＝－θ， 在△ADC中，由正弦定理知，＝，即2sin＝sin， 化简得，tan θ＝，则θ＝，∠ACD＝－θ＝， 即sin C＝1. 6．(12分)(2024·安徽淮南模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件(若两个都选，以第一个评分)． (1)求角A的大小； (2)求BC边的中线AD长的最小值． 条件①：(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin(A＋B)； 条件②：(b2＋c2－a2)＝2acsin B. 解：(1)选条件①：(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin(A＋B)， 因为△ABC中A＋B＝π－C，所以(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C， 由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c， 即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 选条件②：(b2＋c2－a2)＝2acsin B， 由余弦定理可得2bccos A＝2acsin B， 即bcos A＝asin B， 由正弦定理可得sin Bcos A＝sin Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos A＝sin A，即tan A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)知，A＝，△ABC的面积为2， 所以bcsin＝2，解得bc＝8， 由平面向量可知＝(＋)， 所以2＝(＋)2 ＝(2＋2＋2·) ＝ ＝(b2＋c2＋bc)≥(2bc＋bc)＝bc＝6， 当且仅当b＝c＝2时取等号，故BC边的中线AD的最小值为. 7．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为. (1)求角C的大小； (2)如图，若∠CAB＝，角C的平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE＝DE，求cos∠ADB的值． 解：(1)由题可知S△ABC＝absin C＝，所以(a2＋b2－c2)＝2absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，可知sin C＝cos C，可得tan C＝.因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)不妨令AC＝3，因为C＝，所以AB＝3，BC＝6.又CE为∠ACB的平分线，所以AE＝，BE＝CE＝2，得DE＝2，所以在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝CA2＋CD2－2CA×CD×cos＝21，即AD＝.在△BDE中，因为ED＝BE＝2，∠BED＝，所以△BDE为等边三角形，所以BD＝2.在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD×cos∠ADB，则cos∠ADB＝. 8．(14分)(2024·河北邯郸模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S＝(a2＋b2－c2)，c＝2. (1)若B＝，求a； (2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为∠C的平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)因为S＝(a2＋b2－c2)， 由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcos C， 所以S＝·2abcos C， 由三角形的面积公式可得S＝absin C， 所以·2abcos C＝absin C， 所以tan C＝，又C∈(0，π)，故C＝. 由正弦定理得，＝， 且sin A＝sin(B＋C)＝sin＝sincos＋cossin＝， 所以＝，故有a＝＋. (2)选择条件①： 在△ABC中，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得a2＋b2－12＝ab， 即(a＋b)2＝12＋3ab≤12＋32，故0<a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 又因为S△CDA＋S△CDB＝S△ABC， 所以CD＝＝＝≤ ＝3， 故CD的最大值为3. 选择条件②： 由题知2＝＋，平方得4||2＝2＋2＋2·＝b2＋a2＋2abcos C＝a2＋b2＋ab，在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－12＝ab， 即(a＋b)2＝12＋3ab≤12＋32， 所以(a＋b)2≤48，当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 故有4|CD|2＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(a＋b)2－＝(a＋b)2＋4≤36， 从而0<|CD|≤3，故CD的最大值为3. 9．(14分)(2024·湖北高三摸底)在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠ABD＝45°，AE＝EC，DE＝2BE，AB＝6，AD＝3. (1)求AC的长； (2)求sin∠ADC的值． 解：(1)在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD， 所以18＝36＋BD2－2×6×BD×cos 45°，化简得BD2－6BD＋18＝0，解得BD＝3， 所以BD＝AD＝3，AB＝6， 所以BD2＋AD2＝AB2，则∠ADB＝90°. 又DE＝2BE，则DE＝2， 所以AE2＝DE2＋AD2＝(2)2＋(3)2＝26， 则AE＝ ，又AE＝EC，所以AC＝2. (2)由∠ADB＝90°，AE＝，DE＝2，AD＝3， 得sin∠EAD＝＝，cos∠EAD＝＝. 在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠EAD＝50，则CD＝5. 在△ACD中，由正弦定理，得＝， 则sin∠ADC＝＝. 10．(16分)(2024·河北邯郸二模)已知条件：①2a＝b＋2ccos B；②2asin Acos B＋bsin 2A＝2acos C；③sin C＝3－2cos2. 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：________. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 解：(1)选择条件①：2a＝b＋2ccos B， 在△ABC中，由余弦定理得2a＝b＋2c·＝b＋， 整理得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. 选择条件②：2asin Acos B＋bsin 2A＝2acos C， 于是asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C， 在△ABC中，由正弦定理得，sin2Acos B＋sin Asin Bcos A＝sin Acos C， 因为sin A≠0，则sin Acos B＋sin Bcos A＝cos C， 即sin(A＋B)＝cos C， 因为A＋B＋C＝π，因此sin C＝cos C，即tan C＝，又C∈(0，π)，所以C＝. 选择条件③：sin C＝3－2cos2， 在△ABC中，因为sin C＝2－＝2－cos C，即sin C＋cos C＝2， 则sin＝1，又C∈(0，π)，即有C＋∈，则C＋＝，所以C＝. (2)由(1)知，C＝，有∠ABC＋∠BAC＝， 而∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，即有∠ABI＋∠BAI＝，于是∠AIB＝， 设∠ABI＝θ，则∠BAI＝－θ，且0<θ<， 在△ABI中，由正弦定理得， ＝＝＝＝4， 所以BI＝4sin，AI＝4sin θ， 所以△ABI的周长为2＋4sin＋4sin θ＝2＋4＋4sin θ ＝2＋2cos θ＋2sin θ＝4sin＋2， 由0<θ<，得<θ＋<， 则当θ＋＝，即θ＝时，△ABI的周长取得最大值4＋2， 所以△ABI周长的最大值为4＋2. 学生用书↓第107页 学科网（北京）股份有限公司 $$