第4章 第5节 课时1 三角函数的图象与性质(1)（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第五节　三角函数的图象与性质 【课程标准】　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．　2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)．　3.理解正切函数在区间内的单调性． 1．用”五点法“作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R x 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调 递增 区间 [2kπ－π，2kπ] 单调 递减 区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 微提醒　正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调． 【记牢常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．y＝cos x在第一、二象限内单调递减 B．若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期 C．函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z) D．函数y＝tan x在整个定义域上是增函数 答案：ACD 2．(链接人A必修一P201例2)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) 学生用书↓第86页 A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 答案：A 3．(用结论)已知函数f(x)＝5sin(0<φ<2π)为偶函数，则φ＝(　　) A. B. C.π D. 答案：C 解析：因为函数f(x)为偶函数，所以＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0<φ<2π，所以φ＝π.故选C. 4．(链接人A必修一P207例5)函数y＝sin的单调递增区间为________________________． 答案：(k∈Z) 解析：令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)． 5．(链接人A必修一P205例3)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________. 答案：5　π＋2kπ(k∈Z) 解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z)． 课时1　三角函数的图象与性质(一) 考点一　三角函数的定义域基础练 [(1)函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为(　　) A.，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C.，k∈Z D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z (2)函数y＝3tan的定义域是(　　) A．x B．x C．x D．x 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由题意知cos x>0，所以2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，k∈Z.故选C. (2)要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，所以函数的定义域为 x．故选C. 规律方法 三角函数的定义域的求法 1．求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式)． 2．求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴． 3．对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集． 提醒：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　　 对点练1.(1)函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为____________________． (2)函数y＝的定义域为____________________． 答案：(1)x　(2)x 解析：(1)要使函数有意义，则有 解得(k∈Z)，所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为x． (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x. 考点二　三角函数的值域(最值)基础练 [(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　) A. B. C. D. (2)函数f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，所以函数f(x)的值域为.故选B. (2)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.所以函数的值域为. [变式探究] 1．(变条件)若本例(1)中函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________． 答案： 解析：当x∈时，2x－∈，cos∈，故f(x)＝3cos∈． 2．(变条件)若本例(2)中x∈[0，π]，则函数f(x)的值域为________． 答案：[－1,1] 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝，且－1≤t≤.所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.所以函数的值域为[－1,1]． 规律方法 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路 1．形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． 2．形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．　 学生用书↓第87页 3．形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 对点练2.(1)函数y＝tan，x∈的值域为(　　) A．(－，1) B． C．(1，) D． (2)已知函数f(x)＝4sin＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1,5]，则m的最大值是(　　) A. B. C. D. (3)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 答案：(1)A　(2)A　(3)1 解析：(1)设z＝x－，因为x∈，所以z∈，因为正切函数y＝tan z在上单调递增，且tan＝－，tan＝1，所以tan z∈(－，1)．故选A. (2)因为x∈[0，m]，所以2x－∈.因为f(x)的值域为[－1,5]，所以≤2m－≤，解得≤m≤，所以m的最大值为.故选A. (3)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1.因为x∈，所以cos x∈.所以当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1. 考点三　三角函数的单调性多维练 角度1　利用三角函数的单调性比较大小 (1)设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a (2)(2024·河南开封模拟)已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)a＝cos 6°－sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝＝tan 26°＝>＝sin 26°，c＝ ＝sin 25°，因为y＝sin x在上单调递增，所以sin 26°>sin 25°>sin 24°，所以a<c<b.故选C. (2)由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，所以f(x)在上单调递减，所以f>f>f，即a>b>c.故选A. 规律方法 比较三角函数值大小的方法 先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．　　 角度2　求三角函数的单调区间 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________． 答案：(1)B　(2)，k∈Z 解析：(1)由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．故选B. (2)f(x)＝sin的单调递减区间是y＝sin的单调递增区间，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 　规律方法 求三角函数单调区间的两种方法 1．代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，再利用基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解． 2．图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间． 提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域．　 角度3　根据三角函数单调性求参数 (1)(2024·广东潮州模拟)若f(x)＝sin在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为(　　) A. B. C. D. (2)(2024·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，又因为f(x)在[－t，t]上单调递增，则[－t，t]是，k∈Z的一个子区间，当k＝0时，即，若[－t，t]是的子集，则t∈.故选D. (2)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)．由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由题知，⊆， 所以所以6k－≤ω≤4k＋，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝0时，－≤ω≤，所以0<ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，所以ωmax＝. 学生用书↓第88页 规律方法 已知单调区间求参数的三种方法 1．子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解． 2．求补集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． 3．周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解．　　 对点练3.(1)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 (2)(2024·四川内江模拟)已知点A在函数f(x)＝2cos的图象上，且f(x)在上单调递减，则t的最大值为________． 答案：(1)C　(2)π 解析：(1)依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.对于A选项，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上单调递增，故A不正确；对于B选项，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上不单调，故B不正确；对于C选项，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上单调递减，故C正确；对于D选项，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上不单调，故D不正确．故选C. (2)因为点A在函数f(x)＝2cos的图象上，所以cos＝－，因为f(x)在上单调递减，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝－2sin，易知f(x)的一个单调递减区间为(－π，π)，又f(x)在上单调递减，所以t的最大值为π. 课时测评30　三角函数的图象与性质(一) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　) A. B. [0，π] C. D. 答案：D 解析：将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的部分不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)，由图象可知，D选项符合题意．故选D. 2．函数f(x)＝cos 2x＋2sin x，x∈[0，π]的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案：C 解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，因为x∈[0，π]，所以sin x∈[0,1]，所以当sin x＝时，f(x)取得最大值，最大值为.故选C. 3．已知函数f(x)＝sin－，则下列表述中正确的是(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案：D 解析：f(x)＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增．故选D. 4．(2024·江西宜春模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f(x)≤f对任意x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：B 解析：由题意得f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0,2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B. 5．[多选题]下列结论中正确的是(　　) A．sin 1>cos 1 B．cos<cos C．tan(－52°)>tan(－47°) D．sin>sin 答案：AD 解析：对于A选项，因为函数y＝sin x在上单调递增，且0<－1<1<，则sin 1>sin＝cos 1，故A正确；对于B选项，因为函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，cos＝cos＝cos，cos＝cos，因为0<<<π，则cos>cos，即cos>cos，故B错误； 对于C选项，当－90°<x<0°时，函数y＝tan x单调递增，因为－90°<－52°<－47°<0°，所以tan(－52°)<tan(－47°)，故C错误；对于D选项，因为函数y＝sin x在上单调递增，又因为－<－<－<0，所以sin>sin，故D正确．故选AD. 6．[多选题]已知函数f(x)＝sin x＋cos x，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的最大值为＋1 C．f(x)在区间上单调递减 D.为f(x)的一个零点 答案：ACD 解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的最小正周期为2π，故A正确；当sin＝1时，f(x)的最大值为2，故B错误；因为x∈，所以x＋∈⊆，所以f(x)在区间上单调递减，故C正确；f＝2sin＝2sin π＝0，所以为f(x)的一个零点，故D正确．故选ACD. 7．已知ω>0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是________． 答案： 解析：由题知＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin．令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，又x∈，则f(x)在区间上的单调递减区间是. 8．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值为________． 答案： 解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos，由题意得a>0，故－a＋<，因为f(x)＝cos在[－a，a]上是减函数，所以解得0<a≤，所以a的最大值是. 9．函数y＝tan2x－tan x＋2，x∈的值域为________． 答案： 解析：由x∈得tan x∈[－1,1]，y＝tan2x－tan x＋2＝2＋，故当tan x＝时，有最小值，当tan x＝－1时，有最大值4，故y∈. 10．(13分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤， 所以－≤sin≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，有 所以a＝3－3，b＝5； ②当a<0时，有 所以a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. 11．(14分)(2024·安徽安庆高三阶段练习)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin， 即f(x)＝2sin. 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)由x∈，可得2x＋∈， 又函数f(x)在上单调递增，所以f(x)∈[，2]，f(x)在上单调递减，f(x)∈[1,2]， 所以若函数g(x)＝f(x)－k在上有两个不同的零点，即y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，如图所示， 所以实数k的取值范围为[，2)． (每小题6分，共12分) 12．[多选题]已知函数f(x)＝sin，若当x∈[m，n](m<n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：f(x)＝sin，作出函数f(x)的图象，如图所示． 在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f(x)∈，则需满足或所以n－m的值可以为区间内的任意实数．故选ABC. 13．(2023·河南名校联盟模拟)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0<a<b<π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：函数f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数g(x)＝cos在区间上单调递减，在上单调递增，所以这两个函数都在区间上单调递减，故b－a＝－＝，即为所求的最大值．故选B. (每小题8分，共16分) 14．(2024·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos，若对于任意实数x都有f(x)≤f(x0)和f′(x)≤f′(x1)成立，则|x0－x1|的最小值为________． 答案： 解析：f(x)＝sin＋cos＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＝2sin，因为f(x)≤f(x0)恒成立，所以x0＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x0＝＋2kπ，k∈Z，f′(x)＝2cos，因为f′(x)≤f′(x1)恒成立，所以x1＋＝2k1π，k1∈Z，解得x1＝－＋2k1π，k1∈Z，所以|x0－x1|＝＝(k，k1∈Z)，当k－k1＝0时，|x0－x1|取得最小值，最小值为. 15．已知函数f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间为________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________． 答案：　 解析：当x∈，k∈Z时，f(x)＝sin x＋cos x＝2sin， 当x∈，k∈Z时， f(x)＝sin x－cos x＝2sin， 令－≤x＋≤，则－≤x≤， 所以函数f(x)的一个单调递增区间为. f(x)＝ 则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f＝1，令－≤x－≤，则－≤x≤， 所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．令≤x－≤，则≤x≤， 所以函数f(x)在上单调递减， 当x∈时，令f(x)＝1，则x＝， 因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]， 所以≤a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$