第4章 第3节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 【课程标准】　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的关系 微提醒　(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如：是的二倍角，3α是的二倍角． 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【记牢常用结论】 1．公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β＝1－＝－1；sin αcos α＝sin 2α. 2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2； 1＋sin α＝2；1－sin α＝2. 1．[多选题]下列结论错误的是(　　) A．存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β B．两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角 C．公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 D．公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关 答案：BCD 2．(链接人A必修一P229T6)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D. 3．(链接人A必修一P218例3)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝－.故选C. 4．(链接人A必修一P219例4)＝________. 答案： 解析：＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 5．(用结论)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________. 答案： 解析：因为tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，所以原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝. 学生用书↓第81页 考点一　三角函数公式的直接应用基础练 [(1)(2024·九省适应性测试)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan，则＝(　　) A. B. C.1 D. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由tan 2θ＝－4tan得，＝⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，则2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，得tan θ＝－或－2，因为θ∈，tan θ∈(－1,0)，所以tan θ＝－，＝＝＝＝.故选A. (2)因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝.故选B. 规律方法 利用三角函数公式解题时应注意的问题 1．首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为”同名相乘，符号相反“． 2．应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． 3．应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　　 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. (2)的值为________． (3)(2024·湖北七市(州)联合统考)若sin＝，则＝________. 答案：(1)D　(2)1　(3) 解析：(1)因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角， 所以sin＝ ＝ ＝＝.故选D. (2)因为2cos(60°－10°)＝2＝cos 10°＋sin 10°，所以原式＝＝1. (3) 因为sin＝，所以sincos θ－cossin θ＝，即cos θ－sin θ＝，所以原式＝＝＝cos θ－sin θ＝. 考点二　三角函数公式的逆用与变形应用综合练 [(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　) A. B. C.1 D. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 (3)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. 答案：(1)D　(2)C　(3)2 解析：(1)原式＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D. (2)由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β， 整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. (3)因为tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. 规律方法 三角函数公式的活用技巧 1．逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用． 提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．　　 对点练2.(1)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列式子成立的是(　　) A．cos(β－α)＝－ B．cos(β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ (2)化简：＝________. 答案：(1)D　(2)cos 2x 解析：(1)由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方并相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝，故A，B错误；因为α，β，γ∈，所以sin γ＝sin β－sin α>0，所以sin β>sin α，即β>α，所以0<β－α<，所以β－α＝，故D正确，C错误．故选D. (2)原式＝ ＝＝＝＝cos 2x. 考点三　变换求值多维练 角度1　三角函数公式中的角的变换 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________. 答案：－ 解析：由题意知，α＋β∈， 又sin(α＋β)＝－，所以cos(α＋β)＝， 因为β－∈，sin＝， 所以cos＝－，所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)·sin ＝×＋×＝－. 学生用书↓第82页 规律方法 三角函数公式求值中变角的解题思路 1．当”已知角“有两个时，”所求角“一般表示为两个”已知角“的和或差的形式． 2．当”已知角“有一个时，此时应着眼于”所求角“与”已知角“的和或差的关系，再应用诱导公式把”所求角“变成”已知角“．　　 角度2　三角函数名的变换 (2024·四川乐山模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝________. 答案： 解析：由题意可得cos2＝＝，则cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.因为cos＝>0，θ∈， 所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，所以原式＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝. 规律方法 三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，进行正弦、余弦和正切之间的转化．　　 对点练3.(1)(2024·河北邢台模拟)已知sin＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝________，cos β＝________. 答案：(1)A　(2)　－ 解析：(1)由sin＝，得cos＝1－2sin2＝，cos＝cos＝－cos＝－.故选A. (2)因为0<α<，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，由0<α<<β<π，则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，则sin(β－α)＝，所以cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－. 课时测评28　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．已知cos θ＝，则sin＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：A 解析：根据诱导公式与二倍角公式，得sin＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.故选A. 2．已知sin α＝，α∈，则tan＝(　　) A．－7 B．－ C． D．7 答案：D 解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，所以tan＝＝7.故选D. 3．(2024·山东威海二模)已知sin＝，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：因为sin＝，所以cos＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.故选C. 4．(2024·广东佛山一模)已知sin α＝，α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：因为sin α＝，所以cos α＝±＝±.因为α为钝角，所以cos α＝－，则tan α＝＝－，所以tan β＝tan＝＝＝－1.故选B. 5．(2023·湖北高三四调)已知sin αsin＝3cos αsin，则cos＝(　　) A．－ B．－1 C． D． 答案：C 解析：由sin αsin＝sin αsin＝sin αcos＝3cos αsin，所以tan α＝3tan，则tan α＝3×＝，所以tan2α＋2tan α＋3＝0，则tan α＝－，故tan＝－，所以cos＝＝＝.故选C. 6．(2024·广东惠州模拟)若tan α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为tan α＝，所以＝，即3sin α－sin2α＝cos2α，所以3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，即sin α＝，所以sin＝cos 2α＝1－2sin2α＝.故选D. 7．[多选题](2024·广西玉林模拟)下列式子等于cos的是(　　) A．cos B．sin C． D．2cos2－1 答案：CD 解析：cos＝cos＝－cos≠cos，故A不正确；sin＝sin＝－cos≠cos，故B不正确；＝cos x＋sin x＝cos，故C正确；2cos2－1＝cos＝cos，故D正确．故选CD. 8．[多选题]若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则下列各式中正确的是(　　) A．tan 2α＝－ B．tan 2α＝ C．tan α＝ D．tan α＝ 答案：AD 解析：因为sin2α＋cos 2α＝，所以sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝，解得cos α＝±.又α∈，所以cos α＝，所以sin α＝＝，则tan α＝，所以tan 2α＝＝－.故选AD. 9．[多选题]下列计算中正确的是(　　) A．＝－ B．cos422.5°－sin422.5°＝ C．sin 15°sin 45°sin 75°＝ D．tan 37°＋tan 23°＋tan 37°tan 23°＝1 答案：ABC 解析：因为＝－＝－tan 60°＝－，故A正确；cos422.5°－sin422.5°＝(cos222.5°＋sin222.5°)(cos222.5°－sin222.5°)＝cos 45°＝，故B正确；sin 15°sin 45°sin 75°＝sin 15°cos 15°sin 45°＝sin 30°sin 45°＝，故C正确；因为tan 60°＝tan(37°＋23°)＝＝，所以tan 37°＋tan 23°＋tan 37°tan 23°＝，故D错误．故选ABC. 10．化简：＝________. 答案： 解析：＝＝ ＝＝. 11．已知cos β－3sin α＝2，sin β＋3cos α＝，则sin(β－α)＝________. 答案：－ 解析：由cos β－3sin α＝2得(cos β－3sin α)2＝cos2β－6cos βsin α＋9sin2α＝4　①， 由sin β＋3cos α＝得(sin β＋3cos α)2＝sin2β＋6sin βcos α＋9cos2α＝　②， ①＋②得，10＋6(sin βcos α－cos βsin α)＝10＋6sin(β－α)＝，所以sin(β－α)＝－. 12．(新设问)满足等式(1－tan α)(1－tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________． 答案：(答案不唯一，满足α＋β＝＋kπ，k∈Z即可) 解析：由(1－tan α)(1－tan β)＝2，得1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝＝＝－1，所以α＋β＝＋kπ，k∈Z，所以可取α＋β＝，所以(α，β)可以为. (每小题8分，共16分) 13．[多选题](2024·安徽黄山高三质检)若＝－，则tan(k∈Z)的值可能是(　　) A． B． C．2 D．3 答案：CD 解析：由余弦的二倍角公式知，＝sin θ·(cos θ－sin θ)＝＝＝－，即5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，即2tan2θ－5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝3，当k＝2m(m∈Z)时，tan＝tan(mπ＋θ)＝tan θ，当k＝2m－1(m∈Z)时，tan＝tan＝－，所以，当tan θ＝－时，tan＝－或tan＝2；当tan θ＝3时，tan＝3或tan＝－.故选CD. 14．[多选题](2024·河北承德模拟)已知0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，下列选项正确的有(　　) A．sin(α＋β)＝± B．cos β＝－ C．cos 2β＝－ D．sin(α－β)＝－ 答案：BD 解析：由于0<α<且sin α＝，所以cos α＝，又α＋β∈，cos(α＋β)＝－＝－cos α，故α＋β＝π－α或α＋β＝π＋α，当α＋β＝π＋α时，β＝π显然不满足，故α＋β＝π－α，所以sin(α＋β)＝sin α＝，故A错误；cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－，故B正确；cos 2β＝2cos2β－1＝2×2－1＝，故C错误；由B可知sin β＝＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，故D正确．故选BD. (每小题12分，共24分) 15．(2024·湖北高三摸底)在平面直角坐标系xOy中，角θ的大小如图所示，则9sin2θ＋sin 2θ＝(　　) A.1 B. C. D. 答案：C 解析：由题图知tan＝＝5，则tan θ＝，所以9sin2θ＋sin 2θ＝＝＝.故选C. 16．(数学文化)《周髀算经》中”侧影探日行“一文有记载：”即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔“．意谓：”取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔“．如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为(　　) A. 　 B. C. D. 答案：A 解析：由题意可知＝，tan＝＝， 所以tan∠AOB＝＝＝.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$