第4章 第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第一节　任意角、弧度制及三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念和弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 微提醒　(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径长用r表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝°≈57.30° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 微提醒　(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用上表中的弧长和扇形面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度制． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号，如图： 微提醒　记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【记牢常用结论】 1．象限角的集合 学生用书↓第75页 2．轴线角的集合 1．[多选题]下列结论正确的是(　　) A．锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 B．角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关 C．不相等的角终边一定不相同 D．若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1 答案：BD 2．(链接人A必修一P171T4)与－457°角终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 答案：C 解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.故选C. 3．(链接人A必修一P180例3)若sin θ<0且tan θ<0，则角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：若sin θ<0，则角θ在第三或第四象限或在y轴负半轴上，若tan θ<0，则角θ在第二或第四象限，所以当sin θ<0且tan θ<0时，角θ在第四象限．故选D. 4．(链接人A必修一P175T6)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________． 答案： 解析：单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝，由弧长公式得l＝. 5．(链接人B必修三P15例1)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案：－　　－ 解析：由题知点P到原点的距离r＝＝，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.　　　　 考点一　象限角与终边相同的角基础练 [(1)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 (2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 答案：(1)D　(2)－315°和－675° 解析：(1)因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， 对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误； 对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z， 当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误； 对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z， 即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误； 对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确． (2)所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°. 规律方法 1．象限角的判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：将已知角化为α＋2kπ(k∈Z,0≤α<2π)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，由角α所在象限判断已知角所在象限． 2．判断或kα(k≥2，且k∈N*)所在象限的方法步骤 第一步：先用终边相同角的形式表示出角α的取值范围； 第二步：写出或kα的取值范围； 第三步：根据k的可能取值讨论确定或kα的终边所在位置．　　 对点练1.(1)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) (2)终边在直线y＝x上的角的集合为__________________________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C. (2)因为在(0,2π)内终边在直线y＝x上的角是，，与角，终边相同的角分别为2kπ＋，2kπ＋＝(2k＋1)π＋，k∈Z，所以终边在直线y＝x上的角的集合为. 学生用书↓第76页 考点二　弧度制及其应用基础练 [已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)因为α＝60°＝ rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm)． (2)由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为. (3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2. 　规律方法 应用弧度制解决问题的方法 1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． 3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 对点练2.(2024·广西贵港模拟)图①是第19届杭州亚运会会徽，名为”潮涌“，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图②是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若＝3，则＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：D 解析：因为＝3，所以＝3.又因为S扇形AOD＝l1·|OA|，S扇形BOC＝l2·|OB|，所以＝＝9，所以＝8，即＝8.故选D. 考点三　三角函数的概念多维练 角度1　利用三角函数的定义求值 (1)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为(　　) A．－6 B．6 C．0 D．－3 (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由题知，cos α≠0，设角α的终边上一点为(a，－3a)(a≠0)，则r＝|a|.当a>0时，r＝a，sin α＝－，cos α＝，所以10sin α＋＝－3＋3＝0.当a<0时，r＝－a，sin α＝，cos α＝－，所以10sin α＋＝3－3＝0.故选C. (2)由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，解得m＝±，又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝.故选C. 规律方法 利用三角函数的定义解决问题的策略 1．已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． 2．已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． 3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．　　 角度2　三角函数值符号的判断 (1)已知坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于第________象限． (2)若角θ是第四象限角，则y＝＋＋＝________. 答案：(1)二　(2)－1 解析：(1)因为<5<2π，所以sin 5<0，cos 5>0，则点P位于第二象限． (2)由题知，sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y＝＋＋＝－1＋1－1＝－1. 学生用书↓第77页 规律方法 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．　　 对点练3.(1)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A．－2 B． C．－2或 D．1 (2)sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由题设可知，＝且2a＋1>0，即a>－，所以＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又a>－，所以a＝.故选B. (2)因为<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.所以sin 2cos 3tan 4<0.故选A. 课时测评26　任意角、弧度制及三角函数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A．π B．－π C．π D．－π 答案：B 解析：分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，所以－840×＝－π.故选B. 2．与－2 024°终边相同的最小正角是(　　) A．136° B．134° C．56° D．44° 答案：A 解析：因为－2 024°＝－360°×6＋136°，所以与－2 024°终边相同的最小正角是136°.故选A. 3．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为(　　) A． cm2 B．π cm2 C．2π cm2 D．4π cm2 答案：C 解析：由题知扇形所在圆的半径r＝＝4(cm)，则这条弧所在的扇形的面积S＝×π×4＝2π(cm2)．故选C. 4．下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan>0 D．sin 10<0 答案：D 解析：300°＝360°－60°，则300°角是第四象限角，故sin 300°<0，故A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°角是第一象限角，故cos(－305°)>0，故B错误；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0，故C错误；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，故D正确．故选D. 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m,4)，则cos α＝(　　) A．± B． C．± D． 答案：B 解析：记O为坐标原点，由题意可知O(0,0)，A(1，m)，B(m,4)三点共线，则m≠0，所以＝，解得m＝±2，又A，B两点在同一象限，所以m＝2，则A(1,2)，所以cos α＝＝＝.故选B. 6.”数摺聚清风，一捻生秋意“是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有”怀袖雅物“的别号．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长之比为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，连接OD，圆心角α为，则∠BOD＝，所以弦长AB＝2BD＝2rsin＝r.又弧长＝r，所以弦长AB与弧长之比为＝.故选C. 7．[多选题]下列条件中，能使角α，β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝540° B．α＋β＝360° C．α＋β＝180° D．α＋β＝90° 答案：AC 解析：假设角α，β为0°～180°内的角．如图所示．由角α和β的终边关于y轴对称，得α＋β＝180°.又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A，C.故选AC. 8．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．若角α是第一象限角，则角－α是第四象限角 B．若角α，β是第一象限角，且α<β，则sin α<sin β C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D．若扇形的圆心角为，圆心角所对的弦长为4，则该扇形的弧长为 答案：AD 解析：对于A，若角α为第一象限角，则α∈，k∈Z，所以－α∈，k∈Z，是第四象限角，故A正确；对于B，若α＝，β＝，满足α，β是第一象限角，且α<β，但sin α>sin β，故B错误；对于C，设扇形所在圆的半径为r，则r＝π，解得r＝3，所以该扇形的面积S＝××32＝，故C错误；对于D，若圆心角为，圆心角所对的弦长为4，则扇形所在圆的半径r＝＝4，所以该扇形的弧长l＝×4＝，故D正确．故选AD. 9．[多选题]已知点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限，则在[0,2π]内角θ的取值范围可以是(　　) A. B. C. D. 答案：AB 解析：因为点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限，所以即角θ位于第一象限或第三象限，且满足sin θ>cos θ，所以当角θ位于第一象限时，θ∈，此时sin θ>cos θ；当角θ位于第三象限时，θ∈，此时sin θ>cos θ.故选AB. 10．若角α是第二象限角，则180°－α是第________象限角． 答案：一 解析：若角α是第二象限角，则k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以－k·360°－180°<－α<－k·360°－90°，k∈Z，所以－k·360°<180°－α<－k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角． 11．若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cos α＝________. 答案： 解析：由题意得，r＝|OP|＝＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，故sin α＋cos α＝－＝. 12．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 答案： 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. (每小题8分，共16分) 13．[多选题]已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) A. B. C. D. 答案：AD 解析：由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是，当k＝1时，x所在的一个区间是.故选AD. 14．(新情境)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1 738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．1 069千米 B．1 119千米 C．2 138千米 D．2 238千米 答案：D 解析：嫦娥五号绕月飞行半径约为400＋1 738＝2 138(千米)，所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l＝αr＝×2 138≈×2 138≈2 238(千米)．故选D. (每小题12分，共24分) 15．(2024·四川绵阳检测) 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为”敦煌八景“之一，得名”月泉晓彻“，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分．若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(　　) A．300－50π B．120π＋150 C．100π＋180 D．120π＋180 答案：A 解析：如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R，则2R＝＝＝40，R＝20＝AB，因此∠AOB＝，△ABC所在弓形的面积S＝×πR2－R2＝×(20)2－×(20)2＝200π－300，从而阴影部分面积S′＝π×(10)2－S＝300－50π.故选A. 16．(新角度)如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________． 答案：3　(＋2)π 解析：正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．在每一轮中，点A路径A→A′→A′′→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路径长l＝·(2＋2＋2)＝，所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π. 学科网（北京）股份有限公司 $$