精品解析：河北省石家庄正定中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

河北省2025届高三学生全过程纵向评价专题一 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由题可知，，所以， 故选：D． 2. 已知，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 3. 已知是第四象限角且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得和，再根据两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为是第四象限角且，所以，则， 因为，所以， 所以， 故选：C． 4. 已知函数，其中，则之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性可得的大小，再判断出的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 5. 某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 6. 已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，可得，再利用赋值法求出，进而求出，即可求得. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足为偶函数， 即， 所以的图象关于直线对称， 又因为， 所以的图象关于点对称， 所以函数的一个周期为， 故， 因为，又， 则，又，即， 所以. 故选：A. 7. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 8. 存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（ ） A. M的最大值是 B. M的最大值是 C. M的最小值是 D. M的最小值是 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，根据基本不等式及不等式的性质即可求解． 【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数， 设，，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，由得，，即， 所以， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；利用二项展开式的二项式系数特点即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，由的展开式知，取，得， 取，得， 两式相减可得，，所以， 所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的图象是轴对称图形 D. 存在最大值和最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断A；由周期函数的定义即可判断B；由函数对称性的定义即可判断C；换元，根据导数即可判断D. 【详解】， 对于A，由题可知的定义域为， 因为 ， 所以， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，， 所以为周期函数，故B正确； 对于C， ， 所以关于直线对称，故C正确； 对于D，， 令，设， 由于得，为偶函数，则只需要考虑部分即可， ，显然单调递增，所以， 则， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 以下结论正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 函数的图象的一个对称轴是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据图象平移可得，结合题意列式求解即可；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，根据对称轴与最值之间的关系分析判断；对于D：构建，利用导数可得，进而可得结果. 【详解】对于选项A：因为将的图象向右平移个单位长度后， 得到， 由题意可得：， 则，解得，故A正确； 对于选项B：例如， 可得，即满足， 但为非等腰直角三角形，故B错误； 对于选项C：因为， 且为最大值， 所以函数的图象的一个对称轴是，故C正确； 对于选项D：构建，则， 构建，则， 构建，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 即对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 即对任意恒成立， 可知在内单调递减，则，即， 且，则， 即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于复杂的比较大小问题，常通过构建函数证明不等式，再根据不等关系比较大小. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 【答案】150 【解析】 【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解． 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 13. 的展开式中的系数为_________．（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】利用二项式定理可得的展开式通项，令即可求解． 【详解】， 的展开式通项为，， 因为的展开式每一项次数为，且展开式每一项次数为， 所以展开式中不含， 令，则， 所以的展开式中的系数为， 故答案为：80． 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有4052个零点，结合正弦函数分析求解. 【详解】由题意， 令，，可得，， 记的两零点为、， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有4052个零点， 可知在和（k为正整数）内不同根的个数均为2k， 所以或； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化把函数在内的零点转化为在内的零点问题，进而求解的可能取值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 2 4 6 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【小问1详解】 由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率． 【小问2详解】 由题可知，的取值可能是， 由（1）知，， 当时，前2场打平，后两场连胜或连败， 则， ， 所以分布列为： 2 4 6 所以数学期望． 16. 某学院为了加强学生身体素质，特推出“校园轻氧打卡”活动，以下是前9天的打卡人数散点图． （1）求出每天打卡人数y关于天数x的经验回归方程； （2）利用经验回归方程试着预测第10天的打卡人数； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1） （2）340 【解析】 【分析】（1）依据题中所给数据先依次求出、、、，再结合最小二乘法即可求出和，进而得解. （2）将代入（1）所得经验回归方程即可得解. 【小问1详解】 由题得，， ， ， 所以， 每天打卡人数y关于天数x的经验回归方程为. 【小问2详解】 由（1）当时，， 所以第10天的打卡人数预测为人. 17. 已知函数为奇函数． （1）写出k的值并求函数的值域； （2）当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）；函数的值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义取特值可得，并检验；根据函数解析式，结合指数函数值域以及奇函数性质求的值域； （2）根据（1）可得在内单调递减，可得，结合指数函数最值分析求解. 【小问1详解】 令，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 若函数为奇函数， 则，解得，可得， 且， 可知符合题意，即， 若，则，，可得； 根据奇函数对称性可得：若，； 综上所述：函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）可知：，且若，；若，； 因为在内单调递增， 可知在内单调递减，且， 若，可得，即， 因为，则，可得，解得， 所以m的取值范围为. 18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； （3）利用正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，解得. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为. 【小问3详解】 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：对于已知角的范围问题，解题关键是利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简整理，进而根据三角函数有界性分析求解. 19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且， （i）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率； （iii）已知，若，求． （2）已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象． 【答案】（1）（i）； （ii）；（iii） （2） ， 【解析】 【分析】（1）（i）这个人必须走奇数步才能进入陷阱，就每一种情况分类计算后可得概率；（（ii））根据题设中给出的类似的计算方法可求；（（iii）利用构造法可求数列的通项. （2）类似于（1）中（ii）的计算方法可求概率. 【小问1详解】 （i）这个人必须走奇数步才能进入陷阱， 若1步进入陷阱，则概率为；若3步进入陷阱，则概率； 若5步进入陷阱，则概率为， 故5步内进入陷阱的概率为. （ii）由题设从最终进入陷阱，可分成两类， 1.向左一步，进入陷阱； 2.向右一步，然后多步后进入，再进入陷阱； 故，故或（舍）. （iii）因为，故， 所以，而， 故为等比数列，故， 故，故， 当时，符合，故. 【小问2详解】 由（1）中（ii）的解析可得， 若，则或（舍）； 若，则（舍）或， 故， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025届高三学生全过程纵向评价专题一 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知是第四象限角且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知函数，其中，则之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 6. 已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 8. 存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（ ） A. M的最大值是 B. M的最大值是 C. M的最小值是 D. M的最小值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的图象是轴对称图形 D. 存在最大值和最小值 11. 以下结论正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则 B. 在中，若，则是等腰三角形 C. 函数的图象的一个对称轴是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 13. 的展开式中的系数为_________．（用数字作答） 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 16. 某学院为了加强学生身体素质，特推出“校园轻氧打卡”活动，以下是前9天的打卡人数散点图． （1）求出每天打卡人数y关于天数x的经验回归方程； （2）利用经验回归方程试着预测第10天的打卡人数； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 17. 已知函数为奇函数． （1）写出k的值并求函数的值域； （2）当时，恒成立，求m的取值范围． 18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且， （i）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率； （iii）已知，若，求． （2）已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $