4.3 两角和与差的三角函数公式（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.3　两角和与差的三角函数公式 【课程标准】　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用．　3.了解积化和差、和差化积公式的简单应用． 1．两角和与差的三角函数公式 (1)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． (2)公式Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (3)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (4)公式Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (5)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝. (6)公式Tα－β：tan(α－β)＝. 微提醒　两角和与差的正弦、余弦公式中的角都是任意角，而两角和与差的正切公式中α，β，α＋β，α－β的终边均不能在y轴上． 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(a，b不能同时为0) 微提醒　角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝确定． 3．积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 4．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 微提醒　和差化积公式的适用条件是：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式． 【记牢常用结论】 两角和与差的公式的常用变形 1．sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. 2．cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. 3．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； tan αtan β＝1－＝－1. 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β B．cos x＋化为积的形式为2cos(＋)cos(－) C．公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关 D．公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 答案：AB 2．(链接北师必修二P147T2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D． 学生用书↓第88页 3．(链接人A必修一P220T1)求值sin 15°＋cos 15°＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：sin 15°＋cos 15°＝sin＝sin 60°＝.故选A． 4．(用结论)(2023·山东德州三模)若α，β为锐角，且α＋β＝，则＝_________． 答案：2 解析：因为tan(α＋β)＝，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋tan(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 考点一　两角和与差的三角函数公式基础练 (1)(2024·江西九江模拟)已知0<α<<β<π，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)因为0<α<<β<π，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－.故选A． (2)由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin＋cos＝0，所以tan＝－1.故选C． 规律方法 1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 对点练1.(2024·河南开封模拟)已知为角α终边上的一点，tan β＝－，则tan(α＋β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由题知，tan α＝，则tan(α＋β)＝＝＝.故选D． 考点二　两角和与差公式的逆用与辅助角公式多维练 角度1　公式的逆用与角的变换 (1)sin 20°sin 10°－cos 10°sin 70°的化简结果为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2023·山东烟台三模)已知α，β满足sin＝cos β，tan α＝2，则tan β的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)sin 20°sin 10°－cos 10°sin 70°＝sin 20°sin 10°－cos 10°cos 20°＝－cos 10°cos 20°＋sin 20°sin 10°＝－(cos 10°cos 20°－sin 20°sin 10°)＝－cos(20°＋10°)＝－cos 30°＝－.故选D． (2)因为sin＝cos β，所以sin＝cos，即sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin(α＋β)，显然cos α≠0，两边同时除以cos α得tan αcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tan αsin(α＋β)，2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，则tan(α＋β)＝1，tan β＝tan＝＝＝－.故选A． 角度2　辅助角公式 (1)(2024·河南郑州模拟)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A．1 B． C． D． (2)已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)f(x)＝sin＋cos＝sin＋＝－sin＋cos＝cos＝cos，所以f(x)的最大值为1.故选A． (2)3sin x－4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，cos φ＝，所以φ所在的象限为第四象限．故选D． 规律方法 三角函数公式活用技巧 1．逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2．常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 3．利用辅助角公式将所求关系式转化为一角一函数的形式，然后再解决问题． 学生用书↓第89页 对点练2.(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． 答案：(1)C　(2)　 解析：(1)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)．因为0＜α＜，则＜＋α＜，所以sin(＋α)＝.又－＜β＜0，则＜－＜，所以sin(－)＝.故cos(α＋)＝×＋×＝.故选C． (2)因为α＋β＝，所以β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝.所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z.因为sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝. 考点三　积化和差、和差化积公式的应用综合练 (1)2cos(2x＋)sin(2x－)＝(　　) A．＋cos 4x B．－sin 4x C．＋cos 4x D．－＋sin 4x (2)(2024·浙江嘉兴模拟)已知α，β∈且满足sin α＋sin β＝，则(　　) A．tan(α＋β)＝ B．tan(α＋β)＝－ C．cos(α＋β)＝ D．cos(α＋β)＝－ 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)2cos(2x＋)sin(2x－)＝sin[(2x＋)＋(2x－)]－sin[(2x＋)－(2x－)]＝sin 4x－sin＝sin 4x－.故选D． (2)因为sin α＋sin β＝sin(＋)＋sin(－)＝2sincos，cos α＋cos β＝cos(＋)＋cos(－)＝2coscos，所以2sincos＝×2coscos，又因为α，β∈(0，π)，所以－<<，0<<π，所以cos>0，所以sin＝cos，所以tan＝，又因为0<<π，所以＝，所以α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan＝－.所以cos(α＋β)＝cos＝－.故选B． 规律方法 利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系． 对点练3.已知sin α－sin β＝－，cos α＋cos β＝，求tan的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：利用α＝＋，β＝－及和差化积公式可得sin α－sin β＝2cossin＝－，cos α＋cos β＝2coscos＝，两式相除可得＝tan＝＝－.故选D． 课时测评28　两角和与差的三角函数公式 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·江西赣州模拟)cos 50°cos 70°＋cos 40°cos 160°＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：cos 50°cos 70°＋cos 40°cos 160°＝cos 50°cos 70°＋coscos＝cos 50°cos 70°－sin 50°sin 70°＝cos＝cos 120°＝－.故选C． 2．(2024·四川成都模拟)若α为锐角，且cos＝，则sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：由α为锐角，且cos＝，所以sin＝，则sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝，故选D． 3．(2023·广东广州三模)若tan β＝，则(　　) A．tan＝1 B．tan＝－1 C．tan(α＋β)＝1 D．tan(α＋β)＝－1 答案：A 解析：因为tan β＝，所以tan β＝，所以tan αtan β＋tan β＝tan α－1，所以1＋tan αtan β＝tan α－tan β，所以tan＝＝1.故选A． 4．(2024·福建厦门模拟)已知sin α＋sin＝sin，则sin α＝(　　) A．0 B．± C．± D．± 答案：A 解析：因为sin α＋sin＝sin，根据和差化积公式sin α＝sin－sin＝2cos·sin(－－α)＝0.故选A． 5．[多选题](2024·广东广州二模)下列等式能够成立的为(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D．sin 15°＋cos 15°＝1 答案：BC 解析：对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误．故选BC． 6．[多选题]在如图所示的平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．则下列结论正确的是(　　) A．若A点的横坐标为，B点的纵坐标为，则cos(α＋β)＝ B．sin(α＋β)<sin α＋sin β C．sin α>sin(α＋β)＋sin β D．若A点的横坐标为，B点的纵坐标为，则tan＝－ 答案：ABD 解析：对于A，由已知得，cos α＝，sin β＝，α，β为锐角，则sin α＝，cos β＝，则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，故A正确；对于B，因为α，β∈，α＋β∈，所以cos α∈，cos β∈，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，故B正确；对于C，因为cos(α＋β)∈，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β<sin(α＋β)＋sin β，故C错误；对于D，由题意可得 tan α＝，tan β＝，所以tan＝－，故D正确．故选ABD． 7．(新设问)(2024·山东枣庄模拟)若点A(cos θ，sin θ)与B关于x轴对称，则θ的一个可能取值为___________． 答案：(答案不唯一) 解析：因为A(cos θ，sin θ)与B(sin，－cos(θ＋))关于x轴对称，所以cos θ＝sin，sin θ＝cos，所以cos θ＝sin θ＋cos θ，sin θ＝cos θ－sin θ，所以tan θ＝2－，又tan＝tan＝＝2－，所以θ＝kπ＋，k∈Z，故答案为(答案不唯一)． 8．已知sin＝2cos αcos β－cos，则tan(α＋β)＝________． 答案：2 解析：等式右边2cos αcos β－cos＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，将等式左边α＋β看作整体，左边得到＝sin(α＋β)－cos(α＋β)．所以sin(α＋β)－cos(α＋β)＝cos(α＋β)，即sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，显然cos(α＋β)≠0，得到tan(α＋β)＝2. 9．(2024·山东淄博一模)若sin＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________． 答案： 解析：因为θ∈，所以θ＋∈，又sin＝，若θ＋∈，则sin>sin＝，与sin＝矛盾，所以θ＋∈，所以cos＝－＝－，所以cos θ＝cos＝cos(θ＋)cos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 10．(12分)已知sin θsin＝. (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求cos的值； (2)求tan θ的值． 解：(1)sin θsin＝{cos[－θ]－cos[＋θ]} ＝ ＝－cos＝， 可得cos＝－. (2)因为sin θsin＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝， 所以sin2θ＋sin θcos θ＝， 则＝＝， 解得tan θ＝2或3. 11．(15分)在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin(－α)＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题． 已知0<β<α<，cos(α＋β)＝－. (1)求sin； (2)求β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝＝3， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin ＝×－×＝. 若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sin α＝3cos α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin ＝×－×＝. 若选③，因为3sin＝cos， 化简得3cos α＝sin α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin ＝×－×＝. (2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－， 所以<α＋β<π， 所以sin(α＋β)＝＝， 所以sin β＝sin [(α＋β)－α] ＝×－×＝， 又因为0<β<，所以β＝. (每小题6分，共12分) 12．(2024·山西吕梁模拟)已知sin 37°≈，则的近似值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为sin 37°≈，所以cos 37°＝≈，所以＝＝ ＝＝＝＝≈＝.故选B． 13．[多选题](2024·河北承德一模)已知0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，下列选项正确的有(　　) A．sin(α＋β)＝± B．cos β＝－ C．cos 2β＝－ D．sin(α－β)＝－ 答案：BD 解析：由于0<α<且sin α＝，所以cos α＝，又α＋β∈(，)，cos(α＋β)＝－＝－cos α，故α＋β＝π－α或α＋β＝π＋α，当α＋β＝π＋α时，β＝π不满足题意，故α＋β＝π－α，所以sin(α＋β)＝，故A错误；cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－，故B正确；cos 2β＝2cos2β－1＝2×(－)2－1＝，故C错误；由B可知sin β＝＝，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×(－)－×＝－，故D正确．故选BD． (每小题8分，共16分) 14．[多选题](2024·吉林长春三模)在△ABC中，若tan＝sin C，则下列论断正确的是(　　) A．＝1 B．sin A＋sin B≤ C．sin2A＋cos2B＝1 D．cos2A＋cos2B＝sin2C 答案：BD 解析：由tan＝sin C⇒tan＝＝＝2sincos，因为cos≠0，所以1＝2sin2⇒1－2sin2＝0⇒cos C＝0⇒C＝90°，所以tan B＝tan＝，＝tan2A不一定为1，故A错误；因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0°<A<90°⇒45°<A＋45°<135°，所以<sin≤1⇒1<sin(A＋45°)≤，从而有1<sin A＋sin B≤，故B正确；又cos B＝cos＝sin A，所以sin2A＋cos2B＝2sin2A也不一定等于1，故C错误；而cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，故D正确．故选BD． 15．(新考法)(2024·江苏南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A(x1，y1)，角的终边与单位圆交于B，则x1x2＋y1y2的值为______；若x1y2＋x2y1＝，则的值为______． 答案：　－ 解析：由三角函数的定义可知，x1＝cos α，y1＝sin α，x2＝cos，y2＝sin，则x1x2＋y1y2＝cos αcos(α＋)＋sin αsin(α＋)＝cos＝cos＝.又x1y2＋x2y1＝cos αsin＋cossin α＝sin＝＝·＝，所以3tan2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－(舍去)，则＝＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$