2.3函数的单调性和最值课后练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

《2.3函数的单调性和最值》课后练习题 北师大版（2019年审定）高中数学必修第一册·第二章《函数》 （满分：100分 建议用时：45分钟） 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 注意事项：1.本卷考查范围：北师大版2019年审定高中数学必修第一册第二章§3函数的单调性和最值（3.1函数的单调性、3.2函数的最值）； 2.请独立完成，解答过程书写工整、步骤完整；3.请将解答写在相应题目后的作答区域内。 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列函数中，在区间 (0,+∞) 上单调递增的是（　　） A. y=−x+2 B. y=x²−3x C. y=−x²+2x D. y=2x−1 2.函数 f(x)=x²−4x+3 的单调递增区间是（　　） A. [2,+∞) B. (−∞,2] C. (1,3) D. [1,3] 3.已知函数 f(x) 在区间 [−2,3] 上是增函数，且 f(m−1)>f(2)，则实数 m 的取值范围是（　　） A. (3,4] B. [3,4] C. (3,4) D. [−1,4] 4.函数 f(x)=−x²+2x+3 在区间 [0,4] 上的最大值与最小值分别为（　　） A. 4，−5 B. 3，−5 C. 4，3 D. 3，−16 5.已知函数 f(x)=x²−2(a−1)x+3 在区间 (−∞,4] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（　　） A. [5,+∞) B. (−∞,5] C. [3,+∞) D. [1,+∞) 6.定义在 R 上的函数 f(x) 满足：对任意 x₁<x₂，都有 (x₁−x₂)[f(x₁)−f(x₂)]<0，则 f(x) 是（　　） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 7.函数 f(x)=−x²+2x+1 的单调递增区间为______。 8.函数 f(x)=x+ 在区间 (0,2] 上的最小值为______。 9.已知函数 f(x)=2x²−4x+m 在区间 [0,3] 上的最大值为 5，则 m=______。 10.函数 f(x)=x²−2x−3，x∈[−2,1]，其图象如图2所示，则函数的值域为______。 11.若函数 f(x)=x²+2ax+2 在区间 [−3,5] 上单调递增，则实数 a 的取值范围是______。 三、解答题（本大题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（15分）已知函数 f(x)=x+（x>0），其图象如图1所示。 图1 函数 f(x)=x+1/x（x>0）的图象 （1）判断并证明 f(x) 在区间 (0,1) 上的单调性； （2）求 f(x) 在区间 [1,2] 上的最大值与最小值； （3）若 f(x)−a≥0 对一切 x∈[1,2] 恒成立，求 a 的取值范围。 解： 13.（15分）已知二次函数 f(x)=x²−2ax−1（a 为实数）。 （1）若 f(x) 在区间 [2,4] 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）求 f(x) 在区间 [0,3] 上的最小值 g(a)（写成分段函数的形式）； （3）若 f(x) 在区间 [0,3] 上的最小值为 −2，求 a 的值。 解： 14.（15分）某工厂生产一种产品，每件产品成本为 8 元。经市场调研：当销售单价定为 x 元（10≤x≤30）时，日销售量 Q 件满足 Q=240−8x。设日销售利润为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若要求日销售利润不低于 800 元，求销售单价的取值范围。 解： 参考答案与解析 说明：以下答案与解析由命题教师独立编制，供阅卷与讲评使用；解答题按步骤给分，评分建议可根据实际学情适当调整。 一、单项选择题 1.答案：D。解析：A 中 y=−x+2 在 (0,+∞) 上递减；B 中 y=x²−3x 的对称轴为 x=，在 (0,) 上递减；C 中 y=−x²+2x 的对称轴为 x=1，在 (0,1) 上递增、在 (1,+∞) 上递减，在 (0,+∞) 上不单调；D 中 y=2x−1 在 R 上递增。故选 D。 考点：利用图象判断函数的单调性。 2.答案：A。解析：f(x)=x²−4x+3=(x−2)²−1，开口向上，对称轴为 x=2，故单调递增区间为 [2,+∞)，故选 A。 考点：二次函数的单调区间。 3.答案：A。解析：由增函数定义，f(m−1)>f(2) 等价于 m−1>2，即 m>3；又 m−1 与 2 都必须在定义域 [−2,3] 内，故 −2≤m−1≤3，得 −1≤m≤4。综合得 3<m≤4，故选 A。 考点：单调性的应用（比较大小与定义域限制）。 4.答案：A。解析：f(x)=−x²+2x+3=−(x−1)²+4，开口向下，对称轴 x=1∈[0,4]，故最大值为 f(1)=4；又 f(0)=3，f(4)=−16+8+3=−5，故最小值为 −5。故选 A。 考点：二次函数在闭区间上的最值。 5.答案：A。解析：f(x)=x²−2(a−1)x+3 的对称轴为 x=a−1，开口向上。f 在 (−∞,4] 上单调递减，需对称轴在 x=4 的右侧或与其重合，即 a−1≥4，解得 a≥5。故选 A。 考点：单调性与对称轴的位置关系。 6.答案：B。解析：对任意 x₁<x₂，有 x₁−x₂<0。由 (x₁−x₂)[f(x₁)−f(x₂)]<0 知 f(x₁)−f(x₂)>0，即 x₁<x₂ 时 f(x₁)>f(x₂)，由减函数定义可知 f(x) 是减函数，故选 B。 考点：函数单调性的符号语言定义。 二、填空题 7.答案：(−∞,1]。解析：f(x)=−x²+2x+1=−(x−1)²+2，开口向下，对称轴为 x=1，故单调递增区间为 (−∞,1]。 考点：二次函数的单调区间。 8.答案：4。解析：由 x>0 及基本不等式，x+≥2√(x·)=4，当且仅当 x=，即 x=2 时取等号。而 x=2∈(0,2]，等号可取，故最小值为 4。 考点：基本不等式求最值（结合定义域）。 9.答案：−1。解析：f(x)=2x²−4x+m=2(x−1)²+m−2，开口向上，对称轴 x=1∈[0,3]。f 在 [0,3] 上的最大值在距对称轴较远的端点 x=3 处取得：f(3)=18−12+m=6+m。由 6+m=5，得 m=−1。 考点：闭区间上二次函数的最大值。 10.答案：[−4,5]。解析：f(x)=x²−2x−3=(x−1)²−4，开口向上，对称轴 x=1∈[−2,1]。最小值为 f(1)=−4；又 f(−2)=4+4−3=5，故最大值为 5，值域为 [−4,5]。 考点：闭区间上二次函数的值域（结合图象）。 11.答案：[3,+∞)。解析：f(x)=x²+2ax+2 的对称轴为 x=−a，开口向上。f 在 [−3,5] 上单调递增，需对称轴在 x=−3 的左侧或与其重合，即 −a≤−3，解得 a≥3。 考点：单调递增与对称轴的位置关系。 三、解答题 12.解：（1）f(x) 在 (0,1) 上是减函数。证明：任取 x₁、x₂∈(0,1)，且 x₁<x₂，则 f(x₂)−f(x₁)=x₂−x₁+−=(x₂−x₁)·。 因为 0<x₁<x₂<1，所以 x₂−x₁>0，x₁x₂−1<0，x₁x₂>0，故 f(x₂)−f(x₁)<0，即 f(x₂)<f(x₁)，所以 f(x) 在 (0,1) 上是减函数。 （2）当 1≤x₁<x₂ 时，x₂−x₁>0，x₁x₂−1>0，同理可得 f(x₂)−f(x₁)>0，故 f(x) 在 [1,+∞) 上递增。因此 f 在 [1,2] 上的最小值为 f(1)=2，最大值为 f(2)=。 （3）由 f(x)−a≥0 恒成立，得 a≤f(x) 对一切 x∈[1,2] 恒成立，故 a≤f(x) 的最小值，即 a≤2。 评分建议：（1）6分（取值1分、作差变形4分、定号结论1分）；（2）5分（说明[1,+∞)递增2分、最值3分）；（3）4分。 13.解：（1）f(x)=x²−2ax−1 的对称轴为 x=a，开口向上。f 在 [2,4] 上单调递增，需对称轴在 x=2 的左侧或与其重合，即 a≤2。 （2）对称轴 x=a 与区间 [0,3] 的位置关系分三种情形： ① 当 a<0 时，f 在 [0,3] 上单调递增，g(a)=f(0)=−1； ② 当 0≤a≤3 时，g(a)=f(a)=a²−2a²−1=−a²−1； ③ 当 a>3 时，f 在 [0,3] 上单调递减，g(a)=f(3)=9−6a−1=8−6a。 （3）由（2），逐一检验三种情形：a<0 时 g(a)=−1≠−2；0≤a≤3 时，令 −a²−1=−2，得 a²=1，即 a=1（a=−1 不在该范围，舍去）；a>3 时，令 8−6a=−2，得 a=，不在该范围。综上，a=1。 评分建议：（1）4分；（2）7分（三种情形各2分、分段结论1分）；（3）4分。 14.解：（1）每件利润为 x−8 元，日销售量为 240−8x 件，故 y=(x−8)(240−8x)=−8x²+304x−1920。 由 10≤x≤30 且 240−8x≥0，得 10≤x≤30，定义域为 [10,30]。 （2）y=−8x²+304x−1920=−8(x−19)²+968，对称轴 x=19∈[10,30]，故当销售单价定为 19 元时，日销售利润最大，最大利润为 968 元。 （3）由题意 −8x²+304x−1920≥800，整理得 x²−38x+340≤0。对应方程 x²−38x+340=0 的判别式 Δ=38²−4×340=84，两根为 x=19±√21。故销售单价的取值范围为 [19−√21, 19+√21]（19−√21≈14.4，19+√21≈23.6，均在定义域 [10,30] 内，符合实际）。 评分建议：（1）5分（解析式3分、定义域2分）；（2）5分；（3）5分。 附：命题细目表 题号 题型 分值 考查内容 能力要求 难度 对应知识 1 单选题 5 函数单调性的图象判断 理解 基础 3.1 2 单选题 5 二次函数的单调区间 理解 基础 3.1 3 单选题 5 单调性应用（比大小与定义域） 运用 基础 3.1 4 单选题 5 二次函数闭区间最值 运用 中档 3.2 5 单选题 5 单调性与对称轴位置关系 运用 中档 3.1 6 单选题 5 单调性的符号语言定义 理解 中档 3.1 7 填空题 5 二次函数单调区间 理解 基础 3.1 8 填空题 5 基本不等式求最小值 运用 中档 3.2 9 填空题 5 闭区间最大值求参数 综合 提高 3.2 10 填空题 5 闭区间值域（结合图象） 综合 提高 3.2 11 填空题 5 单调递增求参（对称轴） 运用 基础 3.1 12 解答题 15 定义法证明单调性、最值、恒成立 综合 中档 3.1/3.2 13 解答题 15 含参对称轴、分段最小值 综合 中档 3.1/3.2 14 解答题 15 二次函数实际应用（利润） 综合 提高 3.2 难度配比说明（按分值计）：基础题5题共25分（第1、2、3、7、11题），中档题6题共50分（第4、5、6、8、12、13题），提高题3题共25分（第9、10、14题），合计100分。梯度安排：单调性概念与单调区间（基础）→ 最值计算、单调性应用与定义法证明（中档）→ 含参讨论与实际应用（提高），难度逐级递进，符合高一上学期学情。 知识覆盖说明：本卷紧扣北师大版（2019年审定）高中数学必修第一册第二章§3函数的单调性和最值，覆盖3.1函数的单调性（增函数与减函数定义、单调区间、定义法证明单调性、单调性的应用）与3.2函数的最值（最大值与最小值的定义、二次函数闭区间最值、基本不等式求最值）；第二章§1生活中的变量关系、§2函数仅作背景知识，不在本卷直接考查。本卷所有分数均采用规范分数线，根号书写规范；配图（图1、图2）由命题人按题目数据绘制，关键点标注清晰，与题目内容完全相符。 1 学科网（北京）股份有限公司 $