第8章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 第八章　平面解析几何 课程标准 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．　 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．　 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 微提醒　(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 理清主干知识 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0. > ＝ < 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 练透教材典题 1．[多选题]下列说法正确的是 A．过点(1， )的直线一定与椭圆 ＋y2＝1相交 B．直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切 C．与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点 D．圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦 √ √ √ √ √ 3．(2024·北京海淀二模)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为 A．(0,1) B．(1，－3) C．(3,4) D．(2，－2) (0,1)在y轴上，所以(0,1)在抛物线外部，将x＝1代入抛 物线C：y2＝4x中，则|y|＝2<3，所以(1，－3)在抛物线 外部，将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2 <4，所 以(3,4)在抛物线外部，将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2 >2，所以(2，－2)在抛物线内部，将选项中的点 分别在直角坐标系中画出来，只有点D(2，－2)在抛物线内部，故当点P位于点D(2，－2)处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点．故选D． 返回 4．已知点A，B是双曲线C： ＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为____． 考点探究　精准突破 返回 考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判断 综合练 例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 当Δ>0，即－3 <m<3 时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)有且只有一个公共点． 当Δ＝0，即m＝±3 时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 规律方法 判断直线与圆锥曲线位置关系的方法 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 对点练1.(1)(2024·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) √ 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0<k≤1.综上，－1≤k≤1.故选A． (2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是______________． 由 得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 考点二 弦长问题 综合练 例2 是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； 因为M，N是不同的两点， 规律方法 弦长公式的运用技巧 在利用曲线方程和直线方程联立时，设直线方程有两种常用方法： 1．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即 “定点落在纵轴上，斜截式能帮大忙”． 2．若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”． 提醒：联立直线与曲线方程后得到一元二次方程，一定要考虑判别式Δ.根据判别式Δ>0，解出参数的取值范围，用于最后检验，将不在范围内的解舍去．当然也可以先不解不等式Δ>0，而在解出参数的具体值以后，再代入Δ>0检验． 对点练2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 ＝1(a>b>0)的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4. (1)求椭圆的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝ ，求直线AB的方程． 解：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件． ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－ (x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 考点三 中点弦问题 综合练 例3 已知P(1,1)为椭圆 ＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为__________________． 法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭 x＋2y－3＝0 法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率． 2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． √ 对点练3.(1)已知双曲线方程为x2－ ＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0 C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0 √ (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐 标为 A．(1，－1) B．(2,0) C． D．(1,1) 因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2， 返回 课时测评 返回 √ 1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C： ＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 2．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于 C．1 D．2 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为 ( ，±1)，代入抛物线方程可解得p＝1. 故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 3．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．故充分性不满足．必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”．故必要性满足．所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．故选B． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 4．(2024·安徽六安模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为 A．1 B．2 C．4 D．8 因为抛物线C：y2＝4x的准线为l，所以l的方程为x＝－1， A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1， m>0，由 得y2－4my＋4＝0，所以Δ＝(－4m)2 －4×4＝0，解得m＝1，所以y2－4y＋4＝0，解得y＝2， 即yB＝2，所以△OAB的面积为 ×1×2＝1.故选A． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是 A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．已知直线y＝x与双曲线 ＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率e的取值范围为________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．已知斜率为2的直线l与双曲线C： ＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2,1)是线段AB的中点，则C的离心率等于_____． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝ ，求直线l的方程． 解：由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)， 设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)求双曲线C的方程； 解：依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4， 解得a2＝50(舍去)或a2＝2， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2 ，求直线l的方程． 解：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2， 代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故满足条件的直线l有两条， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)求椭圆C的标准方程； 解得a＝2，c＝1，则b2＝3， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)已知直线l过定点E ( ，0)，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围． 解：易知直线的斜率存在，设直线l的方程为 当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称； AB中点的坐标为(x0，y0)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)， 即3kx0＝4y0， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为线段AB的中点在椭圆内部， 解得－2<k<0或0<k<2. 综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 13．已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是 A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4| C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2| 如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，由 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.故选A． 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 谢谢观看 本节到此结束 则|AB|＝＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2| ＝ . 2．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是 A． B．－ C．± D．± 由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.故选C． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B是双曲线C上的两点，所以－＝1，－＝1，两式相减得＝，因为M(3,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，所以＝，所以kAB＝＝. － ＋ 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 则解得－<k<－1. 直线AF的斜率为＝2，解得c＝1，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F 解：由离心率e＝＝，得a＝c， 由得(1＋2k2)x2－4kx＋4＝0， 所以判别式Δ＝(－4k)2－4×4×(1＋2k2)>0，得k2>1， (2)设过点P(0，－)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且|MN|＝，求k的值． 解：设直线l：y＝kx－，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 解得k2＝3或k2＝－(舍去)，所以k＝±. 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝＝，整理得17k4－32k2－57＝0， 解：由题意知e＝＝，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. ＋ ＝·＝. 同理，|CD|＝＝. 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2| 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝， ＋ 圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1 … ①， ＋＝1 … ②， ①－②得＋＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝.又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由已知得两式作差得x－x＝，所以＝＝6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意．故选B． y2)，则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，所以kPQ＝，又因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，所以PQ中点的纵坐标为＝－1，又因为PQ的中点在直线l上，所以PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1，所以线段PQ的中点坐标为(1，－1)．故选A． ＋ 由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，因为＋<1，所以该点在椭圆C：＋＝1内部．所以直线l与椭圆C相交．故选C． A． B． 5．[多选题](2024·山东青岛质检)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，则 A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．左焦点到渐近线的距离为1 C．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点 D．过右焦点截双曲线C所得弦长为2的直线有三条 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，且点(3，)与原点连线的斜率小于，所以可设双曲线方程为－y2＝m(m≠0)．又双曲线过点(3，)，所以m＝－()2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，故A正确；由双曲线方程知a2＝3，b2＝1，c＝＝2，则左焦点为(－2,0)，渐近线方程为x±y＝0， 则左焦点到渐近线的距离d＝＝1，故B正确；将直线与双曲线C的方程联立并消去x整理得y2－2y＋2＝0，因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝0，所以直线与双曲线只有一个公共点，故C错误；因为双曲线的通径长为＝＝<2，所以过右焦点，两端点都在右支上且弦长为2的弦有两条，又双曲线的两顶点间距离为2a＝2，所以端点在双曲线左、右两支上且弦长为2的弦只有一条，为实轴．综上，过右焦点截双曲线C所得弦长为2的直线有三条，故D正确．故选ABD． 6．[多选题]设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O， C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为 D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 对于A，设M(x0，y0)，根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM＝－·＝－＝－2≠－1，故A不正确；对于B，根据kAB·kOM＝－2，kOM＝1，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，故C不正确；对于D，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝＝，故D正确．故选BD． 双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有≤1，即＝＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1<e≤. － (1，] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得－＝0，即－＝0，因为点P(2,1)是线段AB的中点，所以－＝0，得－＝0，又因为直线l的斜率为2，所以－2×＝0，得a2＝b2，即a2＝c2－a2，所以C的离心率e＝＝. － 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 9．(12分)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2， 解：由得 即y1＋y2＝，y1y2＝. 又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2| 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， ＝＝， ＝|BF1|·|y1－y2| ＝|BF1|· 将点P(5，)代入上式，得－＝1， 故所求双曲线的方程为－＝1. 10．(14分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上． 则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)， 解得(*) 所以 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝. 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝·＝·. 又S△OAB＝2，即＝1， 其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)． 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. 11．(18分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4. 解：因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4， 当k≠0时，有kAB＝＝－， y＝k (x－)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解得x0＝1，y0＝， 则 又y0＝k (x0－)， 所以＋<1，即＋<1， A．1 B． C． D．2 12．(新考法)(2024·四川遂宁模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为 设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD面积S＝××＝，又点B在椭圆上，所以＋y＝1，所以S＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.故选C． $$