6.1 随机事件的条件概率(能力提升)—2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

6.1 随机事件的条件概率 1.甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、县华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率( ) A. B. C. D. 2.3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为( ) A.0.103 B.0.301 C.0.897 D.0.699 3.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( ) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 4.甲、乙两人下象棋并约定谁先赢满5局，谁就获得全部奖金700法郎，下了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再继续.假设每局两人输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理( ) A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎 C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎 5.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为( ) A. B. C. D. 6.目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显小，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为.已知公司男、女员工的人数比例为，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为( ) A. B. C. D. 7.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( ) A. B. C. D. 8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，且该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( ) A. B. C. D. （多选）9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中既有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( ) A.事件B与事件C互斥 B. C.事件A与事件B相互独立 D.记C的对立事件为，则 （多选）10.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( ) A.目标恰好被命中一次的概率为 B.目标恰好被命中两次的概率为 C.目标被命中的概率为 D.目标被命中的概率为 （多选）11.已知A，B为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是( ) A.若，则 B. C.若B和C是两个互斥事件，则 D.当时， 12.某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件A表示“高一年级的3个人不相邻”，事件B表示“高二年级的2个人相邻”，则__________. 13.有6道不同的数学题，其中有4道函数题、2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是__________. 14.银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在某个银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.若任意按最后1位数字，则不超过3次就按对的概率为__________. 15.有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外完全相同，某人进行摸球答题游戏，规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题，若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐，此人答对每一道题目的概率均为，当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐内无球，求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由题知：事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼共有（种）情况，事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择黄鹤楼，共有（种）情况，.故选D. 2.答案：C 解析：由全概率公式，可得任取一零件， 它是合格品的概率为. 故选：C. 3.答案：D 解析：方法一：设第二盘与甲比赛，则.设第二盘与乙比赛，则.设第二盘与丙比赛，则，，，故.选D. 方法二：因为，每一种顺序中有两种可能的情况，所以p的最大值为.因为两种情况中均包含丙比赛获胜的情况，所以该棋手在第二盘与丙比赛时，p最大.故选D. 4.答案：C 解析：设甲、乙赢得700法郎的概率分别为，， 由题意得甲赢得700法郎的概率，乙赢得700法郎的概率，因此应分配给甲（法郎），分配给乙（法郎）.故选C. 5.答案：A 解析：由题意知，甲在4局以内（含4局）赢得比赛包含3种情况： ①甲胜第1，2局，概率为； ②乙胜第1局，甲胜第2，3局，概率为； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3，4局，概率为 所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为.故选A. 6.答案：D 解析：设该公司男、女员工的人数分别为2n和n，则男员工中，肥胖者的人数为， 女员工中，肥胖者的人数为. 设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件B，则，， 则.故选D. 7.答案：A 解析：记事件：放入水果分选机的苹果为大果，事件：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，则，，，， 由全概率公式可得， ， 因此，.故选A. 8.答案：B 解析：从全校学生中任意调查一名学生，设表示“该学生玩手机时间超过”，表示“该学生玩手机时间不超过”，B表示“该学生近视”，则由题意得，，，， 则，解得，故选B. 9.答案：BCD 解析：对于A，显然事件B发生的情况中包含事件C，即事件B与C可同时发生，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，因为，，所以，则事件A与B相互独立，所以C正确；对于D，由题意，得，则，所以，所以D正确.故选BCD. 10.答案：BD 解析：由题意，甲、乙两人射击是否命中相互独立，目标；恰好被命中一次的概率为，A错误；目标恰好被命中两次的概率为，B正确；目标被命中包含恰好命中一次和恰好命中两次，即目标被命中的概率为，C错误；两人都没有命中的概率为，则目标被命中的概率又可以表示为，D正确.故选BD. 11.答案：AD 解析：由，得，A正确. ，B错误. 若B和C是两个互斥事件，则， 又， 因为与不一定相等，所以与不一定相等，C错误. 当时，，，D正确. 12.答案： 解析：事件A包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，有种不同的排法； 第二步，将高一年级3人插空，有种不同的排法. 故事件A包含的样本点数为. 事件AB包含样本点数的计算： 第一步，高二年级2人捆绑且内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级2人看作一个元素，与高三年级2人共3个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级3人插空，有种不同的排法. 故事件AB包含的样本点数为. 所以. 13.答案： 解析：设事件A表示“第一次抽到函数题”，B表示“第二次抽到函数题”，则，，所以. 14.答案： 解析：设事件：第i次按对密码，事件A：不超过3次就按对，则.因为事件，，两两互斥，所以. 15.答案： 解析：记事件M为“此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个”， 为“第i次摸出红球，并且答题正确”，， 为“第j次摸出黑球，并且答题正确”，， 为“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”，， 则. 又，，， 所以 . 同理， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $