精品解析：天津市滨海新区2023-2024学年高二下学期期末数学试题

滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设为实数，且，则“”是“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 5. 三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所对应的函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 9. 计算的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 11. 已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 12. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二．填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 若随机变量，且，则____________． 14. 函数的定义域是____________． 15. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为____________． 16. 已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为____________．（用数字作答） 17. 在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用m表示． x 1 2 3 4 5 y 6.3 7.4 8.1 8.7 m 已知表中数据经验回归方程同时满足：①过点；②x每增加一个单位，y增加0.77个单位，则____________当；时，____________． 18. 随机变量概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出____________，若，则b的数值应是____________． 19. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 20. 若函数只有一个极值点，则的取值范围是____________． 三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 22. 某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 24. 已知函数． （1）求函数极值； （2）若导数分别为，且，求a的取值范围； （3）用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的运算即可求解. 【详解】解：， ， 即. 故选：B 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，直接判断函数的单调性即可． 【详解】对于A，二次函数对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B，由对数函数的单调性得，在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递减，故C正确； 对于D，因为和在上单调递增，故在上单调递增，故D错误； 故选：C． 3. 设为实数，且，则“”是“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由不能推出，如，，，， 满足，但是，故充分性不成立； 当时，又，可得，即，故必要性成立； 所以“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 4. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可． 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 5. 三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】解：， ， ， 即. 故选：A. 6. 如图所对应的函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 8. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 9. 计算的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 10. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断 【详解】由 对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误； 对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误； 对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确； 对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误. 故选：C. 11. 已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性可判断①；利用指数函数所过的定点代入即可判断②；利用奇偶性的定义即可判断③；判断函数的单调性即可判断④. 【详解】对于A，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在R上增函数， 当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在R上为减函数， 错误； 对于②，当时，，即函数过定点，正确； 对于③，由函数可得：，解得：， 故函数的定义域是，关于原点对称， 因为， ， 所以 ，即原函数为偶函数，正确； 对于④，当时， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值0，正确. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在判断函数奇偶性的时候要注意先判断函数定义域是否关于原点对称. 12. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意有三个不同的实数根，利用导数得出其单调区间，得出其函数图像，数形结合得出的范围，由可得出答案. 【详解】解：方程，显然不为该方程的实数根， 设， 即方程有三个不同的实数根， 即有三个不同的实数根， 当时， ，则， 由，可得；，可得， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时， 从而作出的大致图像. 由图可知当时，直线与函数的图象有3个交点， 即方程有三个不同的实数根. 由，得， 由，得， 所以 所以． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：在画的图象时注意其函数值的取值范围. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二．填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 若随机变量，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正态分布的对称性得到答案． 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 故答案为：0.26． 14. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 15. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 16. 已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由已知先求得，再根据二项展开式通项求解即可． 【详解】由所有项的系数之和为32，令，，所以， 所以展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：． 17. 在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用m表示． x 1 2 3 4 5 y 6.3 7.4 81 8.7 m 已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②x每增加一个单位，y增加0.77个单位，则____________当；时，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由经验回归方程恒过样本点的中心求解，进而求得经验回归方程，即可求解时的值． 【详解】，， 因为经验回归方程过点， 所以，解得， 由，可得，则， 当时，， 故答案为：，． 18. 随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出____________，若，则b的数值应是____________． 【答案】 ①. 3 ②. ##0.5 【解析】 【分析】根据随机变量分布列的性质得，利用数学期望的定义求出；再由方差计算公式列出方程求出值，即可得到的值. 【详解】依题意，， 解得，，代入得，. 故答案为：3； 19. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 20. 若函数只有一个极值点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】使用导数研究函数的性质，然后计算得到，再利用的性质分类讨论得到结果. 【详解】因为， 所以， 因为只有一个极值点，所以若3是极值点， 因为，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 则，所以； 当趋向于0时，趋向于1，趋向于0，则趋向于正无穷， 当趋向正无穷时，趋向正无穷的速率远远大于趋向正无穷的速率，则趋向于正无穷， 若3不是极值点，则3是即的一个根，且存在另一个根，此时； 当时，， 令，解得；令，解得； 所以在单调递减，在单调递增，满足题意， 综上：或，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，并分类讨论. 三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知某单位甲、乙、丙三个部门员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）分别抽取人，人和人 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. 【小问2详解】 解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 22. 某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； （2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由题可得，可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. 【小问2详解】 将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 24. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若的导数分别为，且，求a的取值范围； （3）用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）时，无零点，当时有2个零点 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算求得，分析出单调性即可求得极值； （2）将问题转化为时，恒成立，构造函数，求解最小值即可； （3）由题意可知，当时，通过求的范围即可判断；当时，通过比较和的正负即可判断的零点个数． 【小问1详解】 ，令得，或（不合题意舍去）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 由（1）得，时，， 对求导得，， 时，恒成立， 所以时，恒成立，设， ，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围是． 【小问3详解】 因为，设，则， ①若，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，没有零点； ②若，由（1）知， 当时，，在上单调递增， 又，所以时，， 当时，，所以在上单调递增，且， 存在唯一，使得，则， 当时，，即在单调递增， 所以， 当时，在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得， 综上所述，时，无零点，当时有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $