专题五 二次函数 专项测试-【智赢中考】2025年中考数学一轮复习

1 专题五 二次函数 第 1 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）. A. B. C. D. 第 2 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 若 是关于 的二次函数，则 的值为（ ）. A. B. C. 或 D. 其它都不对 第 3 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 若直线 经过第一、三、四象限，则抛物线 的顶点必在（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 4 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 把抛物线 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得的抛物线的函 数关系式是（ ）. A. B. C. D. 第 5 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 设二次函数 ( ， 是实数)，则（ ）. A. 当 时，函数 的最小值为 B. 当 时，函数 的最小值为 C. 当 时，函数 的最小值为 D. 当 时，函数 的最小值为 3 3 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑥2 3 3 𝑦 = (𝑚 + 1) 𝑥 −𝑚𝑚 2 𝑥 𝑚 2 −1 −1 2 3 3 𝑦 = 2𝑥 − 𝑚 𝑦 = 2(𝑥 + 𝑚 − 1)2 4 2 𝑦 = −2 + 4𝑥 + 1𝑥2 2 3 𝑦 = −2 + 6(𝑥 − 1)2 𝑦 = −2 − 6(𝑥 − 1)2 𝑦 = −2 + 6(𝑥 + 1)2 𝑦 = −2 − 6(𝑥 + 1)2 3 1 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑚 − 𝑘) 𝑎 > 0 𝑚, 𝑘 𝑘 = 2 𝑦 −𝑎 𝑘 = 2 𝑦 −2𝑎 𝑘 = 4 𝑦 −𝑎 𝑘 = 4 𝑦 −2𝑎 智赢中考·A 逆袭智学卷I 2 第 6 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 已知二次函数 的图象与一次函数 的图象有两个交点，则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 第 7 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图是二次函数 的图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 .下列说 法：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 .其中说法正确的是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 第 8 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 某旅行社有 张床位，每床每晚收费 元时，床位可全部租出，若每床每晚收费提高 元，则减 少 张床位的租出；若每床每晚收费再提高 元，则再减少 张床位租出，以每次提高 元的这种 方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高（ ）. A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 第 9 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线 ，若其与 轴的一交点为 ，则由图象可知，不等式 的解集是 . 4 3 𝑦 = − 𝑚𝑥2 𝑦 = 2𝑥 𝑚 𝑚 > −1 𝑚 ⩾ 0 𝑚 < −2 𝑚 < 0 8 5 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 𝑥 = −1 𝐴(−4, 0) 𝑎𝑏𝑐 < 0 2𝑎 − 𝑏 = 0 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 < 0 (−6, )𝑦1 (3, )𝑦2 >𝑦1 𝑦2 8 5 120 20 2 10 2 10 2 2 4 6 8 4 2 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 𝑥 = 1 𝑥 𝐴(3，0) 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0𝑥2 智赢中考·A 逆袭智学卷I 3 第 10 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，把抛物线 平移得到抛物线 ，抛物线 经过点 和原点 ，它的顶点为 ，它的对称轴与抛物线 交于点 ，则图中阴影部分的面积为 ． 第 11 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，点 ， ， 分别是等边三角形 三边 ， ， 上的动点，且始终保持 ，设 的面积为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象大致为下图所示，则等边 三角形 的边长为     . 第 12 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，已知二次函数 与 轴交于 ， 两点． (1) 求二次函数的解析式； (2) 抛物线的顶点为点 ，连接 ，求 的长； (3) 在同一坐标系中画出直线 ，并写出当 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函 数的值． 9 5 𝑦 = 1 2 𝑥2 𝑚 𝑚 𝐴(−8, 0) 𝑂(0, 0) 𝑃 𝑦 = 1 2 𝑥2 𝑄 16 7 𝐸 𝐹 𝐺 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 = 𝐶𝐺 △𝐸𝐹𝐺 𝑦 𝐴𝐸 𝑥 𝑦 𝑥 𝐴𝐵𝐶 11 7 𝑦 = + 𝑏𝑥 + 𝑐 1 2 𝑥2 𝑥 𝐴(2, 0) 𝐷(−1, 0) 𝐵 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 智赢中考·A 逆袭智学卷I 4 第 13 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 话说孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞进行改造翻新.计 划在水帘洞前建一个由喷泉组成的水帘门洞，让游客在进入水帘洞前先经过一段由鹅卵石铺就的 小道，小道两旁布满喷水管，每个喷水管喷出的水最高达 米，落在地上时距离喷水管 米，如图 所示，问小道的边缘距离喷水管至少应为多少米，才能使身高不大于 米的游客进入水帘洞时 不会被水淋湿？ 第 14 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行的路线满足抛物线 ，其中 是球飞行的高度， 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 . (1) 写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2) 请写出球飞行的最大水平距离； (3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且 球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式. 第 15 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 若关于 的一元二次方程 有实数根 、 ，且 ，下列结论：① ；② ；③二次函数 的图象与 轴交点的坐标为 和 ．其中，正确结论的个数是（ ）. A. B. C. D. 第 16 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 抛物线 （ 是常数， ）经过 ， ， 三点，且 . 下列四 个结论： ① ； ② ； 12 5 3 6 1.92 8 5 𝑦 = − + 𝑥 1 5 𝑥2 16 5 𝑦(m) 𝑥(m) 4m 10 7 𝑥 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑚 𝑥1 𝑥2 ≠𝑥1 𝑥2 = 2,𝑥1 = 3𝑥2 𝑚 > − 1 4 𝑦 = (𝑥 − )(𝑥 − ) + 𝑚𝑥1 𝑥2 𝑥 (2, 0) (3, 0) 0 1 2 3 10 5 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑐 < 0 (1, 1) (𝑚, 0) (𝑛, 0) 𝑛 ⩾ 3 𝑏 < 0 4𝑎𝑐 − < 4𝑎𝑏2 智赢中考·A 逆袭智学卷I 5 ③当 时，若点 在该抛物线上，则 ； ④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 . 其中正确的是________（填序号）. 第 17 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1) 的取值范围为 ； (2) 当 取最大整数时，抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线与 轴的 交点坐标为 ； (3) 将（ ）中求得的抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴的上方，图象的其他部分不变，得 到一个新图象，新图象与直线 有三个不同的公共点时 的值为 . 第 18 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 、 两点，点 在 轴上，点 的纵坐标为 . 点 是直线 上方的抛物线上一动点（不与 ， 重合），过点 作 轴 的垂线交直线 于点 ，作 于点 . (1) 求 ， 及 的值； (2) 设点 的横坐标为 . 用含 的代数式表示线段 的长，并求出线段 长的最大值； 连接 ，线段 把 分成两个三角形， 是否存在适合的 值，使这两个三角形的面积之比 为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，说明理由. 第 19 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 ， ， 三点． 𝑛 = 3 (2, 𝑡) 𝑡 > 1 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥𝑥2 0 < 𝑚 ⩽ 1 3 18 6 𝑥 − 4𝑥 + 2 (𝑘 − 1) = 0𝑥2 𝑘 𝑘 𝑦 = − 4𝑥 + 2(𝑘 − 1)𝑥2 𝑥 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑚 𝑚 27 12 𝑦 = 𝑥 − 1 1 2 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 3𝑥2 𝐴 𝐵 𝐴 𝑥 𝐵 −3 𝑃 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝑃 𝑥 𝐴𝐵 𝐶 𝑃𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷 𝑎 𝑏 sin∠𝐴𝐶𝑃 𝑃 𝑚 ① 𝑚 𝑃𝐷 𝑃𝐷 ② 𝑃𝐵 𝑃𝐶 △𝑃𝐷𝐵 𝑚 9 : 10 𝑚 27 10 𝐴(−4, 0) 𝐵(0,−4) 𝐶(2, 0) 智赢中考·A 逆袭智学卷I 6 (1) 求抛物线的解析式； (2) 若点 为第三象限内抛物线上一动点，点 的横坐标为 ， 的面积为 ．求 关于 的 函数关系式，并求出 的最大值； (3) 若点 是抛物线上的动点，点 是直线 上的动点，判断有几个位置能使以点 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 的坐标． 第 20 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，直线 经过 两点，抛物线的顶点为 . (1) 求抛物线和直线 的解析式； (2) 如图 ，点 是抛物线对称轴上一动点，若以点 为顶点的三角形是等腰三角形，求出此 时点 的坐标； (3) 如图 ，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两平行线交于点 ，连接 .点 是 线段 上一动点，在线段 上是否存在这样的点 ，使 为等腰三角形且 为直角 三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 𝑀 𝑀 𝑚 △𝐴𝑀𝐵 𝑆 𝑆 𝑚 𝑆 𝑃 𝑄 𝑦 = −𝑥 𝑃,𝑄,𝐵,𝑂 𝑄 30 10 1 𝑦 = − + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 𝑥 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶 𝐵 (3, 0) 𝐶 (0, 3) 𝑙 𝐵,𝐶 𝐷 𝑙 2 𝑃 𝑃,𝐴,𝐶 𝑃 3 𝐷 𝑥 𝐵 𝑦 𝑀 𝑂𝑀 𝑄 𝑀𝐵 𝑂𝑀 𝑁 △𝑁𝑂𝑄 △𝑁𝑀𝑄 𝑁 智赢中考·A 逆袭智学卷I 7 参考答案 专题五 二次函数 1. D 2. A 3. C 4. C 5. A 6. A 7. C 8. A 9. 或 10. 11. 12. (1) (2) (3) 13. 米 14. (1) 开口向下； ； (2) (3) 【选做】 15. C 16. ②③④ 17. (1) (2) ； 和 (3) 或 18. (1) ； ； (2) 存在满足条件的 值； 或 𝑥 < −1 𝑥 > 3 32 2 𝑦 = − 𝑥 − 1 1 2 𝑥2 1 2 15 8 −1 < 𝑥 < 4 1.2 (8, )64 5 𝑥 = 8 16m 𝑦 = − + 16 125 (𝑥 − 10)2 64 5 𝑘 < 3 (2, −2) (2 − , 0)2 −√ (2 + , 0)2 −√ 1 4 −2 + 2 −√ 𝑎 = − 1 2 𝑏 = − 1 2 2 5 −√ 5 ①𝑃𝐷 = − (𝑚 + 1 + ; 5 −√ 5 )2 9 5 −√ 5 9 5 −√ 5 ② 𝑚 𝑚 = − 5 2 − 32 9 智赢中考·A 逆袭智学卷I 8 19. (1) (2) ， 的最大值为 (3) 点 的坐标可以有 个，分别为 20. (1) 抛物线解析式： ；直线 的解析式： (2) (3) 存在，点 的坐标为 或 𝑦 = + 𝑥 − 4 1 2 𝑥2 𝑆 = − − 4𝑚𝑚2 𝑆 4 𝑄 4 (−2 + 2 , 2 − 2 ), (−2 − 2 , 2 + 2 ), (−4, 4), (4, −4)5 −√ 5 −√ 5 −√ 5 −√ 𝑦 = − + 2𝑥 + 3𝑥2 𝑙 𝑦 = −𝑥 + 3 (1, 1) , (1, ) , (1, − ) , (1, 0)6 −√ 6 −√ 𝑁 ( , )9 7 12 7 ( , )9 8 3 2 智赢中考·A 逆袭智学卷I