专题十 相似与位似 专项测试-【智赢中考】2025年中考数学一轮复习

1 专题十 相似与位似 第 1 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 若 ，且 ，则 的值为（ ）. A. B. C. D. 第 2 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，五边形 与五边形 是位似图形，且 ，则下列结论不正确 的是（ ）. A. 五边形 与五边形 是相似图形 B. 与 的比是 C. 五边形 与五边形 的周长比是 D. 五边形 与五边形 的面积比是 第 3 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如 图 ， 在 中 ， 如 果 ， ， ， ， ， ，图中阴影部分三个三角形周长的和为（ ）. A. B. C. D. 2 2 𝑘 = = = 𝑎 − 2𝑏 𝑐 𝑏 − 2𝑐 𝑎 𝑐 − 2𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≠ 0 𝑘−1 −1 1 2 1 − 1 2 4 1 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ 𝑂𝐴 : 𝑂 = 1 : 2𝐴′ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ 1 : 2 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ 1 : 2 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ 1 : 2 4 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 33cm 𝐵𝐶 = 27cm 𝐶𝐴 = 18cm 𝐴𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵 𝐸𝐺//𝐷𝐹//𝐵𝐶 𝐹𝑀//𝐸𝑁//𝐴𝐶 70cm 78cm 84cm 75cm 智赢中考·A 逆袭智学卷I 2 第 4 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，已知 ，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 第 5 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，点 在线段 上， 于点 ， 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）. A. B. C. D. 第 6 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，平行四边形 中， 是 上的一点，且 ，对角线 ， 交于点 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 .如果平行四边形 的面积为 ，那么， 的面积为 （ ）. A. B. C. D. 5 2 𝐴𝐵 : 𝐴𝑁 = 𝐵𝐶 : 𝑀𝑁 = 𝐴𝐶 : 𝐴𝑀 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝑀𝑁 ∠𝐵𝐴𝑁 = ∠𝐶𝐴𝑀 ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝑁𝑀 ∠𝐴𝑁𝐵 = ∠𝐵𝐴𝑀 7 3 Rt△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ 𝐴𝐶 = 6 𝐵𝐶 = 12 𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐹⊥𝐴𝐶 𝐹 𝐸𝐺⊥𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐺 𝐸𝐹 = 𝐸𝐺 𝐶𝐷 3.6 4.8 5 4 6 3 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 = 𝐴𝐷 1 3 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐸𝐶 𝐵𝐷 𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐺 𝐺𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆 △𝐺𝐸𝐹 𝑆 1 15 𝑆 1 20 𝑆 1 10 𝑆 1 30 智赢中考·A 逆袭智学卷I 3 第 7 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 四边形 位似于四边形 ，它们面积的比为 .已知位似中心 到 的距离为 ， 则 到 的距离为 . 第 8 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协 调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割.在人体躯干（由脚底至肚脐的长度） 与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 ，就越给别人一种 美的感觉.如果某女士身高为 ，躯干与身高的比为 ，为了追求美，她想利用高跟鞋达到 这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 .（精确到十分位） 第 9 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，点 是 上一 个动点，当 的和最小时， 的长为________. 第 10 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别为 ， ， 是 关于点 的位似图形，且 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 第 11 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在正三角形 中， ， ， 分别是 ， ， 上的点， ， ， ，记三角形的周长为 ，面积为 ，则 的值为 . 4 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 16：9 𝑂 𝐶 6 𝑂 𝐶1 5 4 0.618 1.58m 0.60 cm 8 5 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘ 𝐴𝐷//𝐵𝐶 𝐴𝐷 = 4 𝐴𝐵 = 5 𝐵𝐶 = 6 𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐶 + 𝑃𝐷 𝑃𝐵 9 3 𝑥𝑂𝑦 𝐴 𝐵 (3, 0) (2,−3) △𝐴𝐵′𝑂′ △𝐴𝐵𝑂 𝐴 𝑂′ (−1, 0) 𝐵′ 13 5 𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐶 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 𝐹𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 𝐶 𝑆 : 𝐶Δ𝐷𝐸𝐹 𝐶Δ𝐴𝐵𝐶 𝑆Δ𝐷𝐸𝐹 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 智赢中考·A 逆袭智学卷I 4 第 12 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图所示，正方形 的边长为 ， 分别是 上的两个动点，且始终保持 ，当 时，四边形 的面积最大？ 第 13 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在 中， ， 为 上的一点，而 ， 于点 ，连接 ，求 ． 第 14 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图， 是一块锐角三角形余料，其中 ，高 ，现在要把它裁成一块正 方形材料备用，使正方形的一边 在 上，其余两个顶点 ， 分别在 ， 上，问这块正方 形材料的边长是多少？ 第 15 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等边三角形，点 ， 分别是 、 的中点. 若 ，则下列结论错误的是（ ）. A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为 D. 四边形 面积的最小值为 16 7 𝐴𝐵𝐶𝐷 4 𝑀、𝑁 𝐵𝐶，𝐶𝐷 𝐴𝑀 ⊥ 𝑀𝑁 𝐵𝑀 = 𝐴𝐵𝐶𝑁 11 5 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 = 30∘ 𝑃 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃 𝐴𝑃 1 2 𝑃𝑄⊥𝐵𝐶 𝑄 𝐴𝑄 cos ∠𝐴𝑄𝐶 12 6 Δ𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 = 18cm 𝐴𝐷 = 12cm 𝑄𝑀 𝐵𝐶 𝑃 𝑁 𝐴𝐵 𝐴𝐶 25 9 𝐸 𝐴𝐵 △𝐴𝐷𝐸 △𝐵𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐹 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 4 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 3 3 −√ 𝑃𝐸 + 𝑃𝐹 2 3 −√ △𝐶𝐷𝐸 6 𝐴𝐵𝐶𝐷 3 3 −√ 智赢中考·A 逆袭智学卷I 5 第 16 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，在 中， ， 于点 ， 和 均为等边三角形. (1) 求证： ∽ ； (2) 若 ，求 . 第 17 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图所示，在 中， ， ，点 在 上，且 ，现有 两个动点 分别从点 和点 同时出发，其中点 以 的速度沿 向终点 移动；点 以 的速度沿 向终点 移动.过点 作 交 于点 ，连接 .设动点运动时间为 秒. (1) 用含 的代数式表示 的长度； (2) 当点 在 (不包括点 )上移动时，设 的面积为 ， 求 与时间 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； (3) 当 为何值时， 为直角三角形？ 第 18 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补 充完整. 原题：如图 ，在平行四边形 中，点 是 边的中点，点 是线段 上一点， 的延长线交 射线 于点 .若 ，求 的值. 13 4 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 𝐻 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐸 △𝐷𝐴𝐻 △𝐸𝐶𝐻 𝐴𝐻 : 𝐻𝐵 = 1 : 4 :𝑆△𝐷𝐴𝐻 𝑆△𝐸𝐶𝐻 18 7 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 = 90∘ 𝐴𝐶 = 4cm，𝐵𝐶 = 5cm 𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 = 3cm 𝑃、𝑄 𝐴 𝐵 𝑃 1cm/s 𝐴𝐶 𝐶 𝑄 1.25cm/s 𝐵𝐶 𝐶 𝑃 𝑃𝐸//𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸 𝐸𝑄 𝑥 𝑥 𝐴𝐸、𝐷𝐸 𝑄 𝐵𝐷 𝐵、𝐷 △𝐸𝐷𝑄 𝑦cm2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 △𝐸𝐷𝑄 8 4 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐷 𝐺 = 3 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐶𝐺 智赢中考·A 逆袭智学卷I 6 (1) 尝试探究： 在图 中，过点 作 交 于点 ，则 和 的数量关系是 ， 和 的数量 关系是 ， 的值是 ； (2) 类比延伸： 如图 ，在原题的条件下，若 ，则 的值是 （用含 的代数式表 示），试写出解答过程； (3) 拓展迁移： 如图 ，梯形 中， ，点 是 的延长线上一点， 和 相交于点 ，若 ， ，则 的值是 （用含 的代数式表示）. 第 19 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点. 正方形 四个顶点都是 格点， 是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示. (1) 在图 中，先将线段 绕点 顺时针旋转 ，画对应线段 ，再在 上画点 ，并连接 ，使 ； (2) 在图 中， 是 与网格线的交点，先画点 关于 的对称点 ，再在 上画点 ，并连接 ，使得 . 1 𝐸 𝐸𝐻//𝐴𝐵 𝐵𝐺 𝐻 𝐴𝐵 𝐸𝐻 𝐶𝐺 𝐸𝐻 𝐶𝐷 𝐶𝐺 2 = 𝑚(𝑚 > 0) 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐶𝐺 𝑚 3 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶//𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐹 = 𝑎 𝐴𝐵 𝐶𝐷 = 𝑏(𝑎 > 0, 𝑏 > 0) 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝑎、𝑏 16 7 8 × 6 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐷 1 𝐵𝐸 𝐵 90∘ 𝐵𝐹 𝐶𝐷 𝐺 𝐵𝐺 ∠𝐺𝐵𝐸 = 45∘ 2 𝑀 𝐵𝐸 𝑀 𝐵𝐷 𝑁 𝐵𝐷 𝐻 𝑀𝐻 ∠𝐵𝐻𝑀 = ∠𝑀𝐵𝐷 智赢中考·A 逆袭智学卷I 7 第 20 题 【知识点】排查 个 【知识跨度】 章 【难度】 如图，正方形 的边长为 ， 是 边的中点，点 在射线 上，过 作 于 ， 设 . (1) 求证： ∽ ； (2) 若以 、 、 为顶点的三角形也与 相似， 试求 的值； (3) 试求当 取何值时，以点 为圆心， 为半径的 与线段 只有一个公共点. 19 8 𝐴𝐵𝐶𝐷 4 𝐸 𝐵𝐶 𝑃 𝐴𝐷 𝑃 𝑃𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹 𝑃𝐴 = 𝑥 Δ𝑃𝐹𝐴 Δ𝐴𝐵𝐸 𝑃 𝐹 𝐸 Δ𝐴𝐵𝐸 𝑥 𝑥 𝐷 𝐷𝑃 ⊙𝐷 𝐴𝐸 智赢中考·A 逆袭智学卷I 8 参考答案 专题十 相似与位似 1. A 2. D 3. B 4. B 5. D 6. B 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 【选做】 15. A 16. (1) ∵ ， ∴ . ∴ 是直角三角形. ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∵在 和 中， ∴ ∽ . ∴ . ∵ 和 均为等边三角形， ∴ . 又∵ ， ∴ . ∵ 和 均为等边三角形， ∴ . 9 2 7.4 3 ( , −4)5 3 3 −√ 2 2 7 −√ 7 7.2cm 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 ∠𝐴𝐻𝐶 = ∠𝐶𝐻𝐵 = 90∘ △𝐴𝐻𝐶 ∠𝐴𝐶𝐻 + ∠𝐶𝐴𝐻 = 90∘ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ∠𝐴𝐶𝐻 + ∠𝐵𝐶𝐻 = 90∘ ∠𝐶𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐶𝐻 △𝐴𝐶𝐻 △𝐶𝐵𝐻 {∠𝐴𝐻𝐶 = ∠𝐶𝐻𝐵， ∠𝐶𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐶𝐻， △𝐴𝐶𝐻 △𝐶𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐸 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷, 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐸 = 60∘ 智赢中考·A 逆袭智学卷I 9 又∵ ， ∴ . 即： . 又∵ ， ∴ ∽ . (2) 17. (1) ； (2) ， (3) 或 18. (1) ； ； (2) (3) 19. (1) 在 左侧一个单位长度取格点 ，连接 ： 由网格是由小正方形组成可知， ， 且 . ∴ . ∴ ， 即有 . 即为 绕点 顺时针旋转 所得. 由全等可得 ，又 ， ∴ 是等腰直角三角形. 若能找到 中点 ，连接 ，即可得到 . ∠𝐶𝐴𝐻 = ∠𝐵𝐶𝐻 ∠𝐶𝐴𝐻 + ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐻 + ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐴𝐻 = ∠𝐸𝐶𝐻 = 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐷 𝐶𝐸 △𝐷𝐴𝐻 △𝐸𝐶𝐻 1 : 4 𝐴𝐸 = 𝑥cm 5 4 𝐸𝐷 = (5 − 𝑥)cm 5 4 𝑦 = − 𝑥 + 4 5 8 𝑥2 7 2 0 < 𝑥 < 1.6 2.5s 3.1s 𝐴𝐵 = 3𝐸𝐻 𝐶𝐺 = 2𝐸𝐻 3 2 𝑚 2 𝑎𝑏 𝐶 𝐹 𝐵𝐹 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴, 𝐹𝐶 = 𝐸𝐴 ∠𝐵𝐶𝐹 = ∠𝐵𝐴𝐸 = 90∘ △𝐵𝐶𝐹 △𝐵𝐴𝐸(SAS) ∠𝐹𝐵𝐶 = ∠𝐸𝐵𝐴 ∠𝐹𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐸𝐵𝐴 + ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐶𝐵𝐴 = 90∘ 𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝐵 90∘ 𝐵𝐹 = 𝐵𝐸 ∠𝐹𝐵𝐸  = 90∘ △𝐹𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐸𝐵𝑂 = 45∘ 智赢中考·A 逆袭智学卷I 10 在 点左侧一个单位长度取格点 ，连接 ，与 交于点 ， 由网格为正方形可知， ，且 ； ， （两直线平行，内错角相等） ∴ . ∴ ， 即为 中点， 连接 并延长交 于 ，即为所求. (2) 在点 右侧一个单位长度取网格点 ，连接 ： 找到 与网格线交点 由网格可知， 为正方形，其中 是对角线，也是对称轴， 与 关于 对称， 故 与 关于 对称， 两点关于 对称. 𝐸 𝑃 𝐶𝑃 𝐸𝐹 𝑂 𝐶𝐹//𝑃𝐸 𝐶𝐹 = 𝑃𝐸 ∠𝐶𝐹𝑂 = ∠𝑃𝐸𝑂 ∠𝐹𝐶𝑂 = ∠𝐸𝑃𝑂 △𝐶𝐹𝑂 △𝑃𝐸𝑂(ASA) 𝐸𝑂 = 𝐹𝑂 𝑂 𝐸𝐹 𝐵𝑂 𝐶𝐷 𝐺 𝐶 𝐸′ 𝐵𝐸′ 𝐵𝐸′ 𝑁 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐸 𝐸′ 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐸′ 𝐵𝐷 𝑀, 𝑁 𝐵𝐷 智赢中考·A 逆袭智学卷I 11 记 上，距离 两个单位长度的网格点为 ， 由网格均为小正方形组成，易知 ， ∴ . 连接 ，在 左侧一个单位长度取格点 ，在 右侧两个单位长度取格点 ，连接 ，交 于 由网格为小正方形组成，易知 ， ∴ ， . ∴ . ∴ . 连接 延长交 于 ， 𝐵𝐴 𝐴 𝑀 ′ 𝑀 //𝐸𝐴𝑀 ′ = = = 𝐵𝑀 𝑀𝐸 𝐵𝑀 ′ 𝐴𝑀 ′ 4 2 2 1 𝐸𝐸′ 𝐸 𝑃 𝐸′ 𝑄 𝑃𝑄 𝐸𝐸′ 𝐾 𝑃𝐸// 𝑄𝐸′ ∠𝐾 𝑄 = ∠𝐾𝐸𝑃𝐸′ ∠𝐾𝑄 = ∠𝐾𝑃𝐸𝐸′ △𝐸𝑃𝐾 ∼ △ 𝑄𝐾𝐸′ = = 𝐾𝐸′ 𝐸𝐾 𝑄𝐸′ 𝐸𝑃 2 1 𝑀𝐾 𝐵𝐷 𝐻 智赢中考·A 逆袭智学卷I 12 ∵ , ∴ ， 又 是公共角， ∴ . ∴ ， ∴ . ∴ (两直线平行，内错角相等) 又 与 关于 对称， 有 ， ∴ ， 即为所求. 20. (1) ∵ ， ∴ ， 又∵正方形 中， ， ∴ . ∵在正方形 中， ， ∴ ， ∴ ∽ . (2) 或 (3) 或 或 = = 𝐾𝐸′ 𝐸𝐾 𝐵𝑀 𝑀𝐸 2 1 = = = 𝐸𝐾 𝐸𝐸′ 𝐸𝑀 𝐸𝐵 1 1 + 2 1 3 ∠𝐵𝐸𝐸′ △𝐸𝑀𝐾 ∼ △𝐸𝐵𝐸′ ∠𝐸𝑀𝐾 = 𝐸𝐵𝐸′ 𝑀𝐾//𝐵𝐸′ ∠𝑀𝐻𝐵 = ∠𝐻𝐵𝐸′ 𝐵𝐸 𝐵𝐸′ 𝐵𝐷 ∠𝐻𝐵 = ∠𝐻𝐵𝑀𝐸′ ∠𝑀𝐻𝐵 = ∠𝐻𝐵𝑀 𝐻 𝑃𝐹⊥𝐴𝐸 ∠𝑃𝐹𝐴 = 90∘ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 = 90∘ ∠𝑃𝐹𝐴 = ∠𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷//𝐵𝐶 ∠𝑃𝐴𝐹 = ∠𝐴𝐸𝐵 Δ𝑃𝐹𝐴 Δ𝐴𝐵𝐸 𝑥 = 2 𝑥 = 5 𝑥 = 4 − 8 5 −√ 5 𝑥 = + 4 8 5 −√ 5 8 < 𝑥 ⩽ 2 + 45 −√ 智赢中考·A 逆袭智学卷I