精品解析：浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

2024学年储能学校丽园校区八年级数学 暑假综合素养评价 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小给出的四个选项中，只有一项符合目要求） 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，7，12 C. 6，7，14 D. 3，3，8 3. 下列命题中是真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 全等三角形的对应边相等 D. 如果，那么 4 如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定 6. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 10. 已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 6个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______． 12. 写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题______． 13. 在中，，，则______． 14. 如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是________． 15. 如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______（把正确结论的序号填写在横线上）． 16. 如图，______度． 三、解答题（本题有8小题，共52分） 17. 解不等式，并把解表示在数轴上． 18. 如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． （1）在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． （2）在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 19. 如图，中，，垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 20. 如图，在中，，，试说明的理由． 解：，（已知） ____________________．（____________________） （已知）， ，（等式性质） ．（____________________） 在与中 ， （____________________） ，（____________________） 又， ．（____________________） 21. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 22. 如图，在中，已知点在线段反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 23. （1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线经过点A，且B，C两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点D、E．问：、和的数量关系． （2）模型的迁移：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B、C两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明． 24. 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，其最小内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年储能学校丽园校区八年级数学 暑假综合素养评价 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小给出的四个选项中，只有一项符合目要求） 1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，7，12 C. 6，7，14 D. 3，3，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列命题中是真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 全等三角形的对应边相等 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，对顶角相等，平行线的判定，全等三角形的性质，绝对值的定义，根据相关知识点逐个判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A为假命题，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B为假命题，不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，故C为真命题，符合题意； D、如果，那么且，故D为假命题，不符合题； 故选：C． 4. 如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质；由可知，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】由题意得： ∵ ∴ 故选：D． 5. 如图， 是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】过P点作于E点，根据角平分线的性质即可得解． 本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】如图，过P点作于E点， ∵是的角平分线，P为上任意一点，，， ， ， ， ∴点P到射线的距离是3， 故选：C． 6. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．空调在墙上的固定方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有B选项符合． 故选B． 8. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和求出的度数，进而得到的度数．再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故选：C． 10. 已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先确定出最短边的长度是解题的关键． 根据边长为6的情况确定出该三角形的最短边的长度，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解． 【详解】解：根据题意，∵三角形的三边长均为整数， ∴该三角形的最短边可以是1、2、3、4、5， 当最短边为1时，无法满足条件三角形， 当最短边为2时，最长边，即最长边，所以最长边为7， 当最短边为3时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8， 当最短边为4时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9， 当最短边为5时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9，10 满足条件的三角形共有． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超过用“”列不等式即可． 【详解】解：由题意得 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 12. 写出命题“直角三角形只有两个锐角”逆命题______． 【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换位置，则为逆命题，即可作答． 【详解】解：∵命题“直角三角形只有两个锐角” ∴逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形． 故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形． 13. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和可得，再由，，进而得到度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 15. 如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______（把正确结论的序号填写在横线上）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合要求； ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∴，①正确，故符合要求； ∵，， ∴，④正确，故符合要求； 综上：正确的有①②③④，共4个， 故答案为：①②③④． 16. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共52分） 17. 解不等式，并把解表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求解该不等式，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ； 在数轴上表示如图所示： 18. 如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． （1）在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． （2）在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型； （1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：如图即为所求． 19. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：的周长 ， ，， 的周长． 20. 如图，在中，，，试说明的理由． 解：，（已知） ____________________．（____________________） （已知）， ，（等式性质） ．（____________________） 在与中 ， （____________________） ，（____________________） 又， ．（____________________） 【答案】；等边对等角；等角对等边; ；全等三角形的对应角相等；三线合一 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边对顶角．根据题意补充证明过程，即可求解． 【详解】解：，（已知） ．（等边对等角） （已知）， ，（等式性质） ．（等角对等边） 在与中 ， （） ，（全等三角形的对应角相等） 又， （三线合一）． 故答案为：；等边对等角；等角对等边; ；全等三角形的对应角相等；三线合一． 21. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 【答案】（1）10m （2）20m 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． （2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 C，A，D三点共线， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求周长． 【答案】（1）见解析； （2）32． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【小问1详解】 证明：， ，， 平分， ， ， ． 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中 ≌． ． ， ． ． 的周长． 23. （1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线经过点A，且B，C两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点D、E．问：、和的数量关系． （2）模型迁移：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B、C两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论； （2）仿照（1）的方法证明； 本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：（1）， 理由如下：，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）， 证明如下：， ， 直线， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 24. 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． （1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． （3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的度数为或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求： 【小问2详解】 如图即为所求： 【小问3详解】 当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$