精品解析：宁夏回族自治区银川一中2024届高三上学期第一次月考（8月）理科数学试题

银川一中2024届高三年级第一次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. i C. 1 D. 3. 如图，可以表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. . 6. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分) 13. 已知，，则______． 14. 已知，满足，则的取值范围是_________． 15. 若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 16. 已知函数，则不等式的解集为______________． 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题：(共60分) 17. 命题：任意，成立；命题：存在，+成立. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）已知，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． 20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求函数的极值. 21. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. (二)选考题(共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.) [选修4－4：坐标系与参数方程] 22. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． [选修4—5：不等式选讲] 23. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2024届高三年级第一次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解. 【详解】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. i C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法，共轭复数的定义，结合已知条件求出复数，然后得出结果. 【详解】设，为虚数单位， 则， 因为， 所以 即， 即， 即， 所以复数， 所以复数的虚部是1. 故选：C. 3. 如图，可以表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念判断 【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求 故选：D 4. 已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析. 【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件， 如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误； 对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ， 如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误； 对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确. 故选：D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域、复合函数的单调性以及一元二次不等式进行求解. 【详解】由有：，解得或， 根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有： 函数的单调递增区间为：，故A，B，D错误. 故选：C. 6. 设，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性及中间值比大小. 【详解】因为，，在定义域上单调递减， 故，，， 所以. 故选：A 7. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果. 【详解】由图象可知：，. 故选：C. 8. 若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 9. 已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 10. 已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围. 【详解】对任意的实数，都有,即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故选：C 11. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 12. 已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为，然后构造，得到，从而求得的取值范围. 【详解】根据题意，不妨取，则可转化为， 即. 令，则对任意，，且， 都有， 所以在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立. 令，，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是， 故选:A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分) 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可. 【详解】由题设，则且， 所以，即，故. 故答案为： 14. 已知，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解. 【详解】若，则，故， 由可得， 当，则，故， 由可得， 当时，则不符合要求， 综上可知：的取值范围为 故答案为： 15. 若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 【答案】3 【解析】 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】∵函数， 由复合函数的单调性知， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意， 故实数. 故答案为：3 16. 已知函数，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案. 【详解】令，定义域为R， 且， 所以为奇函数， 变形为， 即， 其，当且仅当，即时，等号成立， 所以在R上单调递增， 所以，解得：， 所以解集为. 故答案为： 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题：(共60分) 17. 命题：任意，成立；命题：存在，+成立. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【小问1详解】 由q真：，得或， 所以q假：； 【小问2详解】 p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出参数值，再检验即可； （2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可． 【小问1详解】 函数的定义域为，又因为是奇函数， 则，解得； 经检验，故成立； 【小问2详解】 因为 对任意，有 所以在上单调递增 又，所以 解得 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． 【答案】（1） （2）在上是减函数． 【解析】 【分析】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可； （2）令，求出，根据、可得使，可得、时的单调性，从而得解. 【小问1详解】 ， ∴，又， ∴曲线在点处的切线方程是， 即； 【小问2详解】 令， 则在上递减，且，， ∴，使，即， 当时，，当时，， ∴在上递增，在上递减， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故， ∴在上是减函数． 【点睛】方法点睛：判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那么原函数就是单调减的，而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点. 20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求函数的极值. 【答案】（1） 若，的递减区间为，递增区间为. 若，的递减区间为，递增区间为. （2），. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论和，即可根据导函数的单调性即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性求解极值点. 【小问1详解】 ， 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 21. 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出； （2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围； （3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 所以求实数的范围为. 【小问3详解】 方程化为， 化为，且. 令，则方程化为. 作出的函数图象 因为方程有三个不同的实数解， 所以有两个根， 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设， 记， 根据二次函数的图象与性质可得 ，或， 解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况. (二)选考题(共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.) [选修4－4：坐标系与参数方程] 22. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． 【答案】（1），，； （2）2. 【解析】 【分析】（1）求出曲线的直角坐标方程，再化成极坐标方程；与曲线方程联立求出交点的极径. （2）把曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，与曲线的极坐标方程联立求出点的极坐标即可. 【小问1详解】 曲线的直角坐标方程为，即， 将，代入并化简得的极坐标方程为，， 由消去，并整理得，解得或， 所以所求异于极点的交点的极径为. 【小问2详解】 由消去参数得曲线的普通方程为， 因此曲线的极坐标方程为和， 由和得曲线与曲线两交点的极坐标为， 所以为极点. [选修4—5：不等式选讲] 23. 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解； （2）根据绝对值三角不等式即可利用最值求解. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，不等式为解得， 当时，不等式为解得， 当时，不等式为解得， 综上可得：， 不等式的解集为. 【小问2详解】 恒成立， ， 当且仅当时等号成立， ， 或， ， m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $