精品解析：安徽省蚌埠第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2023级高二年级第一学期开学测试数学试卷 命题人：蒋银昌 审题人：王琦 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法直接求出z. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解. 【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 画对应的轴，轴，使，如下图所示， 结合图形，的面积为， 作，垂足为， 则，， 所以的面积， 即原图和直观图面积之间的关系为， 所以，的面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题. 3. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若且，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，又， 当，则与平行或相交或异面， 当，则与平行或异面，故B错误； 对于C：若，，则或，又，所以或与相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：若，则或，又，所以，故D正确. 故选：D 4. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 5. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可. 【详解】A中，因为，所以， 又，所以，即只有一解，故A错误； B中，因为，所以， 且，所以，故有两解，故B错误； C中，因，所以， 又，所以角B只有一解，故C正确； D中，因为,,，所以，有解，故D正确. 故选：C. 6. 已知圆锥的顶点为，侧面面积为，母线长为为底面圆心，为底面圆上的两点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面半径为，根据圆锥的侧面积求出，取、、的中点、、，连接、、、，即可得到为直线与所成角（或补角），最后由余弦定理计算可得. 【详解】设底面半径为，又母线长为，侧面面积为， 所以，即，解得， 则， 取、、的中点、、，连接、、、， 则且、且，， 所以为直线与所成角（或补角），又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 7. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题. 【详解】，则，显然，， ①若即时，在单调增，， 作函数的图象， 当时，与有两个交点，所以此时有两个满足要求； ②若即时，满足要求， 综上知满足条件的共有3个. 故选：C 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角恒等变换化简得，得，代入化简得，结合基本不等式求最小值. 【详解】，得， 即， 中，，由，则，，所以， ， 由正弦定理， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是的一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，令，，解得，，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误； B选项：令，，解得，，即函数的单调递增区间为，，又，，B选项正确； C选项：由，向右平移可得，C选项正确； D选项：，即， 设，则， 即函数与函数在上有两个交点， 做出函数图像，如图所示， 所以可得，解得，D选项错误； 故选：BC. 10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得，即为定点A到x轴上的动点的距离，进而分析可得，结合数量积运算求解. 【详解】不妨设， 则，即为定点A到x轴上的动点的距离， 显然当轴时，取到最小值， 若对任意，恒有， 则，可得，故B正确，D错误； ∵， 可得，故A错误，C正确； 故选：BC. 11. 如图，若正方体的棱长为2，线段上有两个动点.则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面的夹角的余弦值为 B. 当与重合时，异面直线与所成角为 C. 平面平面 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合中位线，勾股定理，可计算和证明各选项，并加以判断. 【详解】 对于A，在正方体中，有平面， 所以直线与平面所成的角就是，且， 又由正方体的棱长为2，所以， 则，故A正确； 对于B，当与重合时，由于，可知此时为的中点， 如上图，连接，在正方体中， 易由且可得：四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角就是或其补角， 由于平面，平面，所以， 则又因为 所以，因为， 所以，故B错误； 对于C，在正方体中，易由且可得： 四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 而平面与平面共面，所以平面平面，故C正确； 对于D，由于平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 同理可证明：，又因为，平面， 所以平面，而平面与平面共面，则平面，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式，结合齐次式可得解. 【详解】由已知， 故答案为：. 13. 已知三棱台的体积为，记上底面、下底面的面积分别为，若，则三棱锥的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设三棱台的高为，由三棱台的体积为求出，再求三棱锥的体积，结合可得答案. 【详解】设三棱台的高为， 所以三棱台的体积为， 可得， 所以三棱锥的体积为， 因为， 所以. 故答案为：. 14. 中，，延长线段至，使得，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别在与中用正弦定理，可得，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值. 【详解】如图所示， 设， 在中， 由，则， 再由正弦定理得， 即，则， 又在中，由正弦定理得， 即，即， 所以， 又，即，， 设， 则， 所以当时，取得最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可； （2）根据向量夹角公式直接计算即可. 【小问1详解】 由已知， 则，解得； 【小问2详解】 由已知， 且， 所以. 16. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在上的值域. （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，可得，根据三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解； （3）根据三角函数的图象变换，求得，求得函数的单调递减区间，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：根据函数的部分图像， 可得，所以， 再根据五点法作图，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. 【小问2详解】 解：因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值琙为. 【小问3详解】 解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 【答案】 （1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论； （2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论. 【详解】（1）略 （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得，， 在等腰直角三角形中，， 在中，， 三棱锥的体积为. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题. 18. 如图，的内角的对边分别为，已知，为线段上一点，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式得到，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）设，，在、中利用正弦定理得到，即可求出. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又，所以，所以， 即， 又，所以，则. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 即 ， 解得，当且仅当即、时等号成立. 故，当且仅当即、时等号成立. 所以面积的最大值为． 【小问3详解】 设，，则，， 在中由正弦定理，即， 在中由正弦定理，即， 所以， 即， 即， 又，则， 即，解得， 即. 19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且. （1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值； （2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，在直角三角形求解即可； （2）根据数形结合和弧长公式求解即可. 【小问1详解】 两两垂直，， 平面，平面， ， 过点作于，连接，则 又平面，，又平面，， 所以平面，又平面，所以， 即为的平面角， 在中，， 所以二面角的余弦值. 【小问2详解】 ，， 所以以为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧， ①平面与球面相交所成的弧是以为圆心， 为半径的圆弧； ②平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，8为半径的弧， ，，又为锐角， 所以，所对圆心角，所以； ③由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与②情况相同，长度也为； ④， 所以为等边三角形，， 点到的距离等于， 所以平面与球面相交得到弧长， 交线长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级第一学期开学测试数学试卷 命题人：蒋银昌 审题人：王琦 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，有一解 D. ，，，无解 6. 已知圆锥的顶点为，侧面面积为，母线长为为底面圆心，为底面圆上的两点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是的一个对称中心 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则 10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，若正方体的棱长为2，线段上有两个动点.则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面的夹角的余弦值为 B. 当与重合时，异面直线与所成角为 C. 平面平面 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 已知三棱台的体积为，记上底面、下底面的面积分别为，若，则三棱锥的体积为____________． 14. 中，，延长线段至，使得，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）若，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 16. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在上的值域. （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 18. 如图，的内角的对边分别为，已知，为线段上一点，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求． 19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且. （1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值； （2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $