13.1.2　定理与证明　课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

华师大版数学八年级上册 13.1.2 定理与证明 1、正确理解公理和定理的含义以及它们与命题之间的相互联系与区别。 2、会区分公理和定理的题设和结论，把一个命题写成“如果......那么...... 3、体会命题证明的必要性，了解证明的步骤和格式。 教学目标 问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式. 问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例 复习回顾 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明: （1）两个锐角的和等于直角; （2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等. 解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角， 但50°＋20°＝70°≠ 90°． （2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，∠EMB≠∠END ． （1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 回忆一下，我们学过哪些真命题？ 这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实. 新知讲解 基本事实： 公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点． 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 基本事实、定理、真命题之间的联系与区别： 命题 真命题 定理 从基本事实或其他真命题出发 可以作为进一步判断其他命题真假的依据 基本事实与定理的联系与区别： 定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据， 它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证； 定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的. 1、下列关于基本事实和定理的联系的说法，不正确的是（ ） A.基本事实和定理都是真命题 B.基本事实就是定理，定理就是基本事实 C.基本事实和定理都可以作为推理的依据 D.基本事实的正确性不需要证明，定理的正确性需要证明 B 巩固练习 2、下列命题可以作为定理的有（ ） ①两直线平行，同旁内角互补 ②相等的角是对顶角 ③等角的补角相等 ④垂线段最短 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C （1）一位同学在钻研数学题时发现: 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？ 2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ 新知讲解 （2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 证明： 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等． 证明的依据： A C 例1、已知:如图，在△ABC中，∠C= 90°. 求证:∠A+∠B= 90°. 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角 和等于180°) , 又∵∠C=90°(已知)， ∴∠A+∠B=180°-∠C =90°(等式的性质). B 典例讲解 证明的一般步骤是： ①审清题意，找出命题中的条件和结论; ②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形; ③用数学语言写出“已知”“求证”; ④找出证明思路; ⑤写出证明过程，每一步都要有理有据; ⑥检查表达过程是否正确、完整． 新知讲解 例2、求证: 平行线的内错角的平分线互相平行． 解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC． 求证: EM ∥FN ． 证明:∵AB∥CD (已知)， ∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)． ∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)， ∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)． 典例讲解 3.如图，已知 AB⊥MN，CD⊥MN ，垂足分别为点 E、F，直线 PQ 分别交 AB、CD 于点 S、T. 求证: ∠AST = ∠STD. 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明 AB ⊥ MN，CD ⊥ MN (已知)， ∴AB∥CD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)， __________________________________________________________________________________________________ ∵AB 和 CD 被 PQ 所截, ∴∠AST ＝∠STD (两直线平行,内错角相等)． 巩固练习 定理与证明 基本事实 定理 定义 常见的几条基本事实 证明 定义 与基本事实的区别 定义 证明的一般步骤 课堂总结 把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题（1）所示的定理: （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的外角和等于 360°. 随堂练习 解: （1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行． 条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”． 已知: 如图，直线 AB、CD 和直线 EF 交于点G、H ，∠BGH ＋ ∠GHD ＝ 180°，求证: AB∥CD ． 证明: ∵ ∠BGH＋∠GHD ＝180°，∠1＋ ∠BGH ＝180°, ∴∠1＝∠GHD (等角的补角相等)， ∴AB ∥CD (同位角相等，两直线平行) （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的外角和等于 360°. 已知:如图，△ABC 中，∠DAC，∠EBA ，∠BCF 为△ABC 的外角． 求证:∠DAC ＋ ∠EBA ＋∠BCF＝360°． 证明:由题意，可得 ∠BAC＋∠CAD ＝180°， ∠ABC＋∠EBA ＝180°，∠BCA ＋∠BCF＝180°， ∴∠BAC ＋ ∠CAD ＋ ∠ABC ＋ ∠EBA ＋ ∠BCA ＋ ∠BCF＝540°． 由三角形内角和定理知∠BAC ＋ ∠ABC ＋∠ACB＝180°， ∴∠DAC＋∠EBA ＋∠FCB＝ 540°－180°＝ 360°． 即三角形外角和等于 360°． 课程结束 $$