精品解析：湖北省襄阳市第五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

襄阳五中2026届高二上学期新起点考试 数学试卷 命题人：闫小东 审题人：杨青林 考试时间：2024年8月29日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 4. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 5. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 这30名学生测试得分的中位数为6 B. 这30名学生测试得分的众数与中位数相等 C. 这30名学生测试得分的极差为8 D. 这30名学生测试得分的平均数比中位数大 10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______. 13. 抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________. 14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 17. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段AB上，点在线段DC上． （1）当，且点关于轴的对称点为时，求； （2）当点是面对角线AB的中点，点在面对角线DC上运动时，探究的最小值． 18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . （1）求 和 的值； （2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值； （3）表面经过连续变形可以变为球面多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄阳五中2026届高二上学期新起点考试 数学试卷 命题人：闫小东 审题人：杨青林 考试时间：2024年8月29日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以 即，所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与不共线，所以由空间向量共面定理可知存在实数，使，然后将坐标代入化简可求出的值. 【详解】因为 所以与不共线， 所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：B 3. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 4. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD. 【详解】由题意样本空间， ，，，， 对于A：由古典概率概率公式可知，，， 则，故与为相互独立事件，正确； 对于C：，，，则， 故与不是相互独立事件，错误； 对于B：当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时， 事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误； 对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误. 故选：A 5. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造,则由余弦定理有，设，再由正弦定理可得出答案. 【详解】构造，设角所对的边分别为, 设 由余弦定理可得,即 所以，由正弦定理可得 即 所以 故选：C 6. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得，又三点共线，可得，则，利用向量的线性运算可得，进而表示出，计算即可. 【详解】在中，因为，所以，， 所以， 即， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又，，， 则 . 故选：C. 7. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合向量可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得， 且，则， 又因为，则， 可得， 则， 因为，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：C． 8. 排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为．则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按第一球发球方进行分类，第二球必是甲胜列式计算即得. 【详解】甲乙获得发第一个球的概率均为，由甲获得第三个球的发球权，得第二球甲必胜， 当甲发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况，概率为， 当乙发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况，概率为， 所以甲队获得第三个球的发球权的概率为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 这30名学生测试得分的中位数为6 B. 这30名学生测试得分的众数与中位数相等 C. 这30名学生测试得分的极差为8 D. 这30名学生测试得分的平均数比中位数大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的定义，分别求出对应的值即可得到答案. 【详解】这30名学生测试得分的中位数为，故A错误； 这30名学生测试得分的众数为5，故B错误； 分数最高为10，最低为3，所以极差为7，故C错误； 这30名学生测试得分的平均数为: ，故D正确. 故选：ABC. 10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用列举法写出随机取出个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下， ， 事件对应的基本事件有，所以，故A正确； 事件对应的基本事件有，所以， 事件对应的基本事件有 ，所以，又，故D错误； 其中对应的基本事件有，所以，故B正确； 对应的基本事件有，所以，故C 错误. 故选：AB 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存在，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到并判断D. 【详解】对于A，当时，是的中点，而是的中点，则， 而平面，平面，于是平面，A正确； 对于B，当，即点与重合时，由平面，平面， 则，又平面，则平面， 而平面，于是，又，则，同理， 又平面，因此平面，B错误； 对于C，显然，而平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，直线与直线和分别交于点，则，， 而有，， 当时，有，， 则，， 从而，， 当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合， ，亦成立， 则，，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】依据对称关系求出点坐标，后利用两点间距离公式求解即可. 【详解】由题意知点关于平面的对称点，由两点间距离公式知 故答案为： 13. 抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法、结合古典概率计算即得. 【详解】抛两枚骰子，所有的情况有36种，由x，y，3构成三角形的三边长，得， 当，有5种情况：； 当（的情况只需与互换即可，即两种情况相同）时， 若；若，；若，；若，；若，， 因此符合条件的共有（种）情况， 所以所求概率为. 故答案为： 14. 如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中由面积公式可得，由余弦定理得和，由得，所以四边形的面积为；设，在中由余弦定理得和，由正弦定理得，由和余弦定理得，根据的范围可得答案. 【详解】在中，，，， 所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为； 设，在中， 由余弦定理得， 因为，所以， 由正弦定理得， 所以，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以，所以当即时， 取最大值为1，此时， 综上所述，的最大值为5. 【点睛】关键点点睛：本题考查了正余弦定理的应用及三角形面积的应用，解题的关键是利用余弦定理结合三角恒等变换，利用正弦函数的性质求解的最大值，属于较难题目. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 16. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【小问1详解】 根据分层抽样知：应抽取小吃类家； 【小问2详解】 ①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元． ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 17. 如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段AB上，点在线段DC上． （1）当，且点关于轴的对称点为时，求； （2）当点是面对角线AB的中点，点在面对角线DC上运动时，探究的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由求得，得到与的坐标，再利用两点距离公式求解即可； （2）由中点坐标公式求得，再根据题意设点，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求的最小值. 【小问1详解】 由题意知，，，． 由得，，故，所以，所以． 【小问2详解】 因为点是面对角线AB的中点，所以，而点在面对角线DC上运动，故设点，， 则，， 所以当时，取得最小值，此时点． 18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . （1）求 和 的值； （2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由事件的相互独立性及互斥事件的概率公式列方程组求解； (2)根据独立事件乘法公式及互斥事件的求和公式结合条件即得． 【小问1详解】 解：设事件 “雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”， “雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”， 由于每场比赛结果互不影响，所以 ， ， 由题意可得 ，即，解得或， 因为 ，所以 ． 【小问2详解】 设事件 “‘雅思组合’胜‘肉丁组合’ 场”， 事件 “‘凤凰组合’胜‘肉丁组合’ 场”，， 事件 “‘雅思组合’比‘凤凰组合’战胜‘肉丁组合’的次数多” 所以 ， ， 所以 ， 所以“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率 ． 19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值； （3）表面经过连续变形可以变为球面多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，，再由点的曲率可求出，则为等边三角形，所以，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）取的中点，连接，则平面，所以，，则平面，所以可得为二面角的平面角，在中可求得结果； （3）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，设第号（）多边形有条边，表示出多面体的所有的棱和顶点，及所有多边形的内角之和为，从而可表示出总曲率，化简可得结果. 【小问1详解】 证明：因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 所以点的曲率为，得， 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，则， 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以中，， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 证明：设多面体有个面，给组成多面体多边形编号，分别为号， 设第号（）多边形有条边， 则多面体共有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形的内角之和为， 所以所有多边形的内角之和为， 所以多面体的总曲率为 所以简单多面体的总曲率为. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查新概念曲率，解题的关键是对多面体曲率的正确理解，考查推理能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$