精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期开学测试 数学试题 命题人：杨立雅 审题人：龚宏伟 一、单选题 1. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 4 2. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与平行，则实数的值是 A. -1或3 B. -1 C. -3或1 D. 3 5. 已知，，是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题 ①，，； ②，，； ③，，； ④，. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 已知为虚数单位，则（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，则的充要条件是 C. 若复数，则， D. 若复数，则 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 11. 中，角，，所对的边为，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 12. 阳马和鳖臑［biē nào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（ ） A. 鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B. 鳖臑的外接球半径为 C. 鳖臑的体积为正方体的 D. 鳖臑内切球半径为 三、填空题 13. 正方形的边长是是的中点，则__________. 14. 若，则________． 15. 已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________. 16. 在三棱锥中，是等边三角形，平面，，，是的中点，球为三棱锥的外接球，是球上的一点，则三棱锥体积的最大值是______. 四、解答题 17. 已知点，，，设，． （1）求，夹角的余弦值． （2）若向量，垂直，求的值． （3）若向量，平行，求的值． 18. 某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了100名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 19. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 20. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 21. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 22. 作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打个球甲赢的概率； （2）求该局打个球结束的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期开学测试 数学试题 命题人：杨立雅 审题人：龚宏伟 一、单选题 1. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形与间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过引轴，由正弦定理可得答案. 【详解】如图所示，过引轴，交轴于点，则长度的两倍即为所求， 在中，，即， 解得，即原图形与间的距离为. 故选：C． 2. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可得的定义域为，进而可求解. 【详解】的定义域为，所以， 因此的定义域为，所以的定义域满足 ，即 故选：B 4. 直线与平行，则实数的值是 A. -1或3 B. -1 C. -3或1 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由两条直线平行的充要条件得到 ∴ 当时两条直线重合，舍去 ∴ 故选D 点睛:本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）,需检验不重合；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 5. 已知，，是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模、数量积的运算律及共线向量直接判断各个选项即可. 【详解】对于A，，而与的方向不确定，不一定有，A错误； 对于B，由，得，即，则，B正确； 对于C，，当时，也成立，C错误； 对于D，，当与的方向相反时，，D错误. 故选：B 6. 已知是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题 ①，，； ②，，； ③，，； ④，. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中直线、平面间的位置关系逐项判断即可. 【详解】①若，，，则直线没有交点，异面或，故①不正确； ②若，，，当均与，的交线平行时，可得，故②不正确； ③若，，则，又，则，故③正确； ④若，，则或，故④不正确. 其中正确命题的个数为. 故选：B. 7. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为. 因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 二、多选题 8. 已知为虚数单位，则（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，则的充要条件是 C. 若复数，则， D. 若复数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D. 【详解】设，则，，故A正确； 由，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误； 复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，故C正确； ，则，故D正确. 故选：ACD． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D． 【详解】由题意，得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，，则，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，两条直线平行时，两条直线的斜率相等，求值即可；对于选项B，举出直线，判断即可；对于选项C，举出直线，判断即可；对于选项D，先判断直线过定点，再利用斜率公式结合图象求实数k的范围即可. 【详解】对于A，若两条直线与互相平行， 其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为， 得，解得或， 舍去，此时两条直线与重合， 故实数a的值为，选项A正确； 对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误； 对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误； 对于D，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 结合图象，若直线与线段相交，可得或， 选项D正确． 故选：BC. 11. 中，角，，所对的边为，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由化简得，可判断A选项；由化简得，可判断B选项；根据余弦函数的性质可判断C选项；利用余弦定理可得，再结合基本不等式，取特殊值求得的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，利用正弦定理可得，因为在中，，，则，，和若为0，则不符合题意，整理得，即，是等腰三角形，故A选项正确； 对于B选项，利用正弦定理得，整理得，即，一定是等边三角形，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，故C选项正确； 对于D选项，，由余弦定理可得， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，即角可以大于，故D选项不正确. 故选：ABC. 12. 阳马和鳖臑［biē nào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（ ） A. 鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B. 鳖臑的外接球半径为 C. 鳖臑的体积为正方体的 D. 鳖臑内切球半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果. 【详解】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误； 对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体， 又易知，正方体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为，所以选项B正确； 对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知面, 所以， 又正方体的体积为，故鳖臑的体积为正方体的，所以选项C错误； 对于选项D，设鳖臑内切球半径为，由选项C知，鳖臑的体积， 则， 又，所以，所以选项D正确. 故选：BD 三、填空题 13. 正方形的边长是是的中点，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】由题意，，， 则，， 所以 . 故答案为：3. 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 15. 已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为6，根据方差列出方程，求出. 【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6， 去掉6后方差变为24，故得到，解得： 故答案为：8 16. 在三棱锥中，是等边三角形，平面，，，是的中点，球为三棱锥的外接球，是球上的一点，则三棱锥体积的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由三棱锥的特征及条件确定球心O的位置，再计算球半径，结合球的特征及棱锥的体积公式计算即可得最值. 【详解】在正中，为的中点，则， 又平面，平面，则， 又，、平面，则平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，则， 所以的中点到点，，的距离相等， 即三棱锥外接球的球心为的中点. 设球的半径为，则，所以， 因为外接圆的圆心为的中点，设为，连接， 因为，分别为，的中点，则，故平面， 如图.则有，即到平面的距离为， 因此到平面距离的最大值为， 又， 所以三棱锥体积的最大值是. 四、解答题 17. 已知点，，，设，． （1）求，夹角的余弦值． （2）若向量，垂直，求的值． （3）若向量，平行，求的值． 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值. （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. （3）利用共线向量定理可求参数的值. 【小问1详解】 ，， 故. 【小问2详解】 由（1）可得 ，， 因为向量，垂直，故， 整理得到：，故或. 【小问3详解】 由（1）可得不共线，故，均不为零向量， 若向量，平行，则存在非零常数，使得， 整理得到：， 因为不共线，故，故或， 故. 18. 某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了100名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为求解即可； （2）先判断中位数所在区间，再利用中位数的定义列式求解即可； （3）先利用分层抽样确定男女生人数，再利用列举法与古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 依题意，得，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在间，设为， 则，解得. 【小问3详解】 依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为， 按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，依次分别记为， 对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件， 设“前2人均为男生”为事件A，其包含的基本事件有：，，，共3个， 所以． 19. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 20. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，再根据余弦定理求得，再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解. 【小问1详解】 ，∴由正弦定理得：， ，∴， ∴，即， ，∴， ∴， 【小问2详解】 ， ， 在中，由余弦定理得 ，所以， 设的中点为，则 ， 两边同时平方得： = 所以 ，所以. 21. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 22. 作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打个球甲赢的概率； （2）求该局打个球结束的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； （2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率． 【小问1详解】 设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题知，，，∴， ∴， ∴该局打4个球甲赢的概率为． 【小问2详解】 设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件， ，，， ∴ ， ， ∴， ∴该局打5个球结束的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $