精品解析：广西南宁市第二中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题

南宁二中2023-2024学年度上学期高二期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案. 【详解】因为，所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的共轭复数，属于基础题. 2. 在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】各项均为正数的等比数列知，， 故， 则故. 故选：A 3. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系. 【详解】 若平面向量，，则等价于， 又因为，所以， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 4. 圆上到直线的距离等于1的点有 A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意． 【详解】由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3， 则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2， ∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意， ∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个． 故选B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题． 5. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包，已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别，，，若这三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响，则这三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式得到三人抢到的红包都没有超过1元的概率，再根据对立事件概率求法即可求解.. 【详解】解：因为三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响， 故三人抢到的红包都没有超过1元的概率为， 即三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为. 故选：A. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的范围，求出，进而根据计算即可. 【详解】 故选：A 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 8. 我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可. 【详解】 设圆柱的高为， 则，故 设圆柱的外接球半径为，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值. 故选：C 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线：，：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同 【答案】BC 【解析】 【分析】将曲线，化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可． 【详解】曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆， 其中，所以，离心率为， 故曲线的长轴长，故A错误； 曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的双曲线， 其中，所以，离心率为， 的渐近线方程为，即，故B正确； ，所以与的离心率互为倒数，故C正确； 的焦点在轴上，的焦点在轴上，焦点位置不同，故D错误． 故选：BC. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案. 【详解】，，由于， 所以，所以A选项正确，B选项错误. ， 当时，得，所以关于对称，C选项正确， ， 当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 12. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知点在抛物线上，则A到的准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】先把代入抛物线，求出，从而得到准线方程，求出A到的准线的距离. 【详解】将代入得，，解得， 所以抛物线方程为，准线方程为， 故A到的准线的距离为. 故答案为： 14. 正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为3，高为1，则其体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正棱台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，正四棱台的体积. 故答案为： 15. 等差数列、的前项和分别为和，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得出，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为和， 则， 所以，. 故答案为：. 16. 已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由以及点在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】设 由可知， 又点在直线上， 所以， 解得， 所以，轴， 于是根据抛物线的定义可知，且， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 【答案】（1）； （2），最大值为16 【解析】 【分析】（1）设出公差，由题设列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差即可得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则，解得， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）， 故当时，取得最大值，最大值为16. 18. 如图，在四边形ABCD中，，，. （1）求的大小； （2）若，，求AD的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）在△ABC中，利用三角形的面积得AB＝BC，由，进而利用三角形内角和得∠ACB； （2）由（1）与已知可求∠ACD＝，在△ABC中，由余弦定理可得AC，在△ACD中，由正弦定理可得AD． 【详解】（1）在△ABC中，S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，得sin＝， ∴，∴AB＝BC，又∵，∴∠ACB； （2）∵BC⊥CD，由（1）得∠ACD，在△ABC中， 由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos＝（）2+（）2﹣2×＝9， ∴AC＝3，∴在△ACD中，由正弦定理可得：AD＝＝＝． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数. （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴500名志愿者中年龄在的人数为人. 【小问2详解】 因为，， 所以第百分位数在区间内，若该数为， ∴，解得. 【小问3详解】 由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 20. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率. 21. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．，是棱上的动点（除端点外），分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的最大角为30°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为平面，平面 所以平面， 又因为，为中点， 所以， 因为平面，平面 所以平面， 因为，MN、平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，先明平面平面，再证明结论； （2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，， ，， 平面的法向量为， 直线与平面所成的正弦值为， 当时，取最大值， 解得，， 设平面的法向量为， ，令，， ． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 22. 在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）证明：显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【小问1详解】 设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2023-2024学年度上学期高二期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（ ） A. 3 B. 9 C. D. 3. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 圆上到直线的距离等于1的点有 A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 5. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包，已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别，，，若这三人抢到的红包金额是否超过1元互不影响，则这三人中至少有一人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线：，：，则（ ） A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 11. 已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 12. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知点在抛物线上，则A到的准线的距离为______. 14. 正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为3，高为1，则其体积为________. 15. 等差数列、的前项和分别为和，若，则________． 16. 已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 等差数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 18. 如图，在四边形ABCD中，，，. （1）求的大小； （2）若，，求AD的长. 19. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 20. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 21. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．，是棱上的动点（除端点外），分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的最大角为30°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 22. 在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $