精品解析：2024年贵州省毕节市金沙县第四中学中考模拟预测数学试题

贵州省2024年初中学业水平考试全真模拟卷（三） 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知实数的绝对值为2024，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 或2024 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 百里杜鹃被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带、世界花园”之美誉，公园内有马缨杜鹃、露珠杜鹃、团花杜鹃等41个品种．已知某种杜鹃花的花粉直径约为．将数据0.00004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式有意义，则x的取值范围是( )． A. B. C. D. 5. 某校开展“文明伴成长”画展，参展的彩铅、水墨、水彩和速写四个类别的作品数分别为59，53，59，61．这组数据的平均数为（ ） A. 57 B. 58 C. 59 D. 60 6. 车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（ ） A. 150 B. 180 C. 270 D. 360 7. 若，则化简的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 8. 抛物线（，为常数）如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国：乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢? 设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12. 甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ） A. 5分钟 B. 9分钟 C. 分钟 D. 分钟 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 14. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和质量均相同，且内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好选中内含墨和砚的盲盒的概率是______． 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 16. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：并把其解集表示在数轴上． 18. 2024年央视龙年春晚的《山河诗长安》具有浓厚的文化底蕴，包涵各种艺术门类．如演唱、民乐、舞蹈、杂技，还有李白的动画人物与真人明星的互动与各种表演的融合，用创新视觉呈现方式与节目外化表现形式突出中国传统美学，令人目不暇接、耳不暇闻！某数学兴趣小组想要了解本校学生对四种艺术门类（演唱、民乐、舞蹈、杂技）的喜爱情况，随机抽取了部分学生完成调查问卷（如图1），并根据调查结果绘制了两种不完整的统计图（如图2）． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）根据信息将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，请估计该校最喜欢杂技的学生人数． 19. 春节档电影《飞驰人生2》成功吸引了无数观众的目光．电影上映后，我国新能源汽车销量再创新高，其中油电混动汽车备受青睐，因为其既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶．某品牌油电混动汽车从甲地行驶到乙地，当完全用油做动力行驶时，所需油费为160元；当完全用电做动力行驶时，所需电费为40元．已知该汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元． （1）求该汽车行驶每千米需要的电费； （2）该汽车从甲地到乙地行驶的路程是______千米． 20. 如图，反比例函数的图像经过点和点． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值． 21. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 22. 如图，已知和均为等边三角形，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，过点作交于点，求证：． 23. 如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． （1）求证：点，，三点共线； （2）若，的半径为5，求的长． 24. 跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为． （1）求出绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围． 25. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作猜想】 操作一：对折正方形纸片，使边与边重合，得到折痕，把纸片展平，如图1； 操作二：继续沿折叠纸片，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，如图2． 根据以上操作：写出一个图2中与相等的角：______． （2）【探究证明】 如图3，延长与边交于点，连接． ①与的大小关系是______；线段，，之间的数量关系是______； ②求证：． （3）【拓展延伸】 如图3，若正方形的边长为，求点到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2024年初中学业水平考试全真模拟卷（三） 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知实数的绝对值为2024，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 或2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：实数的绝对值为2024，则的值为或2024． 故选：D． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案． 【详解】解：该几何体的俯视图是： 故选：D． 3. 百里杜鹃被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带、世界花园”之美誉，公园内有马缨杜鹃、露珠杜鹃、团花杜鹃等41个品种．已知某种杜鹃花的花粉直径约为．将数据0.00004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数据0.00004用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 如果分式有意义，则x的取值范围是( )． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，得到关于x的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键． 5. 某校开展“文明伴成长”画展，参展的彩铅、水墨、水彩和速写四个类别的作品数分别为59，53，59，61．这组数据的平均数为（ ） A. 57 B. 58 C. 59 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平均数的定义解答即可． 本题主要考查了求一组数据的平均数，把这四个数相加后除以4即可得到答案 【详解】解：根据题意，得， 故选B． 6. 车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（ ） A. 150 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】C 【解析】 【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE． ∴∠BCD+∠1=180°； 又∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF． ∴∠ABF=90°． ∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270° 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键． 7. 若，则化简的结果是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 8. 抛物线（，为常数）如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键． 根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可． 【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得， 解得， ∵函数开口向下，， ∴． 故选：D． 9. 如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过的最长的弦是圆的直径是10， 经过点的弦的长， 过点的弦的长度最短为8． 故选：B． 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国：乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢? 设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．可将此题看做是工作效率类的应用题，根据效率时间总量列方程即可． 【详解】解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为， 设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组： ． 故选：D． 11. 如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为8， 故选：C． 12. 甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为米的时刻不可能是（ ） A. 5分钟 B. 9分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键． 根据图像与题意求甲的函数关系式为，乙的函数关系式为；然后令，分情况求解即可． 【详解】解：由图像可知，甲的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟，当时，乙的速度为米/分钟， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为； 令， 当时，， 解得（舍去）； 当时，， 当时，解得； 当时，解得； 当时，可得， 解得； 综上，的值可能为5或11或17，不可能为9， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．直接提取公因式即可分解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和质量均相同，且内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好选中内含墨和砚的盲盒的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或者列表法概率，画出树状图得出12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种， 故恰好抽中内含墨和砚的盲盒的概率是， 故答案为：． 15. 已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定方法得出，得到，代入已知条件求出，即可得到的长，正确得出是解题关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：并把其解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题主要考查含三角函数的实数混合运算和解一元一次不等式组， （1）根据零指数幂和负指数幂运算法则，及特殊三角函数求的对应的值，再加减即可； （2）分别求得一元一次不等式的解，再求得其公共部分，按数轴上的表示方法表示即可． 【详解】解：（1）原式． （2）解不等式，得； 解不等式，得， 则该不等式组的解集为． 18. 2024年央视龙年春晚的《山河诗长安》具有浓厚的文化底蕴，包涵各种艺术门类．如演唱、民乐、舞蹈、杂技，还有李白的动画人物与真人明星的互动与各种表演的融合，用创新视觉呈现方式与节目外化表现形式突出中国传统美学，令人目不暇接、耳不暇闻！某数学兴趣小组想要了解本校学生对四种艺术门类（演唱、民乐、舞蹈、杂技）的喜爱情况，随机抽取了部分学生完成调查问卷（如图1），并根据调查结果绘制了两种不完整的统计图（如图2）． （1）本次调查共抽取了______名学生； （2）根据信息将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1200名学生，请估计该校最喜欢杂技的学生人数． 【答案】（1）50 （2） 补图如下： ； （3）该校最喜欢杂技的学生人数约为120人 【解析】 【分析】本题是条形统计图，用样本估计总体数量，画条形统计图等知识，解题的关键是： （1）用B类的人数除以所占百分比即可求解； （2）先求出C类的人数，然后补图即可； （3）用1200乘以最喜欢杂技所占百分比即可求解． 【小问1详解】 解∶， ∴本次调查共抽取了50名学生， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：C类的人数为； 【小问3详解】 解：， ∴该校最喜欢杂技的学生人数约为120人． 19. 春节档电影《飞驰人生2》成功吸引了无数观众的目光．电影上映后，我国新能源汽车销量再创新高，其中油电混动汽车备受青睐，因为其既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶．某品牌油电混动汽车从甲地行驶到乙地，当完全用油做动力行驶时，所需油费为160元；当完全用电做动力行驶时，所需电费为40元．已知该汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元． （1）求该汽车行驶每千米需要的电费； （2）该汽车从甲地到乙地行驶的路程是______千米． 【答案】（1）该汽车行驶每千米需要的电费是0.2元 （2）200 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设汽车行驶中每千米需要的电费是x元，根据题意列方程即可求解； （2）根据路程所需电费该汽车行驶每千米需要的电费，即可求出甲地到乙地的路程． 【小问1详解】 解：设汽车行驶中每千米需要的电费是x元， ， 解得， 经检验：是该分式方程的解且符合题意， ∴汽车行驶中每千米需要的电费是元； 【小问2详解】 解：甲地到乙地的路程为：千米， 故答案为：200． 20. 如图，反比例函数的图像经过点和点． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为6 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平移的性质和解一元二次方程， （1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，将点代入即可求得a； （2）根据平移的性质得到平移后点的坐标，再将点代入反比例函数解一元二次方程即可求的m． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 则所得点的坐标为． 将点代入，得， 解得（舍），或． 故的值为6 21. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于G，则四边形是矩形，可得，解得到，解得得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为． 22. 如图，已知和均为等边三角形，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：四边形为菱形； （2）如图2，过点作交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：，均为等边三角形， ，，， ，即， ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为菱形； （2） 证明：， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，得到，，，先证明，则，推出四边形是平行四边形，由，即可得到答案； （2）利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理进行证明． 23. 如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． （1）求证：点，，三点共线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是的内接四边形， ． 绕点旋转得到， ， ， 点，，三点共线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧长公式． （1）根据旋转的性质和圆内接四边形对角互补的性质，得到即可证明结论成立； （2）连接，．利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，． 绕点旋转得， ，， ． 的半径为5， ． ， ． 24. 跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为． （1）求出绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）绳子不能过他的头顶 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数最值求法是解答本题的关键． （1）由题意可知抛物线经过点，建立方程组即可解答； （2）求出抛物线的最大值即可解决： （3）令，求出，再求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线经过点， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 身高为的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶． 理由如下： 故当时，， ∴绳子不能过他的头顶． 【小问3详解】 当时， 解得或， 25. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作猜想】 操作一：对折正方形纸片，使边与边重合，得到折痕，把纸片展平，如图1； 操作二：继续沿折叠纸片，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，如图2． 根据以上操作：写出一个图2中与相等的角：______． （2）【探究证明】 如图3，延长与边交于点，连接． ①与的大小关系是______；线段，，之间的数量关系是______； ②求证：． （3）【拓展延伸】 如图3，若正方形的边长为，求点到线段的距离． 【答案】（1）（或） （2）①（或相等）； ②证明：设，， 由折叠性质得：， ，，， 在中， ， ， 解得：， 即， （3）点到线段的距离为 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，故；由折叠得，则即可； （2）①由得：，，从而证得； ②设，，在中，通过勾股定理得到：，解方程得，，即，从而解决问题； （3）过点作的垂线段，垂足为，则，通过相似三角形的对应边成比例即可求出点到线段的距离． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：， 故； 由折叠得， ∴， 故答案为：（或）； 【小问2详解】 ①四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，即，，， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：； ②略 【小问3详解】 如图：过点作的垂线段，垂足为，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 点到线段的距离为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $