数列通项与求和讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

数列通项与求和 教学目标 1、掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，由数列递推关系式的特点，选择合适的方法； 2、掌握等差数列与等比数列前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些简单的问题 重 点 1、根据数列的递推公式求解数列通项公式 ； 2、掌握求一些特殊数列前n项和的方法：公式、分组、倒序相加、裂项、错位； 3、理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法． 难 点 理解求数列通项及数列求和中蕴含的数学思想方法 （一）求数列通项 知识梳理 1、定义法（等差数列、等比数列通项公式） 2、运用求数列通项公式： 数列的通项与前项和的关系是，当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示． 3、由递推公式求通项公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫作数列的递推公式． 已知递推公式求通项公式，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、待定系数法（构造法）、取倒数、取对数等转化为等差数列或等比数列求通项公式．常见方法如下： （1）累加法：型如的一阶递推式， 运用“累加法”(或“迭加法”)求通项公式，即 ． （2）累乘法：型如的递推式， 运用“累乘法”(或“迭乘法”)求通项公式， 即． （3）构造法： ①、型如 可由下面两种方法求通项公式． 方法一：由及，两式相减得，有是首项为，公比为的等比数列，先求出，再利用“累加法”求出． 方法二：构造数列，满足，运用“待定系数法”，解得，则是首项为，公比为的等比数列． ②、型如 可构造数列，满足，运用待定系数法解得，从而由等比数列求出通项公式；进一步推广，若其中包含n的二次、三次，则构造的数列中也同样包含对应次数项． ③、型如 可在等式两边同除以，构造数列，满足，令，则转化为，即类型⑴，利用“累加法”求通项公式． ④、型如 运用取倒数，构造数列，满足，若时，则数列为等差数列；若时，转换为类型⑶—Ⅰ，再运用“待定系数法”． 或型如 两边同除得，构造数列为等差数列． ⑤、型如 运用两边取对数法得，令，化为型，再用“待定系数法”． （4）周期数列： 和年份有关，代几项，看周期． ①形如的数列是周期为的数列． ②形如的数列是周期为的数列． ③形如的数列是周期为的数列． ④形如的数列是周期为的数列． ⑤形如（等和数列）的数列是周期为的数列． 4、除了上述方法还有数学归纳法（归纳—猜想—证明）等. 例题精讲 【例1】（1）已知单调递增数列满足，，则___________ （2）已知数列的各项均为正数，且，则___________． 【例2】（1）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为 ． （2）数列满足，则____________． （3）设是数列的前项和，，，求的通项。 【例3】（1）已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式。 （2）已知数列中，，求通项公式． 【例4】（1）在数列中，，，求数列的通项公式. （2）已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. （3）已知数列中，，求数列的通项公式. 【例5】（1）已知数列满足：对任意的均有，其中为不等于与的常数，若，则满足条件的所有可能值的和为 ． （2）已知数列满足．设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式． 【例6】已知，，求． 【例7】设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【例8】（1）数列满足,,求数列的通项公式. （2）已知数列,求此数列的通项公式. 【例9】（1）数列{an}满足，a1＝，则数列的第2021项为________． （2）若数列{an}满足a1＝2，an+1，a2020＝___________． 【例10】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. （1）求a1，a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式. 【例11】（1）已知数列满足，，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D． （2）已知数列是共有个项的有限数列，且满足，若 ，，，则 （3）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； （III）若数列满足证明是等差数列 【例12】已知数列满足，且． （1）令，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式． 【例13】设，，，，则数列的通项公式　 　． 【例14】（1）数列满足(n∈N*)，求通项公式. （2）数列{an}满足(n∈N*)，求通项公式. 巩固训练 1、已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)－(n＋1)＋anan＋1＝0，则它的通项公式为（ ） A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n 2、设正数数列的前n项和为，数列的前n项之积为，且，则数列的通项公式是________________. 3、已知各项都是正数的数列满足，，求通项公式. 4、某生物病毒繁殖规则如图，现有一个这种生物病毒，初始状态为t＝0（t表示时间，单位：小时），请写出4小时后此病毒的个数_____，由此推测n小时后此病毒的个数为_______________. 5、已知数列的前n项和Sn满足：当n∈N*时，Sn≠0；当n＞1时，，且．求数列的通项公式。 6、陈先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）． （注：如果上个月欠银行贷款元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额元，此时贷款余额为元） 7、在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 013的值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 8、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，那么，是斐波那契数列的第　 　项． 9、已知数列满足：①，②对任意的都有成立． 函数，，满足：对于任意的实数，，总有两个不同的根， 10、已知数列满足，，. （1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设，若不等式对于任意都成立，求正数的最大值. （二）数列求和 知识梳理 求数列前n项和： 1、公式法求和 ①等差数列求和公式： ②等比数列求和公式： ③ ④ ⑤ 公式法求和注意事项：（1）弄准求和项数的值； （2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类. 2、分组求和法 分组求和有两种情况，一种是将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可；另一种是将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和). 3、裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． 4、倒序相加法 这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到个. 5、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列. 用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 例题精讲 【例15】（1）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，．若表示不超过的最大整数，，则数列的前2021项和　　 A．1010 B．1011 C．2021 D．2022 （2）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余被2除余．现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列各项的和为　　 A．736 B．816 C．833 D．29800 【例16】已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式； （3）令，求数列的前项和的通项公式，并求数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项． 【例17】求证：； 【例18】数列满足，若，则的前项和为　　 A． B． C． D． 【例19】已知数列：满足 （1） 设，求证是等比数列； （2） 求数列的通项公式 （3）设,数列的前项和为,求证: 【例20】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 巩固训练 1、记为数列在区间，中的项的个数，则数列的前100项的和　 　． 2、已知等差数列中，，则数列的前项和　 　． 3．已知，点，在函数的图象上，，则数列的前项和　 　． 4．　 　． 5、已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）用适当的组合数形式表示，并求数列的前项和； （3）若，记数列的前项和为，求． 6、在数列中，已知，． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 ( 实战演练 ) 一、填空题 1、已知数列中，，且时，，求通项 ．． 2、已知数列满足，，则通项　 　． 3、设是数列的前项和且，，则　 　． 4、若数列满足，，则数列的通项公式为 　 　． 5、已知数列，满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前2020项之和为　 　． 6、我们知道：． 已知数列中，，，则数列的通项公式　 　． 二、选择题 7、已知数列中，，，则等于　　 A． B． C． D． 8、在各项均为正数的数列中，是其前项和，且，则的值等于　　 A． B． C． D． 9、已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为　　 A．， B． C．， D． 10、已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 11、等差数列的首项为1，公差，且、、成等比数列，数列满足且. （1）求、； （2）若，数列的前项和为. ①求； ②求使的最小正整数. 12、已知，，，对任意，有成立． （1）求的通项公式； （2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立； （3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值． ( 第 1 页 共 2 页 )数列通项与求和—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$