函数的对称性、周期性、图像和零点讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的对称性、周期性、图像和零点 教学目标 1、掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型 2、掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题 重 点 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 难 点 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 （一）函数的对称性和周期性 知识梳理 一、对称性 （一）一个函数图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称 的图象关于直线对称 推论1、的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、中心对称 的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于轴对称 2、与图象关于原点对称 3、与图象关于轴对称 4、与其反函数图象关于直线对称 ※5、函数与图象关于直线对称 推论1、函数与图象关于直线对称 推论2、函数与图象关于直线对称 推论3、函数与图象关于直线对称 二、函数的周期性 对于函数，如果 存在 一个常数，使得对于定义域内的任意一个，都有，那么这个函数叫做周期函数，非零常数叫做的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期. ※※补充常用性质： ①若，则，即； ② 若，则，即； ③若，则，即. ④若或， ⑤如果奇函数满足则可以推出其周期是，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）. ⑥如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期性函数.如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期性函数. 例题精讲 【例1】关于给出下列五个命题： ①若，则是周期函数； ②若，则为奇函数； ③若函数的图像关于对称，则为偶函数； ④函数与函数关于直线对称； ⑤若，则的图像关于点对称 填写所有正确命题的序号_________ 【例2】已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，则的值为（ ） A．-2 B.-1 C.0 D.1 【例3】（1）设的定义域是全体实数，且的图像关于直线和对称，其中，则是（ ） A、一个以为周期的周期函数 B、一个以为周期的周期函数 C、一个非周期函数 D、以上均不对 （2）已知函数满足，当（1）时，的值为　 （3）若函数的最小正周期为，则函数的最小正周期是 【例4】已知函数既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当时，，则当时，__________ 【例5】已知函数的图像关于点对称，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【例6】已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为 ． 【例7】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数．若方程在区间上有四个不同的根，则 ． 【例8】设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 ． 【例9】设，函数的图象与函数的图象关于点对称． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围； （3）设函数，，，满足如下性质：若存在最大（小值，则最大（小值与无关．试求的取值范围．． 【例10】将奇函数的图像关于原点（即）对称这一性质进行拓广，有下面的结论： ① 函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称. ② 函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称（注：若不属于的定义域时，则不存在）. 利用上述结论完成下列各题： （1）已知（）为实数，试问函数的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由. （2）若函数的图像关于点成中心对称，求的值. 巩固训练 1、已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 2、若对正常数和任意实数，等式成立,则下列说法正确的是 ( ) A 函数是周期函数,最小正周期为 B 函数是奇函数,但不是周期函数 C 函数是周期函数,最小正周期为 D 函数是偶函数,但不是周期函数 3、设函数定义域为，，且当时，，则有　　 A． B． C． D． 4、（1）若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是　　 A． B． C． D． （2）已知函数，则该函数的对称轴方程为 ． 5、设函数满足对任意，都有成立，，（1），则　 ． 6、已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增，如果，且，则下列说法正确的是　　 A．的值为正数 B．的值为负数 C．的值正负不能确定 D．的值一定为零 7、定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间，上的根的个数记为，则可能为　　 A．0 B．1 C．3 D．5 8、已知函数的图象与函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）若在上为减函数，求a的取值范围． （二）函数的图像和零点 知识梳理 注意：一切变换针对于变量本身 （1）平移变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； （2）伸缩变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； （3）对称变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； ⅲ．函数的图象 函数的图象； （4）翻折：自变量加绝对值即把轴下方部分翻折到上方即可，自变量加绝对值需把轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像. i函数的图象 函数图象； ii函数的图象 函数图象； （5）顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行.但注意，由于习惯把单独放在等式左边，所以针对于的变换如在右侧进行的话，规则相反. 如：可由函数 （针对于的变换结束） （针对于的变换结束） 四、函数的零点：对于函数，如果存在实数，当时， ，那么就把叫做函数的零点.注：零点是数； 用二分法求零点的理论依据是：（零点定理）（请认真查阅课本学习求零点的精确度关于次数的问题） ①函数在闭区间上连续； ② 那么，一定存在，使得.（反之，未必） 例题精讲 【例11】分别画出以下函数的图像： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【例12】函数（其中的图象不可能是　　 A．B． C． D． 【例13】设函数,将向左平移个单位得到函数,将向上平移个单位得到函数,若的图像恒在的图像的上方,则正数的取值范围为_____________. 【例14】（1）记，已知函数是偶函数(为实常数)，则函数的零点为 .(写出所有零点) （2）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 【例15】（1）已知偶函数满足：，并且当时，，函数与函数的交点个数是 . （2）已知函数是定义在上的函数，且，则函数 在区间上的零点个数为　　　　　　． 【例16】（1）若函数无零点，则的取值范围为 ． （2）函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是为 （3）设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 . （4）设定义域为的函数关于的方程有7个不同实数解，求实数、需要满足的条件为____________． 【例17】已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： ① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【例18】（1）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________ （2）定义在上的函数满足：①当时，，②，设关于的函数的零点从小到大依次记为，则______． 【例19】（1）已知函数，若， 且，则 ． （2），若互不相同，且，则的取值范围是 . 【例20】（1）定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是 ． （2）已知函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，．若，则满足条件的最小的正实数是 　 　． 【例21】关于函数给出下列四个命题： ①当时，单调递减且没有最值； ②方程一定有解； ③如果方程有解，则解的个数一定是偶数； ④是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 【例22】已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为． （1）已知 ，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围； （2）已知当时，函数，若是上周期为4的级类周期函数，且的值域为一个闭区间，求实数的取值范围． 巩固训练 1、函数的图象为（ ）． A． B． C． D． 2、设，则函数的图像大致形状是( ) ( O a b y x b a O x y b a O x y b a O x y ) (A) (B) (C) (D) 3、已知函数，若，且，则的取值范围是 （ ） A．　　　 B． 　　　C． 　　　D． 4、若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 5、已知与都是定义在上的奇函数，且当时，，若恰好有4个零点，则正实数的取值范围是 A. B. C. D. 6、已知 ，若是函数的零点，则四个数按从小到大的顺序是　　 （用符号连接起来）． 7、若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是 . 8、关于的方程至少有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 9、在平面直角坐标系中，对于函数的图像上不重合的两点，若关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”（规定与是相同的“奇点对”）．函数的“奇点对”的组数是 ． 10、定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 ． 11、已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点异于使得且，则　 　． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、函数的零点为　 　． 2、定义在上的函数满足：，当，时，，则　 　． 3、定义在上的函数满足，当，时，，则当，时，函数的最小值为　 　． 4、已知函数对于恒有，若与函数的图像的点交为，，，，，，，则　 　． 5、函数为定义在上的奇函数，且满足，若（1），则（1）（2）　 　． 6、已知函数，其中且，若函数的图象上有且只有一对点关于轴对称，则的取值范围是　 ． 二、选择题 7、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点　　 A．向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 8、已知函数，则　　 A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上单调递减，在上单调递增 9、已知是定义在上的偶函数，，且当，时，，则下列说法不正确的是　　 A．是以4为周期的周期函数 B．当，时， C．函数的图像关于点对称 D．函数的图象与函数的图象有且仅有11个交点 10、定义在自然数集上的函数满足，，则　　 A．1248 B．1263 C．1250 D．1251 三、解答题 11、对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”． （1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围． 12、已知是定义在上的函数，满足． （1）证明：2是函数的周期； （2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式； （3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围． ( 第 1 页 共 2 页 )函数的对称性、周期性、图像和零点—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$