3.6 角-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学重点知识集锦（华东师大版2024）

第3章 图形的初步认识 题型社,实例探索 理要点 22 【,1 1巧 7 线段的基本事实的应用 心典! 典例1 如图,校长为1m的正方体上有一只蝴蛛伏在A处,B 若所走路线不在同一平面内,则 处有一只小虫被蜘蛛网粘住,请利用平面图形,画出蜘蛛 利用立体图形的展开图使之置千同一 爬行的最短路线,你能说明理由吗? 千面,然后可以应用“两点之间线段最 短”加以解决 【解】如图,线段AB即为蜘蛛爬行的最短路线 理由:两点之间线段最短 D ②与“三线”有关的画图问题 巧 典2 典例2已知线段a、b(如图),作一条线段,使它等于2a+b. 先作一条直线或射线,然后在射 线上裁取所要求的线段的长度.“加” 【解】(1)如图,画射线AM; 往同一个方向依次蠢取;“减”:往相反 方向裁取. (2)在射线AM上顺次作线段AC=a.CD=a.DB=b$ (3)则线段AB=AC+CD+DB=2a+b 线段AB即为所要求作的线段 ③与线段中点有关的计算 舆3 典例3已知线段AB=100cm,点M为AB的中点,在AB所在 某些几何问题只给出了数量关系 直线上有一点P,点N为AP的中点.若MV=15cm,求AP 而未给出图形,这种情况下要结合题 的长。 意对可能出现的情况进行分类讨论 【解】如图①,当点P在线段AB上时,有点N在点M的左侧,则AP 本题给出的条件是“在AB所在直线上 (24B-MM)=2(50-15)-70(cm). -2AV-2(AW-MW)-2 有一点P”,即点P可能在线段AB上, 也可能在线段AB的延长线(或BA的 如图②.当点P在线段AB的延长线上时,有点N在点M 延长线)上,故需分类讨论 的右侧,则AP=2AN-2(AM+MN)-2(AB+MN)- 2(50+15)=130(cm). 当点P在线段BA的延长线上时,不成立. N M 综上,AP的长. 图① A MN B 图② 3.6 角 新知答>脉络梳理 即要点 ) >归纳总结1 角的概念 1结1 角的大小只与构成角的两边张开 1.角的静态定义:由两条有公共端点的1 组成的图 的幅度有关. 平角的两边成一条直线,但不能 形叫做角,这个公共端点是角的② ,这两条射线 说平角就是直线:周角的两边重合形 是角的③ 成一条射线,但不能说周角就是射线。 32 同步练测·七年级数学·上册·华师版 2.角的动态定义;角也可以看作由一条射线绕着它的端点 4 而成的图形. 3.平角与周角:当射线的终止位置与起始位置成一条直线 时,形成 角,继续旋转,当射线的终止位置和起 始位置重合时,形成6 角. 1平角=7 ;1周角=③ 4.锐角、直角与钝角 (1)锐角:大于0{,且小于90{}的角是锐角 (2)直角:等于90*的角是直角; (3)钝角:大于90{,且小于180的角是钝角 ②角的表示方法 归纳总结 >归纳总结 角常用的表示方法有四种,每种方法前面都要加一个角 (1)角的符号是“么”,不可与“<” 的符号“回 ”。 混淆; 1. 用三个大写字母来表示 (2)当以某一个字母表示的点为顶点 在这种表示法中,表示顶点的字母必 的角有两个或两个以上时,其中任何 须写在中间,另两个字母不分顺序,如 一个角都不能用一个顶点字母表示: 图①中的角有0 .I 2 图① 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中,表示角的大写字母必须是表示顶点 的那个字母,且当两个或两个以上的角 有同一个顶点时,不能用这种方法来表 示其中的任何一个角,如图②中的 乙EBC也可以表示为13 图② ADC也可以表示为1④ ,但 乙EAF、乙BAF都不能用乙A来表示. 3.用一个数字来表示 用数字表示角时,要在角的内部顶点加上狐线,孤线旁 边写上数字,如图②中的/EAF也可以表示为5 16 也可以表示为/2. 4.用一个小写希腊字母aB等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似, 也是在角的内部顶点附近加上孤线,孤线旁 边写上小写希腊字母.如图③中的乙A0B也 图 可以表示为17 御角的度量 一圈说数学 >图说数学 1.角的度量 度、分、秒的相互转化 珍以道米高级单位,即 度量角的大小常用量角器,此外,在工程测量中,还常 低信单位一 用经纬仪来测量角的大小. -60 和。 分 -60 2.角度制及单位换算 x60 x60 度 以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.把周 角等分成18 份,每一份就是1度的角,记作1*;把 1度等分成9 份,每一份就是1分,记作1;把1 分等分成20 份,每一份就是1秒,记作1”,度、分。 秒的换算是2 进制.即1*=60',1'=60”.相反,秒 化分、分化度为1”=(60),1'=(60)} 30 第3章 图形的初步认识 知④ 用角度表示方向 归结总结3 >归纳总结 和3 方位角就是用22 表示方位的角. (1)方位角在叙述时,一般先说南北, 一般地,方位角是以第一个方向(正南或正北)为角的 后说东西,如南偏西20{}当与南北方 始边向第二个方向转动所形成的角 向夹角45*}时,常简称为东北,东南,西 北、西南,如北偏东45^{}为东北方向; 角大小的比较方法 _归纳总结4 (2)叙述方位角时,不仅要先说南北。 1.2 法:把要比较的两个角的顶点重合,把它们的 后说东西,而且要选好基准点,即在某 一条边重合,另一条边位于重合边的同一侧,再比较另一 一点的南(北)偏东(西)多少度 条边的位置 2.25 法:用量角器量出角的度数,再根据度数比较 >归纳总结 角的大小. (1)两种方法相比,度量法更精痛,叠 细用一副三角板可以画出特殊的角 合法更直观: (2)角的比较除了上述两种方法,还有 一副三角板上的角是一些常用的角,除了可以用它们直 估测法,当两个角的大小差别比较明 接画出30{}、45*}60和90}的角之外,还可以画出其他一些特 显时,可以用此法 殊的角. 知 画一个角等于已知角(尺规作图) 已知:乙A0B,如图 -B 求作:乙A'O'B’,使乙A'O'B'=乙AOB 步骤 图示 (1)作射线0A’ (2)以点0为圆心.以适当长为半径作张,交射线 0A于点C.交射线OB于点D (3)以点0'为圆心,以线段0C长为半径作孤,交 射线0'A'于点C' (4)以点C为圆心,以线段CD长为半径作孤,交 前一条孤于点D (5)经过点D作射线O'B',则乙A'OB就是所要 求作的角 知⑧ >归纳总结 角的和与差 一归纳总结5 5 角的和与差 图示 角的和或差的度裁就是它们度数 的和或差. 如图,乙AOB+乙BOC=乙AOC,即两个角的 和仍是一个角 如图,乙AOC-乙B0C=乙AOB,即两个角的 差仍是一个角 细角的平分线 >归纳总结 6 从一个角的2 引出的一条射 角的平分线女须满足三个条件 的角,这 线,把这个角分成两个27 (1)从角的顶点引出的射线;(2)在角 的内部;(3)平分角,三者缺一不可。 条射线叫做这个角的平分线,如图,若0B 是乙AOC的平分线,则有乙AOB=乙BOC -7 2/AOC,ZAOC=2乙AOB=2乙BOC.反之,若射线OB在 >归纳总结 7 AOC内部,且乙AOB=乙BOC.则0B是乙AOC的平分线. (1)互余和互补是指两个角之间的关 息余角和补角 系,若三个角的和等千90或180{*},不 能称为互余或互补; 1.两个角的和等于28 (直角),就说这两个角互为 (2)特别地,当互补的两个角有公共顶 余角,简称互余 点和公共边时,又称这两个角互为邻 2.如果两个角的和等于2 (平角),就说这两个角 补角。 互为补角,简称互补. 同步练测·七年级数学·上册·华师版 3.余角、补角的性质:同角(等角)的余角相等;同角(等角) 的补角30 答案 ①射线 ②顶点 3两条边 ④旋转 平 回周 7180* B360* ?乙 0乙AOB I乙BOC 12乙AOC 3 B 14 D 乙1 ECD(FCD) La 18360 960 2060 2160 22角度 23方向 24叠合 2度量 2顶点 27相等 2902180 30相等 题型社,实例探索 理要点 ) 【; 与角平分线有关的计算 巧 4典1 典例1如图,已知乙A0B=90”。乙BOC=30。, DOE的火小与之BOC的大小 0D、OE分别是/AOC和/BOC的平分线 (即B)无关,只与乙A0B的大小有关。 等于乙A0B大小的一半. (1)求/C0D的度数: (2)求乙DOE的度数; (3)若把本题的条件改成乙A0B=a, 2.BOC=B.则/DOE的度数是多少? 【解】(1)因为 A0B=90{, B0C=30{},所以 A0C=$$ 乙A0B+乙B0C=120”。因为0D平分乙A0C,所以乙COD (2)由(1)知,乙A0C=120。因为0D。0E分别平分乙A0C 和乙BOC,所以乙COD= 21AOC= 乙COE= 2乙B0C1 C0E=60。-15*-45 (3)因为 AOB=a,乙BOC=B. 所以乙AOC=乙AOB+ BOC=a+B. 因为0D.0E分别平分乙AOC和/BOC 所以/COD-<A0C- 1 # ###- ② 1巧 .余角和补角的应用 典2 典例2已知乙A与/B互余,A与乙C互补,B与乙C的 余角,补角的相关计算往往利用 和等于周角的,求乙A+B+乙C的度数. 方程思想,即设一个角的度数为a,则 它的余角和补角的度数分别为90。}- 【解】设 A的度数为a,则 B=90*}-a,乙C=180^{*}-$$ a.180*}-a,再根据题目所给的条件列 方程求解. 根据题意,得(90*-a)+(180{-a)= 3×360。. 所以a=75,所以 B的度数是90*}-75^{*}=15^*} 2C的度数是180*-75*=105。. 所以 A+ B+ C=75*+15*}+105*=195 ^}$$$ 32