第五章 3 一元一次方程的应用-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学重点知识集锦（北师大版2024）

同步练测·七年级数学·上册·北师版 利用两个方程的解的关系求方程中字母的值 )解题技巧 心典例2 典例2已知关于x的方程4x+2m=3x+1和3x+1=2x+2m 当两个方程的解相同时，若其中 一个方程能解出未知数的具体值，则 的解相同，求这个相同的解。 求出此方程的解并代入号一个方程中 【解】因为4x+2m=3x+1的解为x=1-2m, 求得宇母的值：若两个方程都无法解 3x+1=2x+2m的解为x=2m-1, 出未知数的具体值，则先将这两个方 所以1-2m=2m-1, 程的解都用会有字母（参数）的式子表 所以m=2将m=2代人=1-2m,得x=0, 示出来，米后根据条件重新建立方程 求宇母的值 即这个相同的解为x=0. 3一元一次方程的应用 新知荟>脉络梳理排 理要点 用一元一次方程解决实际问题的基本过程 时纳总结到 >归纳总结① 夹序门题 抽素 教学闲隐 (1)用一元一次方程解决实际问题的 子找等量天条飞一元二次才特) 七个步聚中“审”“我”“检”可在草稿 解 纸上进行，书写格式中主要写“设” 程 教学问题的锵 “列”“解”“答”这四个步骤： 实P问题的解 按证 (一元一火方程的解) (2)设未知裁有直接汝法（求什么就 设什么)和间接改法，但原则上尽量使 列一元一次方程解应用题的一般步骤 列出伪方程筒单 审一分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 找一找出能表示题目全部含义的一个数量关系 设一设未知数，并用未知数表示其他未知量 列一根据题目中的等量关系列出方程 解 解所列出的方程 检一检验方程的解是否符合问题的实际意义 答一写出答语 形积变化问题 归纳总结2 归纳总结2 1,等积变形问题 (1)等积变形问题 是形状发生了变化，而体积（或面 常用几何图形面积和体积公式 等积变形的概念 积)没变，此时等量关系为变化前后体 面积公式 体积公式 积（或面积）相等： S角形=回 (a (2)等长变形问题 为三角形的一边长，h '体=abc(a,b,c分 此类问题一般是用固定长度的线 等积变形指图形 别为长方体的长、宽、 段围成不同形状的图形，解决此类问 或物体的形状发 为这边上的高)，S正师 =☒ 高)，'E方体=：(a为正 (a为正 题的关健是把周长不支作为等量关系 生变化，但变化前 方体的棱长)， 列方程求解」 后的体积或面积 方形的边长)，S长有= (r ab(a,b为长方形的 V性=团 团 组邻边长)，S=(r 为底面圆的半径，h为 圆柱的高) 为圆的半径) 32 第五章一元一次方程 2.等长变形问题 等长变形的概念 常用几何图形周长公式 Ce=4a(a为正方形的边长)， 等长变形指图形的形状 C长方形=回 (a,b为长方形的一组 发生变化，但变化前后的 邻边长)， 周长固 Cm=2πr(r为圆的半径) “盈不足”问题 每人分的数量（少）×人数+盈数=每人分的数量（多） ×人数-不足数： 每人出的钱数（多）×人数一盈数=每人出的钱数（少） ×人数+不足数 行程问题 之闲说数学 )图说数学 火车过桥问题 1.相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地的距离。 (1)火车从上桥到完全过桥如因①，此 2.追及问题： 时火车走的路程是“桥长+车长”： 同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； (2)火车完全在桥上如图②.此时火车 走的路程是“桥长一车长”， 同时不同地出发：前者走的路程+两地的距离=追者走的 桥长+车长 路程 桥长 3.航行问题： 图① ☑ =静水速度+水流速度： 桥长-车长 张 ⑧ =静水速度一水流速度. 桥长 答案 图② 四不变 回2h图r ④mr2h固不变⑥2(a+b) ☑顺水速度⑧逆水速度 题型社，实例探索川 甲要点 与体积有关的等积变形 令典例日 运用公式时要分清不同字母表示 典例☐要锻造一个底面直径为70毫米，高为45毫米的圆柱 的量，如半径、直径等，不要混潇。 形零件毛坯，需要截取底面直径为50毫米的圆柱钢材多 少毫米？（不算加工余料》 [解】设需要截取底面直径为50毫米的圆柱钢材x毫米， 根据题意，得(9m×45= 50 2 解得x=88.2. 答：需要截取底面直径为50毫米的圆柱钢材88.2毫米 633 同步练测·七年级数学·上册·北师版 与特殊四边形有关的等周长变形 )解题技巧 ◆典例 典例2有一根长80cm的铁丝， (1)设出未知数，利用长方形的周长公 式列出方程，解方程求出长方形的长 (1)如果用这根铁丝围成一个长方形，并且长方形的长比 与宽，进而求出长方形的面积： 宽多10cm,那么这个长方形的长和宽各是多少？这个长 (2)设出未知裁，利用正方形的周长公 方形的面积是多少？ 式列出方程，解方程求出正方形的边 (2)如果用这根铁丝围成一个正方形，那么这个正方形的 长，进而求出正方形的而积 边长是多少？面积是多少？ 【解】(1)设长方形的宽为xcm,则长方形的长为(x+10)cm. 根据题意，得2x+2(x+10)=80, 解得x=15, 所以长方形的长为25cm,宽为15cm, 面积为25×15=375(cm2). (2)设正方形的边长为ycm, 根据题意，得 4y=80,解得y=20. 所以正方形的边长为20cm,面积为20×20=400(cm2). 行程问题 )解题技巧 令典例3 典例3从A地至B地，先是一段1.5千米的下坡路，然后是 先确定甲、乙两人在平路上相遇， 5.6千米的平路，最后是2.5千米的上坡路，甲、乙两人步 改两人相遇后乙还需x小时到达A 行分别从A,B两地同时出发，相向而行，两人下坡速度都 地，再根据相遇后乙走平路的时间=x 是每小时5千米，平路速度都是每小时3.5千米，上坡速度都 -走1.5千米上城路的时间=乙走 是每小时2千米问：当两人相遇后，乙还需多久到达A地？ 完全程的时间-x-甲走1.5千米下 【解】甲走下坡路的时间为1.5÷5=0.3（小时），走平路的时 城路的时间，解方程即可. 间为5.6÷3.5=1.6（小时），乙走下坡路的时间为2.5÷5 =0.5(小时). 因为0.3<0.5<0.3+1.6，所以两人在平路上相遇 乙走完全程的时间为0.5+1.6+1.5÷2=2.85（小时）. 设两人相遇后，乙还需x小时到达A地， 根据题意，得x1-285--55解得=1.65， 答：当两人相遇后，乙还需1.65小时到达A地 340