专题04 一元一次方程的应用（2大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材北师大版

专题04 一元一次方程的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 一元一次方程的应用之古代问题】 【例1】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【变式2】（25-26七年级上·天津·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 【考点2 一元一次方程的应用之销售问题】 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【变式1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力草莓和奶油草莓进行销售．已知2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元． (1)求每箱巧克力草莓与每箱奶油草莓的进价分别是多少元； (2)若某天该超市购进了巧克力草莓20箱，且每箱价格提高出售，购进了奶油草莓箱，且每箱价格提高出售，这天该超市全部卖完获得的利润为元，求购进了奶油草莓多少箱． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【考点3 一元一次方程的应用之方案问题】 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）五一假期期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景点游玩，下面是购票时，小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，哪种方式买票更省钱？并说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【考点4 一元一次方程的应用之配套问题】 【例4】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）张老师准备购买A、B两种品牌钢笔，用于对表现优秀的学生进行奖励．已知A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元．经预算，张老师购买两种钢笔共需花费588元，且A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支． (1)求预算中两种品牌钢笔的数量分别是多少？ (2)张老师付款时，被告知文具店正推出“满送”活动：每消费100元送1张兑换券，凭此券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔．张老师将所得兑换券全部兑换后，恰好使两种品牌钢笔的总数量相同．请求出用于兑换两种品牌钢笔的兑换券各是多少张？ 【考点5 一元一次方程的应用之工程问题】 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）杭州亚运会期间，某工厂接到一批亚运会纪念品生产任务，组委会要求6天内完成．若工厂安排 10 位工人生产，则6天后剩余1200套纪念品未生产；若安排15 位工人生产，则恰好提前一天完成纪念品生产任务，问每位工人每天生产多少套纪念品(要求列方程解答)？ 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【考点6 一元一次方程的应用之行程问题】 【例6】（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【变式1】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）列一元一次方程解决实际问题 某船从码头顺流航行到码头，然后逆流返行到码头，共行小时，已知船在静水中的速度为千米每小时，水流速度为千米每小时，若与的距离比与的距离短千米，求与的距离 【变式3】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【考点7 一元一次方程的应用之数字问题】 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为． (1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整； ②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值． (2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求的值． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期末） 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 【考点8 一元一次方程的应用之比赛问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·期末）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【考点9 一元一次方程的应用之几何问题】 【例9】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式； (2)当的面积为4时，求点的运动时间． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图， 在长方形中， 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时， ． (3)若点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D，同时点P以原速度继续向点C运动．在点Q的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点Q关于点D的中心对称点 直接写出． 的面积是面积的 时t的值． 【考点10 一元一次方程的应用之日历问题】 【例10】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【考点11 一元一次方程的应用之电费和水费问题】 【例11】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【变式1】（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【考点12 一元一次方程的应用之数轴上的动点问题】 【例12】（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上的线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，点B与D重合？ (2)问运动多少秒时，的长度为8？ 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏；若人一组，每组个杏，则多个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 二、填空题 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小红、小军分别从一条公路上的、两地同时相向而行，当小红行驶完600米时，小军恰好走了、两地之间距离的，此时两人相距100米，则、两地之间距离为 米． 8．（24-25七年级上·四川广安·期末）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶，它是由个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得 ． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 17．（24-25七年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 (1)嘉嘉投中A区6次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； (2)琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分？如果能请求出，如果不能请说明理由． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，线段 ，点在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，点在数轴上表示的数分别为________； (2)当为何值时，原点恰好是的中点． 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 20．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 21．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【教材变式】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240千瓦·时，第二档：月用电量为240~400千瓦·时，第三档：月用电量超过400千瓦·时）．设居民每月用电量为（千瓦·时），收费标准如表． 月用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过240千瓦·时 每千瓦·时0.55元 240~400千瓦·时 超过240千瓦·时的部分每千瓦·时0.75元 超过400千瓦·时 超过400千瓦·时的部分每千瓦·时1.5元 (1)每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费_____元；每月用电量超过400千瓦·时，应交电费_____元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150千瓦·时，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少千瓦·时? 22．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 23．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）在“如何设计宣传牌”校园主题活动中，老师向七（1）班的同学提出如下设计要求，请你根据内容帮助他们完成任务． 要求一：宣传牌呈长方形，长，宽，拟在上面书写24个字．中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等．（如图1） 要求二：为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．（如图2） 要求三：每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行的中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．（如图3） 任务一：分析数量关系．设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽； 任务二：确定四周宽度．求出四周宽度的值； 任务三：确定栏目大小．求每个栏目的竖直高度． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 25．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点1 一元一次方程的应用之古代问题】 【例1】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 【变式2】（25-26七年级上·天津·期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间． (1)用含x的代数式填表： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1) (2)，该店有8间客房，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． （1）根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”填写表格即可． （2）房客总数相同列方程即可解答． 【详解】（1）解：填表如下： 每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人 第一种方案 7 x 第二种方案 9 故答案为：． （2）解：根据题意可得：， 解得：， 故该店有8间客房． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 ∴， ∴， 解得， ∴ ∴有个人，有两银子． （2）解：设有两银子． 根据题意得 ∴ ∴ ∴ 则 ∴有个人，有两银子． 【考点2 一元一次方程的应用之销售问题】 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【答案】(1)这种服装每件的成本是125元 (2)①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元；②小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设这种服装每件的成本是x元，利用利润=售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据给出的优惠方案，可求出两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数及两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，再利用节省的钱数=两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数之和﹣两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，即可求出结论； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品，根据一起参加优惠活动并一起支付比三人分别支付的总和便宜200元（即三人分开支付时支付的费用之和为3000元），可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这种服装每件的成本是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种服装每件的成本是125元； （2）解：①∵（元），（元），（元）， ∴两人分开支付时，小聪的妈妈需支付960元，小慧的妈妈需支付1100元， ∵（元），（元）， ∴两人一起参加优惠活动并一起支付时共需支付1960元， ∴（元）． 答：若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品， 根据题意得：， 解得：． 答：小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【变式1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力草莓和奶油草莓进行销售．已知2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元． (1)求每箱巧克力草莓与每箱奶油草莓的进价分别是多少元； (2)若某天该超市购进了巧克力草莓20箱，且每箱价格提高出售，购进了奶油草莓箱，且每箱价格提高出售，这天该超市全部卖完获得的利润为元，求购进了奶油草莓多少箱． 【答案】(1)每箱巧克力草莓的进价为元，每箱奶油草莓的进价为元 (2)购进了奶油草莓35箱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键， （1）设每箱巧克力草莓的进价为元，根据2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元，列出方程进行求解即可； （2）根据超市全部卖完获得的利润为元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱巧克力草莓的进价为元，由题意，得： ， 解得：， （元）； 答：每箱巧克力草莓的进价为元，每箱奶油草莓的进价为元； （2）由题意，得：， 解得：； 答：购进了奶油草莓35箱． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【答案】(1)50，360； (2)商场在平时可以盈利1400元； (3)商场实际利润是72或112元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用甲种商品每件的进价=甲种商品每件的售价-每件的利润，可求出甲种商品每件的进价，由，利用实际付款金额=一次性购物总金额，即可求出实际付款金额； （2）设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品，利用进货总价=进货单价购买数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设小明一次性购买了y件乙种商品，根据实际付款是432元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：甲种商品每件的进价为元， ， 活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付元 故答案为：50；360． （2）解：设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 元 答：商场在平时可以盈利1400元． （3）解：设小明一次性购买了件乙种商品， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，元 当时，元 答：商场实际利润是72或112元． 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【答案】(1)甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元 (2)B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元，列出方程进行求解即可； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的，根据乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再根据甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，列出算式，求出甲种糖果的标价即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的， 根据题意得：， 解得：， ∴（元/千克）． 答：B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克． 【考点3 一元一次方程的应用之方案问题】 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式每借阅一本为一次方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次为正整数 (1)根据题意填空，表中： ， ； 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用元 60 70 … m 方式二的总费用元 30 60 … n (2)通过计算说明当和时，分别应选择哪种付费方式更合算？ (3)若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方式借阅次数比较多？ 【答案】(1)，3x (2)当时，方式二更合算；当时，方式一更合算 (3)选择方式一借阅次数比较多 【分析】本题考查了代数式表示实际问题、代数式求值、一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意、建立模型、代入比较求解． （1）从借阅10次，20次方式一、方式二总费用与次数的关系即可得到表示的； （2）根据求代数式的值的方法，求出两种付费方式的费用，再比较即可； （3）根据不同借阅计费方式列出方程，求出次数， 再比较即可 【详解】（1）由表格数据可知（费用单位为：元）： 借阅10次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 借阅20次，方式一的总费用为，方式二的总费用为； 故借阅次，方式一的总费用为, 方式二的总费用为. 故答案为：； （2）当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式二更合算； 当时， 方式一：（元）, 方式二：（元）, 因为, 所以方式一更合算； （3）若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100 元， 则 方式一：, 解得， 方式二：， 解得 因为为正整数， 所以取, 因为, 所以若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，选择方式一借阅次数比较多． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）五一假期期间，小明、小亮等同学随家人一同到某景点游玩，下面是购票时，小明与爸爸的对话． (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算，哪种方式买票更省钱？并说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了12个成人，6个学生 (2)购买16张团体票，2张学生票更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）利用总价单价数量，求出各购票方式所需费用． （1）设小明他们一共去了个成人，则去了个学生，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出去的成人数，再将其代入中即可求出去的学生数； （2）利用总价单价数量，可求出购买16张团体票、2张学生票所需费用以及购买18张团体票所需费用，将其与525比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了个成人，则去了个学生， 依题意得：， 解得：， ． 答：小明他们一共去了12个成人，6个学生． （2）解：购买16张团体票，2张学生票更省钱，理由如下： 购买16张团体票，2张学生票所需费用为（元； 购买18张团体票所需费用为（元． ， 购买16张团体票，2张学生票更省钱． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【答案】(1)一班购票需要800元 (2)二班有44人 (3)三班有45人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据方案一列式计算即可； （2）设2班有x名学生，根据购票费用为702元，列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：一班购票需要800元； （2）解：设二班有x人， 由题意，得 解得 答：二班有44人； （3）解：由题意，得 解得， 答：三班有45人． 【考点4 一元一次方程的应用之配套问题】 【例4】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 【变式2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）张老师准备购买A、B两种品牌钢笔，用于对表现优秀的学生进行奖励．已知A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元．经预算，张老师购买两种钢笔共需花费588元，且A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支． (1)求预算中两种品牌钢笔的数量分别是多少？ (2)张老师付款时，被告知文具店正推出“满送”活动：每消费100元送1张兑换券，凭此券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔．张老师将所得兑换券全部兑换后，恰好使两种品牌钢笔的总数量相同．请求出用于兑换两种品牌钢笔的兑换券各是多少张？ 【答案】(1)A品牌36只，B品牌38只 (2)A品牌4张，B品牌1张 【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及应用，解题的关键点在于先根据价格和总花费的关系求出两种钢笔原本的数量，再根据“满送”活动和最终两种钢笔数量相同的条件来确定兑换券的使用情况． （1）先解设未知数，可通过A、B品牌钢笔的单只价格以及花费总价格列式，再由A、B品牌钢笔的数量关系列式，构造一元一次方程求解即可． （2）可先求出可兑换的兑换券的张数，再根据消费券的总数以及钢笔数量相等列式即可，由一元一次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：设预算中购买A品牌钢笔x只， 因为A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支， 所以预算中购买B品牌钢笔只， 因为A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元，且共花费588元， 则有， 解得， 所以预算中购买A品牌钢笔36只，预算中购买B品牌钢笔38只． （2）解：设用于兑换A品牌钢笔的兑换券m张， 因为总共花费588元，而每消费100元送1张兑换券， 所以共兑换5张消费券， 所以用于兑换B品牌钢笔的兑换券张， 又因为1张消费券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔，且兑换后两种品牌钢笔的总数量相同， 则有， 解得， 所以用于兑换A品牌钢笔的兑换券4张，用于兑换B品牌钢笔的兑换券1张． 【考点5 一元一次方程的应用之工程问题】 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）杭州亚运会期间，某工厂接到一批亚运会纪念品生产任务，组委会要求6天内完成．若工厂安排 10 位工人生产，则6天后剩余1200套纪念品未生产；若安排15 位工人生产，则恰好提前一天完成纪念品生产任务，问每位工人每天生产多少套纪念品(要求列方程解答)？ 【答案】80 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每位工人每天生产x套纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可． 【详解】解：设每位工人每天生产x套纪念品， 由题意得， 解得， 答：每位工人每天生产80套纪念品． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 【考点6 一元一次方程的应用之行程问题】 【例6】（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为，根据运行里程比原来缩短了建立方程解答即可． 【详解】解：设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 【变式1】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）列一元一次方程解决实际问题 某船从码头顺流航行到码头，然后逆流返行到码头，共行小时，已知船在静水中的速度为千米每小时，水流速度为千米每小时，若与的距离比与的距离短千米，求与的距离 【答案】千米或千米 【分析】本题主要考查列一元一次方程解决实际问题；涉及到路程、速度和时间的关系．流水行船问题的速度公式：即顺水速度静水速度水流速度、逆水速度静水速度水流速度；行程问题的基本数量关系：时间路程速度，且总时间等于各段行程所用时间之和，是列方程的关键依据；分类讨论思想：由于码头相对于码头的位置不明确(可能在之间，也可能在的上游)，需分两种情况分析并分别列方程求解，避免漏解． 【详解】解：设与的距离为千米，由题意可得： 当在与之间时 解之得： 当在的上游时： 解之得： 答：与的距离是千米或千米． 【变式3】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【答案】(1)；30 (2)联络员第一次追上前队用了小时 (3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）根据两队行驶的速度列出算式求出后队第一次追上前队所用时间即可；根据速度、路程和时间关系，求出联络员行驶的路程即可； （2）设联络员第一次追上前对用了x小时，根据联络员第一次追上前队需要行驶的路程与前队行驶的总路程相等，列出方程，解方程即可； （3）设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意列出方程，求出y，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为： （千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 【考点7 一元一次方程的应用之数字问题】 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为． (1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整； ②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值． (2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②或3 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）①求出三阶幻方的幻和为，再根据三阶幻方的特点填充即可；②根据幻方的特点可得，即可求出x的值； （2）①求出所有数字的代数和，再除以2即可得出答案；②结合“幻圆”的幻和求出，，，再分类讨论的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：①三阶幻方的幻和为， ， ， ， 填充幻方如下： ②由题意得，， 解得． （2）解：①， 所以“幻圆”的幻和为； ②由题意得，，，， 解得，，， 当时，； 当时，； 所以或， 则或， 所以的值为或3． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数的倍 (2) (3)能，，，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）设中间数为，则其他四个数字分别为，，，，将五个数相加可得出结论； （3）设中间的数为，其他个数分别为、、、，令其相加等于，算出的值，结合数阵数的特点即可得出结论． 【详解】（1）解：十字框中的五个数的和为：， ， 十字框中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：设中间数为，则其他四个数字分别为，，，， 这五个数的和为； （3）解：设中间的数为，其他个数分别为、、、， 个数之和为， 令， 解得：， 是奇数，， 是第行第个数，符合题意， 十字框中的五个数之和能等于， 这五个数分别为：，，，，． 【变式2】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 【答案】(1)； (2)，； (3)这四个数的和不会等于112，理由如下 【分析】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是观察表格，得到表格中数的关系，再列方程解决问题． （1）观察表格直接得到答案； （2）将四个数相加，合并同类项即可； （3）根据四个数的和等于112，列出方程，再检验即可． 【详解】（1）解：由图可得：第一行第一列上的数表示为，则，，， 故答案为：，，； （2）解：四个数的和是， （3）解：这四个数的和不会等于112，理由如下： ， ， 解得， 这四个数是22，24，32，34， 表中的数是连续的奇数， 故用正方形圈出的四个数的和不会等于112． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期末） 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 【答案】（1）①；②2；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数字的表示方法，是解题的关键： （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据数字的表示方法，列出方程进行求解即可； （2）根据数字的表示方法，进行整式的加减运算，求出结果后，进行判断即可； （3）根据流程图和数字的表示方法进行计算即可． 【详解】解：（1）①可表示为 ②∵， ∴， 解得：； 故答案为：2； （2）解：由信息1和信息2可知 能被9整除． （3），理由如下： 将输入运算程序，得： 减去得： 而四位数可以表示为：． 所以 即 所以 即． 【考点8 一元一次方程的应用之比赛问题】 【例8】（24-25七年级上·全国·期末）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【答案】参赛者C答对的题数为13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据题意求出答对一道题得5分，错一道扣1分，再设参赛者C答对的题数为x，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由参赛者A可得，答对一题得（分）， 结合参赛者B可得，答错一题扣（分）. 设参赛者C答对的题数为x， 根据题意，得， 解得：． 答：参赛者C答对的题数为13． 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)该参赛者答对的题数为41． (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查读表能力和一元一次方程应用或假设法应用，掌握这些方法是解题关键． （1）通过读表格参赛者A即可得出答对一题得2分，通过参赛者B得知48×2=96，而实际只得94分，错了两个题扣了2分，所以答错一题扣1分； （2）通过设未知数或假设全对再求答错个数来求出实际答对个数； （3）通过（2）中的方法对答对题目个数进行求解，得到个数不是整数从而证明不可能得到90分． 【详解】（1）解：由表格知，答对一题得分，答错一题扣分； 故答案为：2；1； （2）设该参赛者答对的题数为x． 依题意，． 解得． 所以，该参赛者答对的题数为41． （3）若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m． 则， 解得． 因为不是整数，参赛者的得分不可能是90． 【变式2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)他答对了16道题； (2)不可能，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）根据题意得出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学F答对了a道题，答错了道题，根据题意列出方程求解即可； （2）假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题，根据答对的得分+答错的得分分建立方程求出其解即可，注意b要为整数． 【详解】（1）解：根据题意得：答对一题得分，答错一题扣分， 设同学F答对了a道题，答错了道题，由题意得： ， 解得：． 答：他答对了16道题； （2）解：不可能，理由如下： 假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题， 由题意得， 解得：， ∵b为整数， 而不是整数， ∴同学G说他得85分，是不可能的． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 【考点9 一元一次方程的应用之几何问题】 【例9】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【答案】(1)6；6 (2) (3)3或或10 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积和绝对值与偶次方的非负性，解题关键是利用分类讨论的数学思想解决问题． （1）根据偶次方和绝对值的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）先根据已知条件求出，，再根据把四边形的周长平分列出关于t的方程，解方程求出t即可； （3）分三种情况讨论：①点P在上时，②相遇前，点P在上，③相遇后，点P与点D重合，Q都在上，分别画出图形，再根据面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵运动时间为， ∴，， ∵把四边形的周长平分， ∴， ， 解得：； （3）解：分三种情况讨论： ①点P在上时，如图所示： ∵的面积， ， 解得：； ②相遇前，点P在上， 由题意得：，， ∴ ， ∴的面积， ， 解得：； ③相遇后，点P与点D重合，P，Q都在上，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴的面积， ， 解得：， ∴或或10， 故答案为：3或或10． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式； (2)当的面积为4时，求点的运动时间． 【答案】(1) (2)秒或6秒． 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式，分别计算当点P在上、在上时S关于t的关系式即可； （2）当时，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点D． ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴S关于t的关系式为． （2）解：当时， 解得， 当时， 解得， ∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图， 在长方形中， 动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连结．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形时， ． (3)若点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D，同时点P以原速度继续向点C运动．在点Q的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点Q关于点D的中心对称点 直接写出． 的面积是面积的 时t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①或；②的面积是面积的 时t的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得图形中存在轴对称图形，则，如图： ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点Q到达点A后，以原速度的2倍返回到点D的时间为：， 长方形的周长为：， 当平分周长时，， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：； ②当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是△PCD面积的 ， ∴， 解得：， 当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是面积的 ， ∴， 解得：， 当时，，，如图： ∴， ∴， ， ∵的面积是面积的 ， ∴， 解得：， 综上，的面积是面积的 时t的值为或或． 【考点10 一元一次方程的应用之日历问题】 【例10】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是； (2)这三个数分别是、、 (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出日历中的规律是解题的关键． （1）观察日历即可求解； （2）设中间的数为，则有，即可求解； （3）设最左上角的数为，则有，即可求解． 【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为， 竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是； （2）解：设中间的数为，则有 ， 解得， 所以， ， 故这三个数分别是、、； （3）解：不能； 理由如下： 设最左上角的数为，则有 ， 解得， 所以，，， 所以四个数分别是、、、， 由日历得与不在同一列，与不在同一列， 故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60． 【变式1】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据框最中间的数，表示出其余个数是解决问题的关键． （1）根据框最中间的数，表示出其余个数，再列出个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，，然后根据数的位置解答即可． 【详解】（1）解：解：∵框最中间的数为a，则其余4个数分别为，，，， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， 结合日历表，得出当正中间的数为17时，右上角、右下角的数不存在，所以这5个数的和不能等于85． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列代数式及找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和； （2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，， “”型框中的5个数的和为； （2）解：能，理由如下 根据题意得：， 解得：， ，， 在第6列，符合题意， “”型框中的5个数的和能等于758，的值为140． 【变式3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 【考点11 一元一次方程的应用之电费和水费问题】 【例11】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】(1)150 (2)180度，108元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）先判断200是否大于a，再根据计费规则列一元一次方程，即可求解； （2）设6月份共用电x度，则电费为元，根据计费规则列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：经验算：若，则， ∴，即有超过的部分， ∴， 解得：； （2）解：设6月份共用电x度， 则， 解得：， （元）， 即月份共用电180度，应交电费108元． 【变式1】（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【答案】(1)见解析 (2)甲公司的收费是：元；乙公司的收费是：元 (3)18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）根据所给的收费标准列式计算即可； （3）根据题意结合（2）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，甲公司收费9元； 当，甲公司收费元； 当时，乙公司收费元； 当时，乙公司收费元； 填表如下： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … （2）解：由题意得，甲公司的收费为元， 乙公司的收费为元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同， 故答案为：18． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：该用户12月份需缴污水处理费19元；任务2：应缴水费为元；任务3：该用户5、6月份各用水、吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元，根据该用户2023年12月份所缴水费中自来水费为67元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务2：利用总价=单价×数量，结合该市“阶梯收费”的标准，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨，根据该用户2023年5、6月份共缴水费210元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该用户12月份需缴污水处理费19元； 任务2：根据题意得：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 答：应缴水费为元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴（吨）． 答：该用户5、6月份各用水、吨． 【考点12 一元一次方程的应用之数轴上的动点问题】 【例12】（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上的线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，点B与D重合？ (2)问运动多少秒时，的长度为8？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； （1）设运动t秒时，根据点和点重合列方程解答即可； （2）设运动秒时，点B、C所表示的数分别为，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：设运动t秒时，点B与D重合． 则． 解得． 答：当运动秒时，点B与D重合． （2）解：∵，点A表示的数是， ∴点B表示的数是． 设运动秒时，的长为8，这时点B、C所表示的数分别为． 则． ∵， ． ， 或． 解得或． 答：运动秒或秒时，的长为8． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P对应的数为 (2)t=3 (3)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用． （1）由二次三项式可求，，进而表示出和，建立方程求解即可； （2）先将动点用含t的式子表示出来，进而在表示两点距离，这里有两种方法一则是利用绝对值，再分类讨论，二则是先分类讨论，然后表示，最后利用建立方程求解即可； （3）和第二问一样，先表示出动点，再分类讨论，要与t无关，令t的系数为0即可得解． 【详解】（1）解：是关于x的二次三项式， ，， ，， 点A表示的数为，点表示的数为4， 设P对应的数为， 根据题意可得：，， ， ， 解得：， 答：点P对应的数为； （2）解：当运动的时间为t秒时， 点P表示的数为：，点A表示的数为：，点B表示的数为：， ，， ， ， 或， 当时，方程无解， 当时， 解得：， 的值为3； （3）解：当运动t秒时，点A对应的数为：，点C对应的数为：， ，， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ， ， 解得； ②当时，， ， ， 解得； 综上，当时，，当时，． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 【答案】(1)，1 (2)此时点M对应的数是或6； (3)①的值为或或；②或或 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及数轴表示数、非负式和为零的条件、两点之间距离、数轴上中点表示方法、数轴动点问题等，根据题意，准确找到各个点表示的数，数形结合列式求解即可得到答案． （1）根据数轴的定义，由非负式和为零的条件得方程求解即可得到点、点表示的数，再由数轴上中点表示方法代值求解即可得到点M对应的数； （2）根据题意，数形结合，分三种情况讨论，列方程求解即可得到答案； （3）①根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案；②根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上点表示数，点表示数，且满足， ，且，解得， 点表示的数为；点表示的数为； 点M为线段的中点， 点M对应的数为， 故答案为：，1； （2）解：根据题意，分三种情况讨论： 当时，，则，解得； 当时，，不存在这样的； 当时，，则，解得； 综上所述，此时点M对应的数是或6； （3）解：①设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或； ②设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 【答案】(1)；16 (2)①12②或8 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可解答； （2）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，列方程求解即可； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论，（Ⅰ）当为中点时，，（Ⅱ）当为中点时，，（Ⅲ）当为中点时，，列方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在的左侧时，②当点与重合时，③当点在的右侧时，表示出即可解答． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，， 故答案为：；16． （2）解：①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当点、重合时，即， 解得， 当，点、重合， 故答案为：12； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为， （Ⅰ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅱ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅲ）当为中点时，，如图， 即，该方程无解； 综上，或8 （3）解：，为中点， ， 点表示的数为：， ①当点在的左侧时，如图， ， ，， 代数式的值会随的增大而增大，不可能为定值； ②当点与重合时，，、的关系无法确定该代数式的值； ③当点在的右侧时，如图， ， 当时，代数式的值与无关， 综上，当点运动到点右侧且时，的值是定值48． 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该衣服的进价为x元，则售价为元，根据毛利率计算公式列出方程求出进价，进而求出售价即可求出对应的利润． 【详解】解：设该衣服的进价为x元，则售价为元， 由题意得，， 解得， 元， ∴销售该物品所得的利润为250元， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏；若人一组，每组个杏，则多个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是根据题意找相等关系，列出相应的方程．根据人一组，每组个杏，则多个杏，可知杏的总数为；若人一组，每组个杏，则多个杏，可知杏的总数为，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 4．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设个数中最小的数为，根据“”型框框中个数的位置关系可得：、、、，当框中的五个数的和是时，可列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】解：设个数中最小的数为，则其他个数分别为、、、， 根据题意得：， 整理得：， 解方程得：， 答：当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是. 故选：C ． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：或找大长方形的宽做相等关系得． 所以小宇正确，小颖不正确． 故选：A． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小红、小军分别从一条公路上的、两地同时相向而行，当小红行驶完600米时，小军恰好走了、两地之间距离的，此时两人相距100米，则、两地之间距离为 米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设、两地之间距离为米，分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：设、两地之间距离为米， ①两人未相遇前相距100米， 则， 解得：； ②两人相遇后相距100千米， 则， 解得：， 即、两地之间距离为或米， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·四川广安·期末）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 【答案】450 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解． 【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等 根据题意，得， 解得， 故答案为：450． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 【答案】八 【分析】设商店应打x折，根据某种商品每件的进价为120元，标价为180元，利润率为，根据题意列方程,进行求解即可．本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设商店应打x折， 由题意可得， 解得 ∴商店应打八折， 故答案为：八． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶，它是由个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式加减的应用，设第一行第个数是，则第三行第个数为，即可得，进而得到第二行第个数是，再列出方程求出即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，设第一行第个数是，则第三行第个数为， 由题意得，， ∴， ∴第二行第个数是， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小长方形的长为y，宽为x，根据大长方形的宽，，求出，然后根据阴影部分的周长是16，得出关于x的方程，解方程求出x，然后根据阴影部分的周长是22，得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，设小长方形的长为y，宽为x， 根据图形发现： ∴， ∵阴影部分的周长是16， ∴， 解得， ∴， ∴大长方形的长为， ∵阴影部分的周长是22， ∴ 解得， ∴， ∴长方形的面积是， 故答案为：3． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 【答案】或 【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ， ， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 三、解答题 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 【答案】人数有21人，羊价是171元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 可设买羊人数为未知数，等量关系为：买羊人数买羊人数，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设有x个人，根据题意，得： ， 解得：， （元）， 答：人数有21人，羊价是171元． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． (2)440元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设该超市购进玩偶件，根据用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣得：，解方程可得答案； （2）用玩偶和钥匙扣利润相加，列式计算即可得答案． 【详解】（1）解：设该超市购进玩偶件，则购进钥匙扣件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． （2）解： （元）． 答：该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得利润440元． 17．（24-25七年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 (1)嘉嘉投中A区6次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； (2)琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分？如果能请求出，如果不能请说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的得分为分 (2)琪琪的得分不能正好超嘉嘉10分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）根据嘉嘉投中A区6次，B区2次，脱靶2次，结合表格列出算式可求解； （2）由题意列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵嘉嘉投中A区6次，B区2次，脱靶2次， ∴（分）， 答：嘉嘉的得分为分； （2）解：∵琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，即琪琪投中A区次，B区1次，脱靶次， ∴由题意可得：， 解得：． ∵为正整数， ∴不符合题意． 答：琪琪的得分不能正好超嘉嘉10分． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，线段 ，点在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，点在数轴上表示的数分别为________； (2)当为何值时，原点恰好是的中点． 【答案】(1)， (2)当时，原点恰好是的中点 【分析】本题考查了数轴与动点问题，掌握数轴上任意两点之间的距离公式和行程问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题意列出方程，即可求出点与点的相遇时所求时间，即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式即可求出和，然后根据点、点与点的相对位置分类讨论，分别列出方程求出值即可． 【详解】（1）解：（单位长度），点在数轴上表示的数是， 点表示的数是． 又（单位长度），点在数轴上表示的数是， 点表示的数是． 由题意可得：， 即， 解得， 当点与点相遇时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 故答案为：，． （2）解：点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ，， 点运动到点所需时间为，点运动到点所需时间为， ①若运动后，点在点的左侧，点在点的右侧，是的中点，则， 此时，解得； ②若运动后，点在点的右侧，点在点的左侧，是的中点，则， 此时，解得，不符合，故舍去． 当时，原点恰好是的中点． 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)乙校单独购买服装应付元． (2)甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； (3)最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 【分析】考查一元一次方程的应用及方案选择问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出乙校参加演出的人数即可求解； （2）甲校的人数多于乙校的人数，可得甲校服装的单价为50，乙校服装的单价为60元，等量关系为：甲校服装的总价乙校服装的总价，把相关数值代入求解即可； （3）比较校合买服装的总价钱以及按照单价元买时的总价钱即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：（人）， ∴乙校单独购买服装应付：（元） 答：乙校单独购买服装应付元； （2）解：设甲校人，则乙校人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则, ∴， 解得：， ∴（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； （3）解：甲校有人参加演出，乙校有人参加演出， 两校联合：元， 而此时比各自购买节约了：元， 若两校联合购买了套只需：元， 此时又比联合购买每套节约：元， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买套服装， 即比实际人数多买套， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 20．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)22； (2)不会是90，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．观察日历，得到，中的各个数字的联系是解决本题的关键． （1）观察“U型”中最小的数和最大的数相差多少即可得到最大的数是多少； （2）设中正中心的数为a，表示出其余的数，进而根据和为90列出方程求得正中心的数，结合图形看是否在日历中即可； （3）分别表示出和，根据得到a和b关系，进而根据日历中a可取的最大值得到b的最小值，即可得到的最大值． 【详解】（1）“U型”中最小的数为13，“U型”中最小的数和最大的数相差9， 最大的数为22， 故答案为：22； （2）的值不会是90，理由： 设中正中心的数为a，则其余的数为，，，， ， ， 解得：， 观察日历可得：18不会在的正中心， 的值不会是90； （3）设中最小的数为，则其余的数为：中正中心的数为， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∵求的最大值，最大可取 24， ∴ b取最小值 8， ∴的最大值． 21．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【教材变式】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240千瓦·时，第二档：月用电量为240~400千瓦·时，第三档：月用电量超过400千瓦·时）．设居民每月用电量为（千瓦·时），收费标准如表． 月用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过240千瓦·时 每千瓦·时0.55元 240~400千瓦·时 超过240千瓦·时的部分每千瓦·时0.75元 超过400千瓦·时 超过400千瓦·时的部分每千瓦·时1.5元 (1)每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费_____元；每月用电量超过400千瓦·时，应交电费_____元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150千瓦·时，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)； (2)应交电费82.5元 (3)该户居民用电372千瓦·时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400千瓦时的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400千瓦·时，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电千瓦·时． 22．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 【答案】（1），；（2）4.4 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据“距离速度时间”即可列出骑手甲离开商店A的距离和骑手乙离开商店A的距离； （2）根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离”列方程，解出即可． 【详解】解：（1）设骑手甲行驶的时间为分钟． 因为甲的平均速度为600米/分， 所以骑手甲离开商店A的距离为米： 因为乙的平均速度为400米/分，2分钟后乙出发， 所以骑手乙离开商店A的距离为米． 故答案为：，； （2）依题意得， 整理得， 则， 解得， 答：的值为4.4． 23．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）在“如何设计宣传牌”校园主题活动中，老师向七（1）班的同学提出如下设计要求，请你根据内容帮助他们完成任务． 要求一：宣传牌呈长方形，长，宽，拟在上面书写24个字．中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等．（如图1） 要求二：为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．（如图2） 要求三：每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行的中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．（如图3） 任务一：分析数量关系．设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽； 任务二：确定四周宽度．求出四周宽度的值； 任务三：确定栏目大小．求每个栏目的竖直高度． 【答案】任务一：设计部分的长为，宽为；任务二：；任务三： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1，根据题意，设计部分的长为，宽为； 任务2，由设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，得，可解得答案； 任务3，设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行的中间间隔为， 则竖向两行中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，求解即可． 【详解】解：任务1： 根据题意，设计部分的长为，宽为； 任务2： ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍， ， 解得：， ∴四周宽度是； 任务3：设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行的中间间隔为， 则竖向两行中间间隔是， 根据正方形边长相等可得：， 解得：， ∴每个栏目的竖直高度为． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 25．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 【答案】（1），，， （2）点表示的数是，，，（3）秒，秒或秒 【分析】本题考查了数轴-新定义型，一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握分情况讨论的思想． （1）根据图形可直接解答； （2）分四种情况：当点在点的右边时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点的左边时；利用倍点的定义列式解即可； （3）点恰好是和两点的倍点，可分为三种情况：当在点，之间，且离点近时；当在点，之间，且离点近时；当在的左边时；解得有个值． 【详解】解：（1）如图，∵， ∴， 点既是点和点的倍点，点又是点和点的倍点， 故答案为：，，，； （2）解：设点表示的数是， 当点在点的右边时，此时是正数，点是点和的倍点，则，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点的左边时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 综上，点表示的数是，，，； （3）设运动秒，点恰好是和两点的倍点， 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在的左边时，则有，即，解得； 所以，点运动秒，秒或秒时，点恰好是和两点的倍点． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $