2024-2025学年人教版九年级数学上点拨训练第22章第10讲 二次函数与一元二次方程

人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第10讲 二次函数与一元二次方程 学习目标： 1 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2 通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。 老师告诉你 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中y的值等于m，求自变量x的值，可以看成解一元二次方程ax2＋bx＋c=m，反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c=m，又可以看成已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中y的值等于m求自变量x的值，也就是说： 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y=m的公共点的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c=m的根的情况。 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y=mx+n(m≠0)的公共部分的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c=m的根的情况 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。 【新知导学】 例1-1．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（1，0），（3，0），则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝2 B．当x＞2时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和3 D．当y＜0时，x＜1 4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3 知识点2二次函数与x轴交点个数的问题 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 【新知导学】 例2-1．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．若关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（　　） A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣6 3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 知识点3用图像法求一元二次方程的近似解 画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。 【新知导学】 例3-1．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【对应导练】 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．ac＜0 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．b2﹣4ac＜0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解为x1≈﹣0.5，x2≈3.2 2．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　） x 1 2 3 4 y ﹣3 ﹣1 3 9 A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5 3．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 知识点4用图像法求一元二次不等式的解集 【新知导学】 例4-1．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2+m与y轴交于点C，与直线y2＝kx+b交于点A（1，0），B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出满足不等式（x﹣2）2+m﹣kx﹣b＞0的x的取值范围． 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 2．我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0）．此时x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是 　﹣3≤x≤1　． 3．如图，已知二次函数经过点B（3，0）和点C（0，﹣3）， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求△ABC的面积． 2、 题型训练 1. 二次函数的图像与线段的交点情况求字母取值范围 1．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m． （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围． 2. 二次函数的图像上的点到坐标轴的距离问题 2 .函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数． （1）若函数的图象开口向上，求函数的表达式，并说明在函数图象上y随x怎样变化？ （2）在问题（1）中的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 一元二次方程的解的应用 要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线y＝x2﹣x和直线y＝x+3的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：　x2﹣x＝x+3　； ②把①中方程化为一般形式：　x2﹣2x﹣3＝0　； ③求得交点横坐标：　x1＝﹣1，x1＝3　． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：　x2﹣x＝x+3　， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线 　y＝x2﹣x　和直线 　y＝x+3　的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然x＝0不是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解，于是这个可以变形为：x2﹣2x＝3； 两边同除以x后得：　　， 于是求方程x2﹣2x＝3的解可以看作是求函数 　y＝x﹣2　和 　　的交点横坐标． 这里找到的是 　一次函数　、　反比例函数　综合题与 　一元二次方程　的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 4. 图像法说明一元二次方程与不等式的解集的关系 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：设x2﹣5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝﹣x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 　①　和 　③　．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想中 ③数形结合思想 （2）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0． 3、 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．若二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是直线x＝﹣3，则关于x的方程x2+mx＝0的解为（　　） A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7 2．已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴的交点的横坐标为﹣b，则a﹣b的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①abc＜0 ②2a＞b ③b2﹣4ac＞0 ④（a+c）2＜b2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．抛物线y＝ax2+ax+1的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（2.5，0） 5．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1 6．已知正比例函数y＝kx的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣1的图象与x轴的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 7．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（　　） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.4 8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞﹣1或 x＜5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 ． 二．填空题（共5小题） 9．二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 ． 10．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2019的值为 　 ． 11．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　． 12．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是　 　． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 13．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为　 三．解答题（共6小题） 14．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 15．已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2． （1）求证：对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有交点． （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，B（1，0），求点A的坐标． 16．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　 （2）进一步探究函数图象发现： ①方程x2﹣2|x|＝0有 　 　个实数根； ②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　 　． 17．已知：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0）、C（0，﹣2）． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）写出该抛物线顶点M的坐标； （3）连接AC、BC、AM、BM，则△ABM的面积：△ABC的面积＝　　． 18．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）． （1）当k＝1，求二次函数的对称轴和顶点坐标． （2）是否存在一个k值，使得二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标． （2）若a＝﹣1，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，求证：2b+c＞4． （3）若函数图象经过点（2，m），当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第10讲 二次函数与一元二次方程（解析版） 学习目标： 1 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2 通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。 老师告诉你 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中y的值等于m，求自变量x的值，可以看成解一元二次方程ax2＋bx＋c=m，反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c=m，又可以看成已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中y的值等于m求自变量x的值，也就是说： 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y=m的公共点的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c=m的根的情况。 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y=mx+n(m≠0)的公共部分的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c=m的根的情况 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。 【新知导学】 例1-1．若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A．（﹣3，0）、（1，0） B．（﹣2，0）、（2，0） C．（﹣1，0）、（1，0） D．（﹣1，0）、（3，0） 【分析】先把x＝2代入ax2+k＝0得出k＝﹣4a，再把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k，然后令y＝0，解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是解方程方法的应用． 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），从而可确定方程ax2+bx+c＝0的另一个根． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5， 即方程的另一个根为﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出＞1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn＝＝1，即 n＝，根据 n≥3，得出 ≥3 求出m的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧， ∵（n，0）中n≥3， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即a＜0， 把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1， 即b＝1﹣a﹣c， ∵a＜0，c＜0， ∴b＞0， 故①错误； ②∵a＜0，b＞0，c＜0，＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0， 即mn＞0， ∵n≥3， ∴m＞0， ∴＞1.5， 即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方， ∴＞1， ∵4a＜0， ∴4ac﹣b2＜4a， 故②正确； ③∵m＞0， ∴当 n＝3 时，＞1.5， ∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离， ∵a＜0，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴t＞1， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0， ∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0． ∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 即a2+2ac+c2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0， 即a＝c， ∵（m，0），（n，0）在抛物线上， ∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根， ∴mn＝＝1， ∴n＝， ∵n≥3， ∴， ∴0． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（1，0），（3，0），则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝2 B．当x＞2时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和3 D．当y＜0时，x＜1 【分析】通过图象判定函数的对称轴，增减性，方程的解以及y＜0时，x的值． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（1，0），（3，0）， ∴对称轴为直线x＝，故A选项正确； ∵对称轴为直线x＝2，开口向下， ∴当x＞时，y随x的增大而减小，故B选项正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（1，0），（3，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象得，当y＜0时，x＜1或x＞3，故D选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象进行判定是解题的关键． 4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0 ）、（3，0），则当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0 ）、（3，0）， ∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3， 故选：C． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的图象与x轴的交点坐标等知识，运用数形结合的数学思想得到当y＝0时的x的值是解题的关键． 知识点2二次函数与x轴交点个数的问题 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 【新知导学】 例2-1．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【解答】解∵方程ax2+bx+1＝0可化为ax2+bx＝﹣1， ∴一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1有两个不同的交点，即方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 2．若关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（　　） A．4 B．﹣3 C．5 D．﹣6 【分析】关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【解答】解：∵关于x的函数y＝x2+bx+3与x轴有两个不同的交点， ∴b2﹣4×3＞0， ∴b2＞12， ∴四个选项中只有B选项中的数不满足b2＞12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【分析】依据题意，关于x的方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根． 故选：C． 【点评】本题主要考查了方程ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点． 知识点3用图像法求一元二次方程的近似解 画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。 【新知导学】 例3-1．如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 【对应导练】 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．ac＜0 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．b2﹣4ac＜0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解为x1≈﹣0.5，x2≈3.2 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】根据二次函数的性质和图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可得， a＞0，b＜0，c＜0， ∴ac＜0，故选项A正确，符合题意； 当1＞x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意； b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意； 一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解为x1≈﹣0.5，x2≈3.5，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、一元二次方程和二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（　　） x 1 2 3 4 y ﹣3 ﹣1 3 9 A．1.2 B．2.3 C．3.4 D．4.5 【考点】图象法求一元二次方程的近似根．版权所有 【分析】观察表格可得﹣1更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间， 故选：B． 【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 3．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质．版权所有 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可． 【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19． 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键． 知识点4用图像法求一元二次不等式的解集 【新知导学】 例4-1．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2+m与y轴交于点C，与直线y2＝kx+b交于点A（1，0），B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出满足不等式（x﹣2）2+m﹣kx﹣b＞0的x的取值范围． 【考点】二次函数与不等式（组）；坐标与图形变化﹣对称；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【分析】（1）由点A坐标求出抛物线解析式，从而可得点C及点B坐标，再通过待定系数法求直线解析式． （2）根据图象即可求解． 【解答】解：（1）将（1，0）代入y1＝（x﹣2）2+m得0＝1+m， 解得m＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y1＝（x﹣2）2﹣1， 将x＝0代入y1＝（x﹣2）2﹣1，得y1＝4﹣1＝3， ∴点C坐标为（0，3）， ∵抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1对称轴为直线x＝2， ∴点B坐标为（4，3）， 将（1，0），（4，3）代入y2＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y2＝x﹣1． （2）由图象可知，当x＜1或x＞4时，抛物线y1＝（x﹣2）2+m图象在直线y2＝kx+b的上方， ∴当x＜1或x＞4时，（x﹣2）2+m＞kx+b， ∴不等式（x﹣2）2+m﹣kx﹣b＞0的x的取值范围是x＜1或x＞4． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与不等式，，坐标与图形变化﹣对称，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【对应导练】 1．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表所示： x ﹣3 ﹣2 3 4 y ﹣12 m 0 m 则当y＜0时，x的取值范围为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣2或x＞4 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与x轴的交点坐标；当y＜0时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝＝1， ∴（﹣1，0），（3，0）在此二次函数的图象上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴当y＜0时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞3． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的对称性质和增减性． 2．我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0）．此时x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是 　﹣3≤x≤1　． 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0．画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象，观察图象可得答案． 【解答】解：由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0． 画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示， 可知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣3，0），B（1，0）， 则x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣3，x2＝1． 由此观察图象可知：不等式x2+2x﹣3≤0的解集为：﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，已知二次函数经过点B（3，0）和点C（0，﹣3）， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求△ABC的面积． 【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）根据待定系数法求解； （2）根据函数与不等式的关系求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）由题意得：9a﹣6﹣3＝0， 解得：a＝1， ∴该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意得：不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解集为：0＜x＜3； （3）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， 根据抛物线的对称性得：A（﹣1，0）， ∴△ABC的面积为：＝6． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系，掌握待定系数法、理解函数与不等式的关系及三角形的面积公式是解题的关键． 2、 题型训练 1. 二次函数的图像与线段的交点情况求字母取值范围 1．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m． （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）令y＝0，构建方程求解，即可得出结论； （2）分两种情况讨论：①当m＞0时，②当m＜0时，根据这两种情况构建不等式求解，即可解题． 【解答】解：（1）令y＝0，mx2﹣4mx+3m＝0， ∵m≠0， ∴x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝1， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． （2）当x＝2时，得y＝﹣m， 当x＝4 时，得y＝3m， 当m＞0时，，解得， 当m＜0时，，解得． ∴当m或，抛物线与线段PQ有公共点． 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2. 二次函数的图像上的点到坐标轴的距离问题 2 .函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数． （1）若函数的图象开口向上，求函数的表达式，并说明在函数图象上y随x怎样变化？ （2）在问题（1）中的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．版权所有 【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值，运用抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在左侧y随x的增大而减小． （2）根据题意，设P（a，a）或P（﹣a，a）（a≠0），分别把（a，a）和（﹣a，a）代入（1）求出的抛物线即可求出a的值，即得出答案． 【解答】解：（1）∵函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数， ∴m2﹣3m﹣2＝2，m﹣3＞0， 解得：m＝4． ∴二次函数的表达式为y＝x2， ∴抛物线的开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小； （2）根据题意，设P（a，a）或P（﹣a，a）（a≠0）， 将P（a，a）代入抛物线的解析式得a＝a2， 解得a1＝1，a2＝0（舍）， 将P（﹣a，a）代入抛物线得a＝（﹣a）2， 解得a1＝1，a2＝0（舍）． 故符合条件的点P（1，1）和p（﹣1，1）． 【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 3. 一元二次方程的解的应用 要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线y＝x2﹣x和直线y＝x+3的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：　x2﹣x＝x+3　； ②把①中方程化为一般形式：　x2﹣2x﹣3＝0　； ③求得交点横坐标：　x1＝﹣1，x1＝3　． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：　x2﹣x＝x+3　， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线 　y＝x2﹣x　和直线 　y＝x+3　的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然x＝0不是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解，于是这个可以变形为：x2﹣2x＝3； 两边同除以x后得：　　， 于是求方程x2﹣2x＝3的解可以看作是求函数 　y＝x﹣2　和 　　的交点横坐标． 这里找到的是 　一次函数　、　反比例函数　综合题与 　一元二次方程　的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）联立得到关于x的一元二次方程，解方程求出两根，反过来，可以看作一次函数和二次函数图象的交点问题即可； （2）利用等式的基本性质把一元二次方程变形后，看作是反比例函数和一次函数的交点问题即可； （3）由题意可得x2﹣7kx+12k＝0，则（7k）2﹣4×12k≥0，设z＝（7k）2﹣4×12k，由二次函数图象可知，要使z≥0，则或k≤0（不符合题意，舍去），即可得到答案． 【解答】解：（1）①利用两个图象的表达式得一元二次方程：x2﹣x＝x+3； ②把①中方程化为一般形式：x2﹣2x﹣3＝0； ③求得交点横坐标：x1＝﹣1，x1＝3． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：x2﹣x＝x+3， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线y＝x2﹣x和直线y＝x+3的交点横坐标得到的． 故答案为：①x2﹣x＝x+3；②x2﹣2x﹣3＝0；③x1＝﹣1，x1＝3，④x2﹣x＝x+3；⑤y＝x2﹣x，y＝x+3； （2）显然x＝0不是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解，于是这个可以变形为：x2﹣2x＝3； 两边同除以x后得：， 于是求方程x2﹣2x＝3的解可以看作是求函数y＝x﹣2和的交点横坐标． 这里找到的是一次函数、反比例函数综合题与一元二次方程的关系． 故答案为：；y＝x﹣2，，一次函数、反比例函数、一元二次方程； （3）由题意得：x+y＝7k，xy＝12k，即：y＝﹣x+7k，， ∴，化简得：x2﹣7kx+12k＝0， ∵由题意得（7k）2﹣4×12k≥0， 设， 当z＝0时，， 解得k1＝0，k2＝， ∴抛物线与横轴轴交于点，如图： 由二次函数图象可知， 要使z≥0，则或k≤0（不符合题意，舍去） 即：当时，小聪改建鸡圈的设想可以实现． 【点评】此题考查了二次函数、一次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 4. 图像法说明一元二次方程与不等式的解集的关系 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：设x2﹣5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝﹣x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 　①　和 　③　．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想中 ③数形结合思想 （2）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0． 【考点】二次函数与不等式（组）；数学常识；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）设x2﹣2x﹣3＝0，解方程得出抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标，画出二次函数y＝x2﹣，2x﹣3的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5＝2x﹣3＞0，即可得出结果． 【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； 故答案为：①，③； （2）设x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）． 画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当x＜﹣1或x＞3时函数图象位于x轴上方， 此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0， ∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键． 3、 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．若二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是直线x＝﹣3，则关于x的方程x2+mx＝0的解为（　　） A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【分析】先根据二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是直线x＝﹣3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝0，求出x的值即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是直线x＝﹣3， ∴﹣＝﹣3， 解得m＝﹣6， ∴关于x的方程x2+mx＝0可化为x2﹣6x＝0， 解得x1＝0，x2＝6． 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴交点以及二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键． 2．已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴的交点的横坐标为﹣b，则a﹣b的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】把（﹣b，0）代入已知抛物线解析式，通过整理得到a﹣b的值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴的交点的横坐标为﹣b， ∴抛物线y＝x2+ax+b经过点（﹣b，0）， ∴（﹣b）2+a•（﹣b）+b＝0． ∴b（b﹣a+1）＝0． ∴b﹣a+1＝0或b＝0． ∴a﹣b＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①abc＜0 ②2a＞b ③b2﹣4ac＞0 ④（a+c）2＜b2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＜0，则abc＞0，故结论错误； ②∵对称轴为直线x＞﹣1， ∴﹣＞﹣1， ∴2a＜b． 故结论错误； ③图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故结论正确； ④如图所示，当x＝1时，y＝a+b+c＜0， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0． ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2． 故结论正确． 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 4．抛物线y＝ax2+ax+1的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（2.5，0） 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【分析】根据图象可知抛物线y＝ax2+ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝﹣， ∴抛物线与x轴的另一个交点与点（﹣3，0）关于直线x＝﹣对称， ∴抛物线y＝ax2+ax+1与x轴的另一个交点坐标为（2，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的交点问题的两个交点到对称轴的距离相等． 5．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 6．已知正比例函数y＝kx的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣1的图象与x轴的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【考点】抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；二次函数的性质．版权所有 【分析】正比例函数y＝kx的函数值随自变量的增大而增大，则k＞0，Δ＝（﹣2k﹣2）2﹣4×（k2﹣1）＝8k+8＞0，即可求解． 【解答】解：正比例函数y＝kx的函数值随自变量的增大而增大，则k＞0， Δ＝（﹣2k﹣2）2﹣4×（k2﹣1）＝8k+8＞0， 故图象与x轴的交点个数为2； 故选：A． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 7．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（　　） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.4 【考点】图象法求一元二次方程的近似根．版权所有 【分析】由﹣0.20＜0＜0.22，可求解． 【解答】解：∵﹣0.20＜0＜0.22， ∴2.0＜x1＜2.2． 故选：C． 【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，采取与二次函数图象相结合的方法来求得答案． 8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞﹣1或 x＜5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题． 【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（5，0）， ∴y＜0时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞5． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9．二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　k≤9　． 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】根据二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点，可知（﹣6）2﹣4×1×k≥0，从而可以求得k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+k的图象与x轴有交点， ∴（﹣6）2﹣4×1×k≥0， 解得，k≤9， 故答案为：k≤9． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2019的值为 　﹣2018　． 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求得代数式的结果． 【解答】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， ∴m2﹣m﹣2019＝1﹣2019＝﹣2018． 故答案为：﹣2018． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 11．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣1≤t＜8　． 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答． 【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝1， 解得b＝﹣2， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x，即y＝（x﹣1）2﹣1， x＝﹣1时，y＝1+2＝3， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， y＝（x﹣1）2﹣1的最小值是﹣1， ∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故答案为：﹣1≤t＜8． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 12．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是　﹣1或3　． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用二次函数的性质由x＝﹣1时，y＝0得到x＝3时，y＝0． 【解答】解：∵x＝0和x＝2时，y的值都是3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 而x＝﹣1时，y＝0， ∴x＝3时，y＝0， 即y＝0时，x的值为﹣1或3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 13．二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为　　 【考点】抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝6，利用抛物线的对称性得到x＝4和x＝8对应的函数值相等，则可判断抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0），然后把（4，0）代入解析式可求出a的值． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝6， ∴x＝4和x＝8对应的函数值相等， ∵在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（4，0），（8，0）， 把（4，0）代入y＝ax2﹣12ax+36a﹣5得16a﹣48a+36a﹣5＝0，解得a＝． 故答案为． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 三．解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题． （1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解； （2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．版权所有 【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据函数图象即可求解． 【解答】解：（1）观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，6）， 将方程ax2＝﹣bx﹣c变形为ax2+bx+c＝0， 由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1， ∴方程ax2＝﹣bx﹣c的解为x1＝﹣3，x2＝1； （2）若方程ax2+bx+c+m＝0无实数根， 则由图象可得﹣m＞8， ∴m＜﹣8． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键． 15．（8分）已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2． （1）求证：对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有交点． （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，B（1，0），求点A的坐标． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【分析】（1）先计算判别式的值，然后判断△≥0得到结论； （2）把B点坐标代入y＝2x2﹣mx﹣m2求出m1＝﹣2，m2＝1，从而得到抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4或y＝2x2﹣x﹣1，然后分别解方程2x2+2x﹣4＝0和方程2x2+2x﹣4＝0得对应A点坐标． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣m2） ＝9m2≥0， ∴对于任意实数m，二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2的图象与x轴总有公共点； （2）解：把B（1，0）代入y＝2x2﹣mx﹣m2得2﹣m﹣m2＝0，解得m1＝﹣2，m2＝1， 当m＝﹣2时，抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4，解方程2x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，此时A点坐标为（﹣2，0）； 当m＝1时，抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1，解方程2x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣，x2＝1，此时A点坐标为（﹣，0）． 综上所述，A点坐标为（﹣2，0）或（﹣，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 16．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　 （2）进一步探究函数图象发现： ①方程x2﹣2|x|＝0有 　 　个实数根； ②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 　 　． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）描点连线即可画出函数图象，观察函数图象，写出一条性质即可； （2）①从图象上看函数与x轴有3个交点，即可求解；②当y＝a与y＝x2﹣2|x|有4个交点时，a在x轴的下方，即可求解． 【解答】解：（1）画出函数图象如图： 由图象可得一条性质是：其图象关于y 轴对称， 故答案为：其图象关于y 轴对称（答案不唯一）； （2）①方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根； 故答案为：3； ②关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是﹣1＜a＜0． 故答案为：﹣1＜a＜0． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握函数图象上点的坐标特征，熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键． 17．（9分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0）、C（0，﹣2）． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）写出该抛物线顶点M的坐标； （3）连接AC、BC、AM、BM，则△ABM的面积：△ABC的面积＝　　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将x＝﹣1代入函数解析式，求出y值，即可得出结果； （3）分别表示出两个三角形的面积，即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（﹣3，0），C（0，﹣2） ， 解得：， ∴这条抛物线的表达式为； （2）把x＝﹣1代入抛物线的表达式为得，， ∴抛物线顶点； （3）如图： ∵， ， ∴． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 18．（8分）已知关于x的二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）． （1）当k＝1，求二次函数的对称轴和顶点坐标． （2）是否存在一个k值，使得二次函数y＝3x2﹣（3+k）x+k（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【分析】（1）依据题意，当k＝1时，y＝3x2﹣4x+1，可得y＝3x2﹣4x+1＝3（x﹣）2﹣，进而可以判断得解； （2）依据题意，由y＝3x2﹣（3+k）x+k＝（3x﹣k）（x﹣1），令y＝0时，可得0＝（3x﹣k）（x﹣1），故x＝或x＝1，再结合二次函数与x轴的交点横坐标都为整数，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，当k＝1时，y＝3x2﹣4x+1， ∴y＝3x2﹣4x+1＝3（x﹣）2﹣． ∴二次函数的对称轴是直线x＝，顶点坐标为（，﹣）． （2）由题意，∵y＝3x2﹣（3+k）x+k＝（3x﹣k）（x﹣1）， ∴当y＝0时，可得0＝（3x﹣k）（x﹣1）． ∴x＝或x＝1． 又二次函数与x轴的交点横坐标都为整数， ∴也为整数． ∴k＝3（答案不唯一，3的正整数倍）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 19．（9分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标． （2）若a＝﹣1，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，求证：2b+c＞4． （3）若函数图象经过点（2，m），当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m，求a的值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）依据题意，若a＝1，则二次函数为y＝x2+bx+c，又函数图象过（0，﹣4），（3，﹣1），可得c＝﹣4，且9+3b+c＝﹣1，从而可得解析式，再化成顶点式即可判断得解； （2）依据题意，若a＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，从而可得当x＝2时，y＝﹣4+2b+c＞0，进而可以判断得解； （3）依据题意，由当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m，从而可得抛物线开口向上，可得a＞0，进而再根据对称轴的位置判断可以得解． 【解答】（1）解：若a＝1，则二次函数为y＝x2+bx+c， 又函数图象过（0，﹣4），（3，﹣1）， ∴c＝﹣4，且9+3b+c＝﹣1． ∴b＝﹣2． ∴二次函数为y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5． ∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣5）． （2）证明：若a＝﹣1，则二次函数为y＝﹣x2+bx+c， ∴抛物线开口向下． 又图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2， ∴当x＝2时，y＝﹣4+2b+c＞0． ∴2b+c＞4． （3）解：由题意，∵当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m， ∴抛物线开口向上． ∴a＞0． 若对称轴在直线x＝1的左边，即﹣＜1， 当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m， ∴当x＝﹣时，y取最小值m+1． 又m+1＞m， ∴此时不合题意． 若对称轴在直线x＝1的右侧， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＝m+1，当x＝﹣时，y取最小值m． 又抛物线过（2，m）， ∴4a+2b+c＝m，﹣＝2． ∴3a+b+1＝0，且b＝﹣4a． ∴a＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$