第10讲二次函数与一元二次方程（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第10讲二次函数与一元二次方程（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标 典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标 典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题四 抛物线与x轴的交点问题 典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题六 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题七 图象法解一元二次不等式 典型例题八 根据交点确定不等式的解集 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 知识点二：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【即时训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）求抛物线与轴的交点坐标． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山西·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 1．（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期末）抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 1．（2023九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知，当 时，的值是． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数（m为常数）的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，取什么值时，与相等？ 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．与轴的交点坐标 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 3．（24-25九年级上·青海海东·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 1．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 2．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 3．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【典型例题六 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 2．（2023·四川成都·三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的变量的部分对应值如表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个解的范围是（   ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 4．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下表为二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，可以判定的一个近似解x为 （精确到0.1）． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 【典型例题七 图象法解一元二次不等式】 1．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D．或 2．（2023·江苏淮安·一模）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 4．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）（1）在直角坐标系中画出二次函数y＝x2﹣x﹣的图象． （2）若将y＝x2﹣x﹣图象沿x轴向左平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． （3）根据图象，写出当y＞0时，x的取值范围． 【典型例题八 根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 2．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围． 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在正方形的网格中，抛物线与直线的图象如图所示，请你观察图象并回答：当时， （填“”或“”或“”号）． 4．（23-24九年级上·广西河池·期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）点B的坐标为 ； （2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； （3）方程ax2+bx+c=0的两个根为 ； （4）不等式ax2+bx+c＜0的解集为 . 1．（23-24九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·全国·课前预习）抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级上·广东云浮·期中）已知是抛物线上一点，则a的值为（   ） A． B． C．0 D．3 4．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 8．（23-24九年级上·广东湛江·期末）二次函数的部分图象如图，当时，x的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 9．（23-24九年级上·广东江门·期末）二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 10．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知函数的图象如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是 ． 12．（2025·上海虹口·一模）抛物线与轴的交点是 ． 13．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为 ． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是 ． 15．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 17． （23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 18． （23-24九年级下·全国·课后作业）方程的根与二次函数的图象之间有什么关系？ 19．（24-25九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： （1）；（2）． 20．（23-24九年级上·广东中山·期末）已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲二次函数与一元二次方程（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标 典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标 典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题四 抛物线与x轴的交点问题 典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题六 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题七 图象法解一元二次不等式 典型例题八 根据交点确定不等式的解集 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 知识点二：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【即时训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案． 【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即， ∴的解集为：或， 故选：D． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】抛物线与轴的交点坐标为，． 【分析】抛物线与x轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可． 【详解】解：令时，有， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 【点睛】本题考核了函数图像与x轴的交点坐标；解题关键点是令，正确求解方程． 1．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于对称可得结果． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴， ∴， ∴它与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求抛物线与x轴的交点，也就是令y=0解方程，解即为交点横坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以抛物线与轴的交点坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，数形结合思想，转化思想，把交点问题转化成方程的解的问题是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山西·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键． 【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【分析】令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点． 【详解】解：令，得，解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标是和． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数的性质正确计算是解题的关键． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【分析】令，求解y的值即可． 【详解】解：当时， ∴抛物线 与y轴的交点坐标是：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点坐标，熟记y轴上的点的横坐标为0是解本题的关键． 1．（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ∴抛物线与轴相交的坐标为， 故选B． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期末）抛物线与y轴的交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，根据y轴上点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点是． 故选C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．代入到，求出对应的值，即可得出答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图像与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，直线；（2） 【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （2）令x=0，求出y的值即可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线开口向上， ∵=， ∴对称轴是直线； （2）∵， ∴， ∴与y轴交点坐标是． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 【答案】1秒 【分析】把代入关系式解方程可求出． 【详解】解：当时，， 解得，， 小球第一次距离地面， ，即1秒． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是代入已知的就能求出． 1．（2023九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 2．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）下表是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格信息可知，在范围内，由此确定的范围． 【详解】解：当时，二次函数的函数值的范围为， ∴方程的一个解的范围是， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数取值问题，掌握二次函数图像中自变量的取值与函数值的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）已知，当 时，的值是． 【答案】， 【分析】此题是二次函数问题，给出了函数值，要求自变量的取值，也就是解一元二次方程，采用因式分解法即可求得. 【详解】距题意得， ， ， ， ，， 当或时，的值是. 故答案为：，. 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是能熟练解一元二次方程. 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数（m为常数）的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)的图象与x轴有两个交点，理由见解析 【分析】（1）把代即可求得的值； （2）首先求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：的图象与x轴有两个交点，理由如下， 依题意，， ∵ ∴的图象与x轴有两个交点． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出的值是解题关键． 【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】 1．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，取什么值时，与相等？ 【答案】当为1或4时，与相等 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键 【详解】解：根据题意得：， 整理得：，即，解得：， 当为1或4时，与相等． 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．与轴的交点坐标 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线的开口向下上， 故选项A错误； 令，则， 与轴的交点坐标为， 故选项B错误； 令，则， 即， ， 抛物线与轴有两个交点， 故选项C正确； 抛物线的顶点坐标为， 故选项D错误 故选：C ． 3．（24-25九年级上·青海海东·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个． 【答案】2/两 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与轴的交点，与一元二次方程的解的联系即可解答． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数解， 二次函数的图象和轴的交点有2个． 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】见解析 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明． 【详解】证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 1．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得 的点在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看， 的点在和之间， 而在和之间被选项中的数为， 的方程的一个根可能. 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 3．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 【典型例题六 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 2．（2023·四川成都·三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． 【答案】 1 1 【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴方程的一个近似根取值范围为：， ∴这个近似根的个位是1，十分为是1， 故答案为：1，1． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数据，根据表格得出近似根的取值范围． 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数的变量的部分对应值如表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个解的范围是（   ） … 0 1 … … 1 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由二次函数图象与性质求根的范围，由二次函数图象可知，当二次函数图象与轴相交时，交点左右两侧的值异号，从而根据题中表格里值的符号即可确定一个解的范围，掌握由二次函数图象与性质求根的范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； 和异号， 一元二次方程的一个解的范围是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键． 根据，，，，由函数值的正负变换即可求解． 【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，， ∴当一元二次方程的一个近似解的范围是， 故选：B ． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 0 1 2 1 7 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，根据表格可知二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间，则方程的一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知，当时，，当，， ∴二次函数与x轴一个交点在直线和直线之间， ∴方程的一个解的范围是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）下表为二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，可以判定的一个近似解x为 （精确到0.1）． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 【答案】1.7 【分析】根据表格可知，方程的根在之间，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解． 【详解】时，，时，，则方程的根在之间， 而当时，更接近于0， 原方程的一个近似解为 故答案为：1.7． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解，理解二分法求近似解的值是解题的关键． 【典型例题七 图象法解一元二次不等式】 1．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围． 故选C． 【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：      (1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）根据图象求出对称轴即可求解； （2）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （3）求出时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线 ∵抛物线开口向上， ∴当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； （3）解：由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】结合图象，在x轴上方的图象则为的部分，相对应的x的取值集合即为所求． 【详解】解：由图象可知， 当时，； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与一元二次不等式之间的关系，理解并熟知不等式，在坐标系中的图象的位置是关键． 2．（2023·江苏淮安·一模）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察函数图象在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可． 【详解】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 【答案】/ 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 4．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）（1）在直角坐标系中画出二次函数y＝x2﹣x﹣的图象． （2）若将y＝x2﹣x﹣图象沿x轴向左平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． （3）根据图象，写出当y＞0时，x的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）y＝x2+x﹣ ；（3）x＜﹣1或x＞3 【分析】（1）先将抛物线化为顶点式后，根据抛物线的顶点坐标、对称轴，与坐标轴的交点坐标即可画出图象． （2）先将抛物线化为顶点式后，由于沿x轴向左平移2个单位，从而列出函数式． （3）根据图像即可求出y＞0时，x的取值范围． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣x﹣=（x-1）2-2， ∴抛物线的顶点坐标（1，-2），对称轴x=1， ∵y＝0时，x2﹣x﹣=0，解得：x=3或x=-1， 即抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）， 当x=0时，y= -， 即抛物线与y轴交点坐标为（0，-）， ∴二次函数y＝x2﹣x﹣的图象如图： （2）∵y＝x2﹣x﹣=（x-1）2-2 ∴将y＝x2﹣x﹣图象沿x轴向左平移2个单位， 则y=（x-1+2）2-2=x2+x﹣， ∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝x2+x﹣； （3）根据图象得，当y＞0时，x＜-1或x＞3． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是会根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴以及与坐标轴的交点坐标，根据顶点的变化确定函数的变化，要熟记平移规律“左加右减，上加下减”． 【典型例题八 根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根； （2）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围； （3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时的取值范围． 【详解】（1）∵函数图象与轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)， ∴方程的两个根为，； （2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)， ∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为． （3）∵抛物线与直线相交于，两点， 由图象可知，抛物线在直线下方时的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大． 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像，写出抛物线在直线上方部分的的范围，即可求解，本题考查了二次函数交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来． 【详解】解：由图像可知，抛物线与直线其中一个交点坐标为， 另一交点横坐标为，代入，解得， 另一交点坐标为， 不等式的解集是， 故选：． 2．（23-24九年级上·重庆黔江·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键,根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于，， ∴不等式为：或， 故选：． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在正方形的网格中，抛物线与直线的图象如图所示，请你观察图象并回答：当时， （填“”或“”或“”号）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象与性质，在解答此题时，根据函数图象直接回答问题即可． 【详解】解：根据图象可知，当时，． 故答案为：＜． 4．（23-24九年级上·广西河池·期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）点B的坐标为 ； （2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； （3）方程ax2+bx+c=0的两个根为 ； （4）不等式ax2+bx+c＜0的解集为 . 【答案】（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3；（4）x＜-1或x＞3. 【分析】（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标； （2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （3）根据方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，进而得出方程的两个根； （4）利用不等式ax2+bx+c＜0，即对应图象x轴下方的部分x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等， ∵A（-1，0） ∴B点坐标为：（3，0） 故答案为（3，0）； （2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1； 故答案为x＞1； （3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3； 故答案为x1=-1，x2=3； （4）由图象可得：不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜-1或x＞3； 故答案为x＜-1或x＞3． 【点睛】本题考查二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 1．（23-24九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意观察的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可. 【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，， 所以方程的近似解是，. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解进行分析. 2．（23-24九年级上·全国·课前预习）抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先运用根判别式判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，由此解答即可． 【详解】解：在中， 令y=0，则， ∵△=22-4×（-3）3=15＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵x=0时，y=-3， ∴抛物线与y轴的交点为（0，-3）， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数为3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．注意仔细审题，不要忽略了抛物线与y轴交点． 3．（24-25九年级上·广东云浮·期中）已知是抛物线上一点，则a的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数上的点的坐标，由抛物线得，当时，，即可得． 【详解】解：∵是抛物线上一点， ∴当时，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程的关系—抛物线与x轴的交点问题，解题关键是正确理解二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解． 【详解】解：根据二次函数与一元二次方程的关系可得， 当二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和时， 即一元二次方程有两个解，分别是，． 故选：． 6．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的解是或， 故选：C． 7．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围， 又∵当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键． 8．（23-24九年级上·广东湛江·期末）二次函数的部分图象如图，当时，x的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得一个交点为，另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解 【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和，抛物线开口向上， 当时，图象在轴的上方， ∴或， 故选：C． 9．（23-24九年级上·广东江门·期末）二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的上方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，， 故选：． 10．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知函数的图象如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的性质，理解图示，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，函数的对称轴直线为，此时最大值为，结合图形即可求解． 【详解】解：∵函数的对称轴直线为，此时最大值为，函数的最小值为0， ∴当时，函数与直线有4个不相等的实数根， 故选：A ． 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的关系，二次函数与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根．根据一元二次方程与二次函数的关系，可知抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而来求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根， ∴的图像与轴的两个交点的坐标为：，； 故答案为：，． 12．（2025·上海虹口·一模）抛物线与轴的交点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，正确把握二次函数图象上点的特征是解题的关键．根据题意，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点是． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为 ． 【答案】3或 【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可． 【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1， ∴=1， 解得m=-2， ∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0， 解得x1=-1，x2=3． 故答案为：3或-1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点，与一元二次方程解的联系即可解答． 【详解】解：关于x的一元二次方程没有实数根， 二次函数的图象与x轴没有交点， 即交点个数是0． 故答案为：0． 15．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图为和的图象，交点和，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式组，正确利用数形结合是解题的关键，结合图象得出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象得出：当时，， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，先求得点A、B坐标，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴． 17．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】5或-3 【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴． 解得：或-3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当时，二次函数的图象与x轴没有交点． 18．（23-24九年级下·全国·课后作业）方程的根与二次函数的图象之间有什么关系？ 【答案】方程的根是二次函数图象与x轴的交点的横坐标 【分析】根据y=0时，得到方程-x2+2x+=0可进行判断． 【详解】解：当y=0时，得到-x2+2x+=0， 即方程-x2+2x+=0的根是二次函数y=-x2+2x+图象与x轴的交点的横坐标． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与一元二次方程根的关系；熟知二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 19．（24-25九年级下·全国·课后作业）利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设y=2x2+x-15，根据图象与x轴的交点横坐标求解； （2）设y=3x2-x-1，根据图象与x轴的交点横坐标求解． 【详解】 解：(1)函数y=2x2+x-15的图象如图： 由图象可知x1≈2.4，x2≈-3.1； (2)函数y=3x2-x-1的图象如图： 由图象可知x1≈0.8，x2≈-0.4； 【点睛】本题考查了二次函数图象的运用．关键是将所求一元二次方程转化为相应的二次函数，画出函数图象，图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解． 20．（23-24九年级上·广东中山·期末）已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标． 【答案】（1）此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）（，﹣）． 【分析】（1）由△=[-（k+2）]2-4×1×（2k-2）=k2-4k+12=（k-2）2+8＞0可得答案； （2）先根据抛物线与直线y=x+k2-1的一个交点在y轴上得出2k-2=k2-1，据此求得k的值，再代入函数解析式，配方成顶点式，从而得出答案． 【详解】（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2） ＝k2﹣4k+12 ＝（k﹣2）2+8＞0， ∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上， ∴2k﹣2＝k2﹣1， 解得k＝1， 则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣， 所以该二次函数的顶点坐标为（，﹣）． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系及熟练求二次函数的顶点式． 学科网（北京）股份有限公司 $$