辽宁省鞍山市海城市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

海城市2024-2025学年九年级（上）开学考数学测试 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 1、 选择题（每题3分，共30分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） Aa2﹣9＝（a﹣3）（a+3） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2﹣4x+4k＝（x+2）（x﹣2）+4k D．．x2+3x+1＝x（x+3+） 3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝3+k，b＝4+k，c＝5+k（k＞0） 4．若关于x的方程有增根，则a的值是（　　） A．3 B．﹣4 C．4 D．6 5．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 6．已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则∠ABC+∠DAE的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 8．《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，还应添加一个条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．AB＝AD D．AB＝AC 10．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB在x轴上，直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，该直线在x轴上平移的距离为n．直线被平行四边形的边所截得的线段长为m，且m与n对应关系图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A． B． C．5 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，7）关于原点O成中心对称的点的坐标为 　 　． 12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 13．分解因式：m3﹣9m＝　 　． 14．分式的值为0，则x、y满足的条件为 　 　． 15．如图，在矩形OABC中，点A的坐标为（0，1），D为AB边上一点，将△OAD沿OD所在的直线折叠，A的对应点A′恰好落在x轴上，E为BC边上一点，将四边形ODBE沿OE所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为B′，则点E坐标为 　 　． 三、计算题（每题5分，共10分） 16．（1）（+）﹣（﹣）； （2）÷﹣×+． 四、解答题（每题8分，共40分） 17．（8分）17．先化简，再求值：，其中． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 19．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将△OAB向下平移得到△O1A1B1，若点A平移后对应点A1的坐标为（0，﹣2），则点B对应点B1的坐标为 　 　； （2）作出△OAB绕原点顺时针旋转90°的△OA2B2； （3）点C在平面直角坐标系中，若以A2，B2，O，C四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点C坐标． 20．现需改造一段连接A，B，C三个村镇的农村公路，其中A，B两村镇间的公路长度为4200米，B，C两村镇间的公路长度为3000米．甲施工队计划每天施工300米．实际施工时，由甲施工队负责A，B两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责B，C两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？ 21．【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组． 例如：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）； x2+2x+1﹣4＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：mp﹣mq﹣np+nq＝　 　；64﹣a2﹣6ab﹣9b2＝　 　． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝6a+12b﹣45．求△ABC的周长． （3）已知a2+b2＝8，m2+n2＝253，求（am+bn）2+（an﹣bm）2的值． 22．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“亮点”，例如求y＝﹣2x﹣1的“亮点”，联立方程：，解得，则y＝﹣2x﹣1的“亮点”为（﹣1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为 　 　． （2）一次函数y＝px+q的“亮点”为（2，q﹣3），求p，q的值． （3）若直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx+3上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线y＝nx﹣4（n≠0）上，若点Q与△AOB边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 23．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF＝DF． （1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，∠ADB＝120°，设对角线AC、DE交于点O，过点O作OQ⊥AC交∠ADB的角平分线于点Q．OQ与AD交于P点．求证：AD﹣DC＝DQ； （3）如图3，在（2）的条件下，若CE＝3，QD＝1，求AP的长． 九年级开学考数学试卷 第 页（共8页）1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级开学考数学参考答案 一．选择题（每题3分，共30分）BADDB ABBCD 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （2，﹣7）．． 12. x≥﹣1． 13. m（m+3）（m﹣3） 14. x＝y≠﹣1． 15 ． 三、计算题（每题5分，共10分） 16.(1)解：（1）原式＝+﹣+2 ＝3﹣； （2）原式＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+． 四、解答题（每题8分，共40分） 17 (8分)解：原式＝[﹣]• ＝• ＝， 当a＝时，原式＝＝﹣． 18(8分).（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 19.(8分)解：（1）如图所示，点A（0，3）、B（﹣2，2）， ∵将△OAB向下平移得到△O1A1B1，若点A（0，3）平移后对应点A1的坐标为（0，﹣2）， ∴B1（﹣2，﹣3）； （2）如图所示： ∴△OA2B2即为所求； （3）过△OA2B2的顶点作对边的平行线交于C1、C2、C3，如图所示： ∴C1（1，﹣2），C2（5，2），C3（﹣1，2）， 即点C坐标（﹣1，2），（5，2），（1，﹣2）． 20(8分).解：设乙施工队每天施工x米， 根据题意得，+2+5＝， 解得x＝， 经检验，x＝是原方程的解， 答：乙施工队每天施工米． 21(8分).解：（1）mp﹣mq﹣np+nq ＝m（p﹣q）﹣n（p﹣q） ＝（p﹣q）（m﹣n）． 64﹣a2﹣6ab﹣9b2 ＝64﹣（a2+6ab+9b2） ＝82﹣（a+3b）2 ＝（8+a+3b）（8﹣a﹣3b）． （2）a2+b2＝6a+12b﹣45， a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0， （a﹣3）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣6＝0， ∴a＝3，b＝6． ∵a，b，c为等腰△ABC的三边长， ∴c＝3或c＝6， 当c＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去． 当c＝6时，3+6＞6，能构成三角形， ∴△ABC的周长为3+6+6＝15． （3）（am+bn）2+（an﹣bm）2 ＝a2m2+2abmn+b2n2+a2n2﹣2abmn+b2m2 ＝a2m2+b2n2+a2n2+b2m2 ＝a2（m2+n2）+b2（m2+n2） ＝（m2+n2）（a2+b2） ＝253×8 ＝2024． 五、解答题（本题23分） 22(11分)解：（1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为一次函数解析式y＝3x﹣2与正比例函数y＝﹣x的交点， 即， 解得， ∴一次函数y＝3x﹣2的“亮点”为（，﹣）， 故答案为：（，﹣）； （2）根据定义可得，点（2，q﹣3）在y＝﹣x 上， ∴q﹣3＝﹣2， 解得q＝1， ∵点（2，q﹣3）又在y＝px+q上， ∴q﹣3＝2p+q， 又q＝1， ∴1﹣3＝2p+1， 解得p＝﹣， ∴q＝1，p＝﹣； （3）①∵直线y＝kx+3上没有“亮点”， ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， 设P（x，0）， ∵S△ABP＝S△AOB， ∴AP•OB＝×OA•OB， ∴AP＝OA， ∴|x﹣3|＝×3， 即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， ∴P（5，0）或（1，0）； ②由①得：A（3，0），B（0，3），O（0，0），而点Q与△AOB边上的三点能构成平行四边形， 如图，Q的临界位置为：Q′（3，3），Q″（﹣3，3），Q″′（3，﹣3）， 点Q在直线y＝nx﹣4（n≠0）上， ∴当y＝nx﹣4，过Q″′（3，﹣3）时， ∴﹣3＝3n﹣4， 解得：n＝， 当y＝nx﹣4，过Q″（﹣3，3）时， ∴﹣3n﹣4＝3， 解得：n＝﹣， ∴n的取值范围为：n＞或n＜﹣． 23.（1）证明：∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠DBF， 在△AEF和△DBF中，， ∴△AEF≌△DBF（AAS）， ∴AE＝DB， ∵AD是△ABC的中线， ∴DB＝DC， ∴AE＝DC， 又∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）证明：过点Q作QM⊥BC于M，作QN⊥AD于N，连接AQ、CQ，如图2所示： ∵DQ平分∠ADB，∠ADB＝120°， ∴QM＝QN，∠QDM＝∠QDN＝60°， ∴∠DQM＝∠DQN＝30°， ∴DM＝DN＝DQ， 由（1）得：四边形ADCE是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵OQ⊥AC， ∴AQ＝CQ， 在Rt△CMQ和Rt△ANQ中，， ∴Rt△CMQ≌Rt△ANQ（HL）， ∴CM＝AN， ∴AD﹣DC＝AN+DN﹣（CM﹣DM）＝2DN＝DQ， 即AD﹣DC＝DQ； （3）解：∵四边形ADCE是平行四边形， ∴AD＝CE＝3， 由（2）得：AD﹣DC＝DQ， ∴DC＝AD﹣DQ＝3﹣1＝2， 过C作CK⊥AD于K，连接CP，如图3所示： ∵∠ADB＝120°， ∴∠ADC＝60°， ∴∠KCD＝30°， ∴DK＝CD＝1，CK＝DK＝， ∴PK＝AD﹣AP﹣DK＝2﹣AP， ∵OA＝OC，OP⊥AC， ∴AP＝CP， 在Rt△PKC中，由勾股定理得：PC2＝PK2+CK2，即AP2＝（2﹣AP）2+3， 解得：AP＝， 即AP的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$