精品解析：2024年贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学中考二模数学试题

2024年从江县东朗中学中考二模 数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 比﹣2小1的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 2. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A. ﹣2 B. 0.2 C. 1.2 D. 12 4. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 8. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 10. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 11. 在5次英语听说机考模拟练习中，小王、小颖两名学生的成绩（单位：分）如下： 小王 22 27 30 24 27 小颖 26 25 27 25 27 若要比较两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是（ ） A. 众数，小王 B. 众数，小颖 C. 方差，小王 D. 方差，小颖 12. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算的结果为______． 14. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 15. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则“”表示的数是______． 16. 如图，和都是等边三角形，，，分别是，的中点，连接，．当，，时，的长度为______． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知不等式组 （1）解上述不等式组． （2）从（1）的结果中选择一个整数是方程的解，求m的值． 18. “生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 19. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）当点的坐标为时，求，的值； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值． 20. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 21. 如图，在中，，平分交于点，为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长． 22. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出y的取值范围； （2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由． 25. 如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为（且）． （1）在旋转过程中，当点落在线段上时，求的长； （2）连接，，当时，求的值； （3）在旋转过程中，若的重心为，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年从江县东朗中学中考二模 数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 比﹣2小1的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】用-2减去1，再根据有理数的减法运算法则，进行计算即可得解． 【详解】.故选A． 【点睛】本题考查有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算. 2. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键． 3. 一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A. ﹣2 B. 0.2 C. 1.2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法可得，结合选项即可求解． 【详解】解：一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则,为整数． 的值可以是 故选A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必需大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得， 故选：C． 6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解． 【详解】∵△ABC和△DEF是两个等边三角形， ∴，且有相似比为：， 又∵两个相似三角的面积比等于其相似比的平方， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键． 7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：由统计图可知，试验结果在0.17附近波动，所以其概率P≈0.17， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项错误； B、一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：，故此选项错误； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故此选项正确； D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为：，故此选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握：频率=所求情况数与总情况数之比． 8. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0， ∴a2+(a+1)2=5，其中a>0， 解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)， ===2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 9. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 10. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么： A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意； B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意； C、若，则，故选项正确，符合题意； D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质． 11. 在5次英语听说机考模拟练习中，小王、小颖两名学生的成绩（单位：分）如下： 小王 22 27 30 24 27 小颖 26 25 27 25 27 若要比较两名学生5次模拟练习成绩谁比较稳定，则选用的统计量及成绩比较稳定的学生分别是（ ） A. 众数，小王 B. 众数，小颖 C. 方差，小王 D. 方差，小颖 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差，熟知判断成绩的稳定性，选用的统计量是方差，再计算出方差比较，由方差越小，成绩越稳定即可求解． 【详解】解：小王的平均数为， 方差为； 小颖的平均数为， 方差为， ∵， ∴小颖的成绩比较稳定， 故选：D． 12. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可． 【详解】解：由题意可知：， ，则，即，y与x满足一次函数关系 菜园的面积：，S与x满足二次函数的关系 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 计算的结果为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：2． 14. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 15. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则“”表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算筹计数法，根据题意用算筹计数法计数即可． 【详解】解：千位上“”对应横式中的7，百位上“”对应纵式中的6，十位上“”对应横式中的2，个位上“”对应纵式中的8， “”表示的数是． 故答案为： 16. 如图，和都是等边三角形，，，分别是，的中点，连接，．当，，时，的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．连接，取的中点，连接，，根据等边三角形性质易证，可得，，再可得，，再根据三角形中位线性质可知，，，，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，． 和都是等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ， ． 点，，分别是，，的中点， ，分别是，的中位线． ，，，． ． 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知不等式组 （1）解上述不等式组． （2）从（1）的结果中选择一个整数是方程的解，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可； （2）先求出（1）中不等式组的整数解，再考虑分母x-2≠0，然后把整数代入分式方程得出关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：∵，且x为整数， ∴x=1或2， ∵， ∴， ∴x=1， 把x=1代入得： ， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及分式方程的解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，理解分式方程解的含义是解决问题的关键． 18. “生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【答案】 （1）补全的条形统计图，如图所示； （2）18°； （3）750人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数； （3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【详解】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°， 故答案为：18°； （3）2500×30%＝750（人）， 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）当点的坐标为时，求，的值； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析以及反比例函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据正比例函数的中心对称性即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 得， 解得， 将点代入反比例函数， 得； 【小问2详解】 解：一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，可得， 根据题意，得， 解得． 20. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 21. 如图，在中，，平分交于点，为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：，平分交于点， ， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ∴， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，平分交于点， ， ， ，， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ． 22. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论; （2）解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1, ∴△AEF是等边三角形, ∴∠AFE＝60°, 连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK, ∵△AEF是等边三角形, ∴AK＝, ∴, ∴FM＝2FK＝, ∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）; （2）∵∠AFE＝74°, ∴∠AFK＝37°, ∴KF＝AF•cos37°≈0.80, ∴FM＝2FK＝1.60, ∴BC＝4FM＝6.40＜6.92, 6.92﹣6.40＝0.5, 答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键. 23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：连接OC，如图， ∵OD⊥BC， ∴CD=BD， ∴OE为BC的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE， ∵CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°， ∴OB⊥BE， ∴BE与⊙O相切． （2）EF=4； （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切； （2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答； （3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用代入数值即可求解． 【详解】（1）略 （2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R， 在Rt△OBD中，BD=BC= ∵OD2+BD2=OB2， ∴，解得R=4， ∴OD=2，OB=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°， ∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8， ∴EF=OE-OF=8-4=4， 即EF=4； （3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º， ∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8， ∴ = , 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出y的取值范围； （2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①抛物线经过点，求出a，再代入对称轴公式求解即可；②因为，所以顶点是最低点，分别求出x=1和x=5时y的值，即可求解； （2）根据得>，说明 的中点 在对称轴的左侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，由即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过点． ∴ 解得a=1， ∴ ∴对称轴； ②当 时，y 当x=1时，y=-1， 当x=5时，y=3 ∴当时， ． 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点． ∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0 ∴a 对称轴 ∵a ∴ ∴ ∵ ∴ ∴> ， 又∵ ∴ 的中点 在对称轴的右侧，即离对称轴较近，离对称轴较远， 又∵a>0，抛物线的开口向上，则自变量x离对称轴距离越近函数值越小 ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为（且）． （1）在旋转过程中，当点落在线段上时，求的长； （2）连接，，当时，求的值； （3）在旋转过程中，若的重心为，则的最小值为______． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当落在线段上时，由旋转得，则由勾股定理可得，据此可得答案； （2）分两种情况，当点与点C在直线的同侧，作于点E，则，先证明点B、、D在同一条直线上，求得，由，，求出的长和的长，再求出的长，问题随之得解；当点B′与点C在直线的异侧，作交的延长线于点E，则，证明点B、、D在同一条直线上，依据第一情况的方法即可求解； （3）在上截取，则，作于点H，在上截取，连接FG、，则，由，H为的中点，点G为的重心，证明，可得，取的中点O，连接交于点P，连接，则，即可得点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，根据，即，可得，当时，的长最小，求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形矩形，，， ∴，，， 如图1，当落在线段上时，由旋转得， ∴， ； 【小问2详解】 如图2，点与点C在直线的同侧，作于点E，则， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴点B、、D在同一条直线上， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 如图3，点B′与点C在直线的异侧，作交的延长线于点E，则， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴与重合， ∴点B、、D在同一条直线上， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，值为3或． 【小问3详解】 解：如图4，在上截取，则， 作于点H，在上截取，连接、，则， ∵， ∴H为的中点， ∴为的中线， ∴点G为的重心， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O，连接交于点P，连接， 则， ∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动， ∵，即， ∴， ∴， ∴当时，的长最小， ∵OC， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形、“两点之间，线段最短”、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $