精品解析：贵州省铜仁市沿河县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

秘密★启用前 沿河土家族自治县2023-2024学年度第二学期期中学科素养提升训练 八年级数学 试题 （考试时间为120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列数中，是无理数的是 （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、属于整数，不是无理数，故该选项是错误的； B、0属于整数，不是无理数，故该选项是错误的； C、属于分数，不是无理数，故该选项是错误的； D、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的； 故选D． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； D、是中心对称图形，本选项正确，符合题意． 故选：D 3. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，根据直角三角形的一个锐角是，直角三角形的两个锐角互余，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直角三角形的一个锐角是 ∴ ∴它的另一个锐角是 故答案为：A 4. 下列四组线段中，不能构成直角三角形的是 （ ） A. 5，12，13 B. 1， ，3 C. 3，4，5 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果线段满足，则构成直角三角形，据此进行计算即可作答． 【详解】解：A、，满足，能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不满足，故符合题意； C、，满足，能构成直角三角形，故不符合题意； D、，满足，能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，，则菱形的周长等于（ ） A. 48 B. 24 C. 60 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理的应用． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 点是的中点， ∵H为边中点，， 是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的周长为48， 故选：A． 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴，比较实数大小，有理数的除法法则，掌握数轴上数的特点，绝对值的性质及实数比较大小方法是解题的关键．根据数轴上字母，数字与原点的距离，绝对值的性质，有理数的除法法则，实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：根据题意得：， , 故选：B． 7. 如图，在中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形的是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是真命题，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形才是是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形不一定是正方形，故原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 9. 用形状相同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺成一片，这就是一种密铺平面图形．下列图形中可以进行密铺的是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 菱形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先求出图形的每一个内角度数，然后进行计算逐一判断即可解答．本题考查了平面镶嵌（密铺），准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、正五边形不能进行密铺，因为正五边形的每一个内角等于，的整数倍不等于； B、正六边形能进行密铺，因为正六边形的每一个内角等于，； C、菱形能进行密铺的话，要求菱形的内角的整数倍等于，但菱形不一定都能满足该条件，所以不能密铺， D、等腰三角形能进行密铺的话，要求等腰三角形的内角的整数倍等于，但等腰三角形不一定都能满足该条件，所以不能密铺， 故选：B． 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 11. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式，再取公共解集，即可作答． 【详解】解：由得出 由得 ∴不等式组的解集是 故选：C 12. 如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于解决此题．本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：． 小明每次转过的角度． 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 在中，∠＋∠＝220°，则∠＝________． 【答案】70° 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质和四边形内角和是360°，解题即可 【详解】∵四边形ABCD是 ∴∠＝∠C，∠＋∠+∠+∠C=360° 又∵∠＋∠＝220° ∴∠+∠C=140° 所以∠＝70° 故填70° 【点睛】本题考查平行四边形的性质，能够熟练掌握平行四边形性质是解题关键． 14. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 在中，，，边上的高，则边之长等于______． 【答案】14或4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意作出两个图，分两种情况分别求解即可． 【详解】①如图，在中，，，边上的高， ∴， ， ∴． ②如图，在中，，，边上的高， ∴， ， ∴． 16. 【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂，乘方，立方根，再加减即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，再根据二次根式的加减法计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在和中，，点B、F、C、E在一条直线上．求证：． 【答案】证明：， 即， ， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明直角三角形全等是解题的关键．根据，得到，证明，由全等三角形的性质可得． 【详解】略 19. 麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 20. 如图，在四边形中， （1）证明：四边形是平行四边形； （2）当时，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）216 【解析】 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 21. （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换即可． 【详解】解：（1）如图， 为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图， ，理由见下： 由题意得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，外角的性质是解题的关键． 22. 已知：如图，在 中，点D、E分别是的中点． （1）若 则 _____，若 则_______． （2）连接和交于点O，求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：取中点G、H，分别连接； 则，， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 23. 下面是小卫学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目： 某商店准备购进甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，当商店用了2000元购进甲种商品，用了1600元购进乙种商品后发现购进的甲、乙两种商品的数量相同． 求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 等量关系： 甲商品数量=乙商品数量 解法二 等量关系： 甲商品进价-乙商品进价= 10 任务： （1）解法一：所列方程中的x表示_______，解法二：所列方程中的x可表示_______． A．甲种商品每件进价 B．乙种商品每件进价 C．甲种商品购进的件数 （2）根据以上任一解法求出甲种商品的进价和乙种商品的进价． （3）商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品共45件，最多购进甲种商品多少件? 【答案】（1）A，C （2）甲种商品的进价为50元件，乙种商品的进价为40元件 （3）至多购进甲种商品20件 【解析】 【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 【小问1详解】 解：由甲商品数量乙商品数量， 可得：中的表示甲种商品每件进价元， 由甲商品进价乙商品进价 可得：中的表示甲种商品购进件； 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：甲种商品的进价为50元件，乙种商品的进价为40元件． 故答案为：50，30； 【小问3详解】 解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， 商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品， ， ， 答：至多购进甲种商品20件． 24. 矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． （1）如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； （2）如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理解答即可； （2）根据折叠的性质以及勾股定理解答即可． 此题考查矩形的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形 ∴，，， 设，则， 由折叠可得，， 在中，， 即， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当点与点重合时， 设，则， 由折叠可得，，，， 在中，， 即， 解得：， ． 如图：过点作 ∵四边形是矩形， ∴四边形，是矩形 则设 ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ 25. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，过点E作，垂足为E，交所在直线于点F．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 【答案】（1） ，理由如下： 当E是对角线的中点时， 四边形是正方形， ，，，， ， ，且E是对角线的中点， 此时点B和点F重合，且点E也为的中点， ， ，即； 若点E在其它位置时，如图，延长，作，交的延长线于点G，连接． 四边形是正方形， ，，． ，， 四边形为平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． ． ． ． ． ， ，． ． 是等腰直角三角形， ， ． ； （2） 如图，作，并截取，连接、． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 又， 是等腰直角三角形， ， ． ， ． ． ，． ． ， ． ． ． ． ， ， 四边形为平行四边形． ， ． 【解析】 【分析】（1）当E是对角线的中点时，根据正方形的性质，可得此时点B和点F重合，且点E也为的中点，可得；点E在其它位置时，延长，作，交的延长线于点G，连接，可得四边形为平行四边形，从而得到，，进而得到，再证得，可得，，从而得到是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）作，并截取，连接、，可得是等腰直角三角形，从而得到，再证明，可得，，再证得四边形为平行四边形，可得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 沿河土家族自治县2023-2024学年度第二学期期中学科素养提升训练 八年级数学 试题 （考试时间为120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列数中，是无理数的是 （ ） A. B. 0 C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 4. 下列四组线段中，不能构成直角三角形的是 （ ） A. 5，12，13 B. 1， ，3 C. 3，4，5 D. 1，1， 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，，则菱形的周长等于（ ） A. 48 B. 24 C. 60 D. 72 6. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形的是正方形 9. 用形状相同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺成一片，这就是一种密铺平面图形．下列图形中可以进行密铺的是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 菱形 D. 等腰三角形 10. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 30 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 在中，∠＋∠＝220°，则∠＝________． 14. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 15. 在中，，，边上的高，则边之长等于______． 16. 【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题： （1）； （2）． 18. 如图，在和中，，点B、F、C、E在一条直线上．求证：． 19. 麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 20. 如图，在四边形中， （1）证明：四边形是平行四边形； （2）当时，求四边形的面积． 21. （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 22. 已知：如图，在 中，点D、E分别是的中点． （1）若 则 _____，若 则_______． （2）连接和交于点O，求证：． 23. 下面是小卫学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目： 某商店准备购进甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，当商店用了2000元购进甲种商品，用了1600元购进乙种商品后发现购进的甲、乙两种商品的数量相同． 求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 等量关系： 甲商品数量=乙商品数量 解法二 等量关系： 甲商品进价-乙商品进价= 10 任务： （1）解法一：所列方程中的x表示_______，解法二：所列方程中的x可表示_______． A．甲种商品每件进价 B．乙种商品每件进价 C．甲种商品购进的件数 （2）根据以上任一解法求出甲种商品的进价和乙种商品的进价． （3）商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品共45件，最多购进甲种商品多少件? 24. 矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． （1）如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； （2）如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 25. 数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形中，点E是对角线上任意一点，过点E作，垂足为E，交所在直线于点F．探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线的中点时，他发现与之间的数量关系是______．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系． （1）请你按照小明的思路，完成解题过程； （2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $