专题06 椭圆及其方程（八大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题06 椭圆及其方程 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 重难点题型突破（一） 椭圆的定义及其标准方程 例1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 例2.（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 例3.（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选题）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 1.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 2.（23-24高三上·云南楚雄·期末）（多选题）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 3.（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 重难点题型突破（二） 椭圆方程的充要条件 例4.（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 例5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 例6．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）（多选题）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 重难点题型突破（三） 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例7．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 例8.（2023·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ） A．2 B．3 C． D． 例9.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2.（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2024高二上·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 4．（22-23高二上·四川乐山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是 . 重难点题型突破（四） 椭圆中的最值问题 例10.（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例11.（2023·河南·高三期末）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12.（21-22高二下·湖北·阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为 . 1.（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 2.（2024高三下·全国·竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江西上饶·模拟预测）如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 重难点题型突破（五） 离心率的取值或取值范围 例13、（2023高三上·湖北孝感·专题练习）已知椭圆C：的上顶点和右顶点在直线上，则椭圆的离心率为 ． 例14.（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 例15.（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 1.（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 . 3.（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（六） 椭圆的简单的几何性质 例16．（21-22高二·全国·课后作业）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例17.（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则 . 例18.（2024·西藏拉萨·二模）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 1.（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 2.（23-24高二上·江苏常州·期中）与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 ． 3.（24-25高二·上海·课堂例题）椭圆的焦距是 ． 重难点题型突破（七） 椭圆的第一定义与轨迹问题 例19．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 例20.（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为 1.（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是 . 2.（23-24高二上·天津红桥·期中）设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3.（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（八） 综合问题 例21.（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点为，离心率为的面积为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线过点且与直线垂直时，求的周长； (3)若（是坐标原点），求面积的取值范围. 例22.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 例23.（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 1.（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 2.（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 3.（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 7．（21-22高二上·广东肇庆·阶段练习）（多选题）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 8．（19-20高三·北京·强基计划）（多选题）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 10．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 11．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 13．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 14．（23-24高二下·浙江·期中）已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 ． 15．（2023高三·全国·专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 16．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 17．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 椭圆及其方程 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 重难点题型突破（一） 椭圆的定义及其标准方程 例1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 例2.（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 例3.（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选题）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】 讨论椭圆焦点所在位置，结合之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：， 若焦点在x轴上，则，解得； 若焦点在y轴上，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 1.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【解析】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 2.（23-24高三上·云南楚雄·期末）（多选题）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可. 【详解】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 3.（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】待定系数法求椭圆的标准方程. 【详解】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 重难点题型突破（二） 椭圆方程的充要条件 例4.（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 例5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由方程求曲线的图形、椭圆定义及辨析 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 例6．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解． 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 1.（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 2.（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 3.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）（多选题）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由方程求曲线的图形、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据题意分、和三种情况，结合直线、圆和椭圆的方程分析判断. 【详解】当，则，可得，即曲线是圆； 当，则，可得，即，曲线是两条直线； 当，则，可得， 则，曲线是椭圆； 故选：BC. 重难点题型突破（三） 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 例7．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 例8.（2023·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为，则， 的周长为，解得， 故选：D 例9.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 1.（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 2.（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 3.（2024高二上·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故答案为： 4．（22-23高二上·四川乐山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】结合正弦定理面积公式、余弦定理及椭圆第一定义化简，可得，进而得解. 【详解】设，由正弦定理面积公式可得①， 对，由余弦定理可得：②， 由椭圆第一定义得：③， 联立②③得，代入①式得. 故答案为： 重难点题型突破（四） 椭圆中的最值问题 例10.（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 例11.（2023·河南·高三期末）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，延长交的延长线于点， 点在椭圆上，由椭圆的性质可知， 因为分别是椭圆的左、右焦点， 所以点的坐标为、点的坐标为， 因为点是的角平分线上的一点， 所以， 又，则, 所以， 则，， 又因为点为线段的中点， 所以为的中位线， 即， 当点在椭圆右顶点时，取最大值，最大值为6， 当点在椭圆左顶点时，取最小值，最小值为2， 当点在椭圆上顶点或下顶点时，， 又因为点是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合， 则的取值范围为， 结合函数函数的性质可得，的取值范围是， 故选：A. 例12.（21-22高二下·湖北·阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义把求的最小值，也就是求的最大值，利用几何法得到当，，共线（A在中间）时，最大，即可求解. 【详解】设为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知，， 所以. 要求的最小值，也就是求的最大值.如图示： 而当，，共线(A在中间)时，最大，此时 ，所以. 所以的最小值为. 故答案为： 1.（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值. 【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 2.（2024高三下·全国·竞赛）已知（其中），在平面直角坐标系中，有一个动点，且.给定：，作，垂足为点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离、椭圆的对称性 【分析】利用椭圆的参数方程得到，结合点到直线的距离公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即在的椭圆上， 而由椭圆的参数方程得(是参数)， 所以，因为，所以为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由三角函数性质得当时，最大， 此时，故A正确. 故选：A 3.（2024·江西上饶·模拟预测）如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】根据对称性将问题转化为求解椭圆截直线的弦长的最小值，利用韦达定理和弦长公式可表示出所求弦长，由此可确定最小值. 【详解】由题意知：； ，由对称性可知：为椭圆截直线的弦长， 由题意知斜率不为0，设，其与椭圆交于点和， 由得：，则， ，， ， 当时，取得最小值，的最小值为. 故选：C 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 重难点题型突破（五） 离心率的取值或取值范围 例13、（2023高三上·湖北孝感·专题练习）已知椭圆C：的上顶点和右顶点在直线上，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意求出椭圆上顶点、右顶点坐标，最后利用离心率公式即可. 【详解】令，则；令，则， 则椭圆上顶点为，右顶点为，则椭圆C的方程为， 则. 因此离心率为． 故答案为：. 例14.（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为. 故答案为：. 例15.（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得相应点的坐标，结合题意可得切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由根据题意可得切线，即可得切线斜率. 1.（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，. 在中得：，即. 因此，，， 在中得：，故，所以. 故选：D 2.（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 . 【答案】/0.4 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、垂直关系的向量表示、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】取中点，根据给定条件，可得，再利用椭圆定义，结合二倍角的余弦公式列式计算即得. 【详解】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则， 由，得，于是，则，， 由直线的斜率为，得，即， 而，解得，即， ，于是，解得， 所以的离心率为. 故答案为： 3.（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，，与轴的交点为，，结合平行线性质，三角形面积公式可得，根据勾股定理可得关系，化简求离心率. 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 重难点题型突破（六） 椭圆的简单的几何性质 例16．（21-22高二·全国·课后作业）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程． 【详解】由对称性，又，则， 所以，，又，则， 椭圆标准方程为． 故选：B． 例17.（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则 . 【答案】8 【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故， 故，即，. 故答案为： 例18.（2024·西藏拉萨·二模）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】由椭圆的几何性质求解． 【详解】依题意，得，解得， 又离心率， 整理，得， 解得（舍去）或. 故选：D. 1.（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程联立求出点坐标，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 2.（23-24高二上·江苏常州·期中）与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、求双曲线的焦点坐标 【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据椭圆的定义求出的值，进而可求出的值，由此可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】双曲线的焦点为、， 设所求椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得 ， 所以，，， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 3.（24-25高二·上海·课堂例题）椭圆的焦距是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用给定的椭圆方程，求出椭圆半焦距即可得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，因此半焦距， 所以椭圆的焦距是. 故答案为： 重难点题型突破（七） 椭圆的第一定义与轨迹问题 例19．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 例20.（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为 【答案】 【解析】设动圆P的圆心为，半径为， 由题意得， 所以， 所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆， 则，即，，则， 所以动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为： 1.（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——椭圆 【分析】先表达出所需要的向量，再根据等式列方程即可. 【详解】因为，，设动点，所以在轴上的射影为， 所以， 所以， 所以， 化简为， 故答案为 2.（23-24高二上·天津红桥·期中）设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程. 【详解】解:由圆:，圆心，， 圆:，圆心，半径， 设动圆圆心，半径为， 根据题意可得 整理得， 所以圆心的轨迹是以，为焦点， ，的椭圆，， 动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆. 故选：B 3.（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】根据题意，设，则，然后代入圆的方程，化简即可得到结果. 【详解】    设，则，又点在圆上，所以， 化简可得，所以点M的轨迹方程是. 故选：C 重难点题型突破（八） 综合问题 例21.（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点为，离心率为的面积为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线过点且与直线垂直时，求的周长； (3)若（是坐标原点），求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)8 (3) 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由椭圆的离心率为，可得，，再由，可求得，进而求得，，可得椭圆的方程； （2）由（1）可得为正三角形，得直线为线段的垂直平分线，则的周长为. （3）当直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积为；当直线的斜率存在且不为零时，设直线，与椭圆联立消去得，则得， ，则得，同理可得，，代入，变形后利用基本不等式，即可求得其取值范围. 【详解】（1）因为，所以，又，则， 即椭圆方程为， 因为，所以， 即，则，， 故椭圆方程为. （2）由（1）知，， ，得为正三角形， 则由，得直线为线段的垂直平分线， 所以且， 则的周长为 . （3） ①当直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积为， ②当直线的斜率存在且不为零时，设直线， 与椭圆联立消去，得， 即，则， 则， 同理可得，， 故的面积为 ， 当且仅当，即时取最小值， 综上，的面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第（3）小问，先讨论直线的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积；再讨论直线的斜率存在且不为零时，设直线，与椭圆联立消去，得到，，即可得，同理得，则的面积为，变形后利用基本不等式，从而求得面积的取值范围. 例22.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)当的面积是时，求. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数、根据弦长求参数 【分析】（1）根据椭圆上顶点的坐标得到的值，由在椭圆上，代入椭圆方程求出的值； （2）联立直线和椭圆的方程得到点的横坐标，由弦长公式得到，由点到直线的距离公式得到点到的距离，从而用表示出的面积，由面积为，解出的值. 【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以， 则椭圆方程为， 因为在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立消去并整理得， 由，得， 则， 到直线的距离， 则， 解得或. 例23.（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②过定点，． 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据椭圆的定义和在椭圆短轴端点处取最大值，列出方程联立可解得，即得椭圆方程. （2）法一：假设定点坐标，利用直径所对圆周角为，利用向量垂直的坐标运算，可得定点坐标满足的条件，进而分析式子恒成立的条件，可得定点坐标. 法二：设直径与轴的交点为，为与轴的交点，根据相交弦定理可得，因为，根据圆的性质，可得，即可求得定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，． 故椭圆的标准方程为． （2）①由（1）可知，． 直线的方程为， 联立解得则． 同理可得 故， 设，则． 因为点在椭圆上，所以，所以， 则， 故． ②法一：由①可知，，    设存在定点，则，． 由题意可知，则， 所以恒成立，所以，． 故以为直径的圆过定点，． 法二：由题意可知在轴的两侧，则以为直径的圆与轴有两个交点， 设以为直径的圆与轴的两个交点分别为（在的左侧）， 直线与轴的交点为， 则， 因为，所以， 则，即以为直径的圆过定点.    1.（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 【答案】(1) (2)5 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先由短轴长得，由三点共线设点坐标，再利用点在椭圆上将斜率之积转化为待定，从而求椭圆方程； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论.当直线斜率不存在时，解方程组可得；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示弦长及点到直线的距离，从而由面积为得，代入由韦达定理表示的关系式，化简求值可得. 【详解】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即，. 为椭圆的上顶点，所以. 当三点共线时，设，则. 由点在椭圆上，则, 因为， 所以，解得． 故椭圆的方程为； （2）设过两点的直线为， 当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称， 所以 因为在椭圆上，所以，又， 所以，即，联立， 解得 此时，所以. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去得， 其中①， 所以， 所以． 因为点到直线的距离， 所以， 所以， 整理得，符合①式， 此时， 综上所述，的值为5． 2.（24-25高三上·广东·开学考试）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. （2），当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 3.（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得； （2）（i）由点差法可得，进而有； （ii）联立可得，故由重心坐标公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分线上，根据其方程，可得，由在上进而可得. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）依题意可设点，且， （i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以， 因为点在上，所以，所以，即， 因为直线的斜率为，直线的斜率为 所以，即为定值； （ii）设弦的中点的坐标为， 点的坐标为的重心的坐标为， 由，得， 所以，且， 因为的重心在轴上，所以， 所以， 所以， 因为在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以点， 又点在上，所以， 即 又因为，所以，所以直线的方程为. 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解. 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A. 2．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案. 3．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程. 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 5．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，又，由可得点的坐标，又由三点共线分类讨论斜率不存在和两种情况，建立关系即得. 【详解】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 6．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，根据题意得到，进而得到,结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 7．（21-22高二上·广东肇庆·阶段练习）（多选题）已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】对于A，求出的周长，由，即可判断真假；对于B，由，的关系，进而可得以，为直径的圆与椭圆的交点个数，即满足的点的个数；对于C，利用椭圆定义，结合基本不等式求解即可；对于D，结合椭圆的性质和基本不等式的公式即可求出面积的最大值. 【详解】对于A，椭圆的长轴长为，焦距为，则的周长为：，由，所以的周长小于，故A不正确； 对于B，当时，则，满足的点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点，即使得的点为椭圆短轴的端点，故B正确； 对于C，设，，，则，由椭圆的定义知：，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以C正确； 对于D，由椭圆几何性质，焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大，为，故D正确. 故选：BCD 8．（19-20高三·北京·强基计划）（多选题）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】 利用椭圆的定义可求的最值. 【详解】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的焦半径与焦点弦问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项. 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理列等式，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】 由，，得， 而，由勾股定理有， 所以，所以，故． 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可得直线的方程，再计算到直线的距离，从而可表示出面积，又利用焦点三角形及内切圆的性质，也可表示出面积，则两面积相等即可求椭圆的离心率. 【详解】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立的面积表达式，结合基本不等式求解出时，的面积取得最大值,再求出此时的的值. 【详解】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 故答案为： 13．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆中的最值问题 【分析】首先根据题目条件求出和，然后根据椭圆定义进行转换，求出的最小值. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，，所以，． 设椭圆C的左焦点为，则， 所以． 故答案为：． 14．（23-24高二下·浙江·期中）已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，设，结合，求得，代入椭圆的方程得到，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，由椭圆对称性不妨设，且， 因为，可得，可得， 可得，解得，即， 代入椭圆的方程，可得，解得，所以． 故答案为：. 15．（2023高三·全国·专题练习）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】先设点,再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点， 由得点，而点P为椭圆上的任意一点， 于是得，整理得：， 所以点M的轨迹方程是. 故答案为: 16．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【难度】0.15 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)根据离心率公式、焦距以及之间的关系，列出等式即可求得； (2)设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到根的表达式，设出直线的方程。得到点的坐标，同理可求得点坐标，再根据向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】（1）依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. （2）由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即.    【点睛】关键点点睛：将直线和椭圆方程联立利用韦达定理求出相关点的坐标，进而可表达出向量，，再根据向量积的值可得结果. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$