3.1椭圆中焦点三角形面积公式的推导与应用教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教天地人事 育生命自觉 2025年普洱中学非毕业班竞赛课 课题：椭圆中焦点三角形面积公式 的推导与应用 教 学 设 计 教师姓名： 晏紫依 教天地人事 育生命自觉 所教科目： 数学 学科网（北京）股份有限公司 课题名称 椭圆中焦点三角形面积的推导与应用 授课 时间 2025年11月4日 星期二第6节 授课 班级 518班 计划 课时 1课时 课型 新授课 1、 教材内容及考情分析 椭圆焦点三角形面积是椭圆性质的核心延伸内容，衔接“椭圆定义”与“三角函数、余弦定理”，是平面解析几何中“几何条件代数化”思想的典型载体。教材通常将其安排在椭圆定义、标准方程及简单几何性质之后，作为性质应用的拓展例题或习题，承上启下（为后续双曲线焦点三角形、圆锥曲线综合问题铺垫）。焦点三角形作为椭圆的重要几何特征，在高考中常作为综合考查点出现，不仅是求面积的工具，更能深化对椭圆“,b,c关系”的理解，强化“用代数方法解决几何问题”的解析几何核心思想。 近5年全国卷及地方自主命题卷中，椭圆焦点三角形相关问题出现频率约3-4次/年，常以选择题、填空题（中档难度）为主，偶尔作为解答题的第一问或条件。多结合“焦点三角形面积”“角度范围”“边长关系”综合考查，如已知面积求点坐标、已知角度求离心率、求面积及其最大值等。 二、学情分析： 通过高一、二学年的学习，学生已掌握椭圆的核心概念，包括定义（平面内到两焦点距离之和为定值）、标准方程及,b,c的几何意义与数量关系（），能识别椭圆的焦点位置。具备解三角形的基础能力，熟悉余弦定理、三角形面积公式，可独立解决简单的三角形边长、角度、面积计算问题。初步形成“几何条件代数化”的思维，能将几何图形中的边长、角度关系转化为代数等式，为推导焦点三角形面积公式奠定思维基础。但在综合运用几何与代数方法解决复杂问题时，仍存在思路不清、公式记忆不牢、应用不灵活等问题。本课通过自主探究与小组合作，帮助学生构建系统的解题思维模型。 三、学习目标与核心素养 1.理解椭圆焦点三角形的定义，能准确识别图形结构。 （核心素养：数学抽象、直观想象） 2.自主推导并掌握椭圆焦点三角形的面积公式。 （核心素养：逻辑推理、数学运算） 3.能够运用该公式解决相关的面积，角度和几何问题。 （核心素养：数学建模、数学应用） 四、教学重点、难点 1.教学重点：椭圆焦点三角形面积公式的推导与应用。 2.教学难点：公式推导中的代数变形与几何关系的转化。 五、教学策略 问题驱动策略：通过问题引导学生自主探究。 合作学习策略：小组讨论、展示交流，提升思维深度。 变式训练策略：通过例题与变式题，强化应用能力。 六、教具准备 导学案、教学设计、希沃白板5课件。 七、教学过程： 教师活动 预设学生活动 设计意图 教学环节一：导入新课 【导课】温故知新：复习椭圆的定义。 教师展示：在多媒体上动态展示一个椭圆，并标记出焦点。在椭圆上任取一点P，连接,构成∆。 定义：我们把以椭圆上任意一点P及两个焦点构成的三角形，称为焦点三角形 核心问题：（“一课一题”的起点） 1.回答教师提问，回顾椭圆基础知识 2.观察动态演示，理解焦点三角形的概念 3.阅读并理解核心问题，明确学习目标 1.温故知新：复习椭圆定义，为新课铺垫。 2.激发兴趣：通过动态演示吸引学生注意力 3.明确目标：提出具体问题，制造认知冲突，激发求知欲 教学环节二：新课讲授 【思】任务一：独立思考，尝试推导 布置任务：请学生尝试独立推导椭圆焦点三角形的面积公式； 提示：可利用余弦定理、椭圆定义等进行推导。 出示“思考导引”： 设元：设|PF1| = m, |PF2| = n。 找关系：根据椭圆定义，m, n 满足什么关系？ 表示面积：在△PF1F2中，已知m, n及其夹角θ，面积S如何表示？ 建联系：已知|F1F2| = 2c，哪个定理能联系 m, n, c,θ？ 试推导：你的目标是将S表示为仅含b和θ的式子。请尝试联立以上关系，消去m和n。 1.根据思考提纲独立推导； 2.在草稿纸上尝试方法； 3. 记录自己的思路和困惑 1.搭建支架：将复杂问题分解，降低探究难度； 2.培养能力：锻炼独立思考和问题解决能力； 3.发现难点：让教师了解学生的思维障碍点。 【议、展】任务二：小组合作，交流思路 组织学生分组讨论，引导交流推导过程； 提出引导性问题： 1.互相展示自己的推导过程，看看谁的思路更清晰、简洁？ 2.在推导过程中，关键的一步是什么？遇到了哪些困难？是如何解决的？ 3.最终得到的公式是什么？他有什么特点？ 任务三：小组展示与教师精讲 邀请小组代表展示推导过程； 预期标准推导过程： 记忆口诀“b方正切半角”。 教师点评并板书规范推导过程，强调代数变形与几何意义的结合； 总结面积公式： 任务四：回归例题与变式拓展 出示典型例题，引导学生应用公式； 提出变式问题，拓展学生思维。 1.在组内积极发言，展示自己的思路； 2.倾听他人解法，进行辨析比较； 3.合作完善推导过程； 4.准备小组展示。 1. 观看小组展示，对比自己的推导； 2. 跟随教师讲解，完善笔记； 1. 应用公式解决问题，体验成功； 2. 思考变式问题，理解公式双向应用。 3.S,b,θ知二求一 1.思维碰撞：通过交流拓宽思路，弥补个人不足； 2.合作学习：培养团队协作和表达能力； 3.深化理解：在讨论中加深对知识的理解。 1.观看小组展示，对比自己的推导； 2.跟随教师讲解，完善笔记； 3.应用公式解决问题，体验成功； 4.思考变式问题，理解公式双向应用。 巩固公式应用能力，提升综合解题能力。 教学环节三：当堂检测 【测】当堂检测，巩固落实 出示检测题，限时完成； 巡视批阅，及时反馈。 学生完成检测题，自我评估掌握情况。 1.检验效果：检测教学目标达成度； 2.巩固新知：强化公式应用能力； 3.及时反馈：帮助查漏补缺。 教学环节4：课堂小结 【板书】 知识收获：焦点三角形面积公式 方法收获：综合运用椭圆定义、余弦定理、三角变换推导公式 思想收获：体会数形结合、化归转化思想 与老师共同小结相关的考点。 归纳总结，强调重点，让学生明确考向。 八、板书设计 课题：椭圆焦点三角形面积公式 1.焦点三角形的定义 2.推导过程： 记忆口诀“b方正切半角”。 九、作业布置 必做题：导学案课后练习1-4题 选做题：导学案课后练习高考题 十、课后反思 教天地人事 育生命自觉 1 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 校训 立德宏远修能日新 校风 敬业乐群唯真求实 教风 菁莪乐育德业双馨 学风 好学力行宁静致远 学科网（北京）股份有限公司 $