专题04 圆的方程（七大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题4 圆的方程 考点1：圆的标准方程，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点2：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)、若点在圆上 (2)、若点在圆外 (3)、若点在圆内 考点3：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)、当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 考点4：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)、根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)、根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)、解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 考点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 重难点题型1 求圆的标准方程 例1．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 例3．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选题）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知圆，则圆心坐标为 . 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 重难点题型2 求圆的标一般方程 例5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 例6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知圆，则圆C的半径 ． 2．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例7．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积. 例8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 1．（23-24高二上·全国·期中）已知△ABC的三个顶点为． (1)求AC边上的高BD所在直线的方程； (2)求△ABC的外接圆的方程． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 重难点题型3 与圆有关的轨迹问题 例9．（23-24高二上·北京通州·期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动. (1)求点G的轨迹方程； (2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 例10（23-24高二上·山东·阶段练习）在长方体中，，，M为棱的中点，动点P在面上运动，且满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)求点P在长方形内的轨迹长度； (3)求线段长度的最大值． 1（19-20高二·全国·课后作业）已知定点，，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围. 2．（18-19高一下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 重难点题型4 点与圆的位置关系 例11．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 例12．（22-23高二上·广东东莞·期中）（多选题）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 1．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 重难点突破5 圆的最值问题（几何关系） 例13．（22-23高二上·吉林·阶段练习）.已知是圆上的一点，则的最小值是 例14．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点突破6 与圆有关的对称问题与定点问题 例15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 例16．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 2．（23-24高一下·湖北·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 重难点突破7 与圆有关的综合问题（数形结合思想） 例17．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例18．（2024·辽宁丹东·模拟预测）（多选题）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 例19．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为 . 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）（多选题）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 3．（2024·广西·模拟预测）（多选题）点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 例20．（22-23高二上·江西新余·开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. (2)若点在直线上运动，求的最小值. 例21．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，且圆，求的最大值与最小值； 1．（22-23高二上·重庆·期末）已知点，直线l：，圆C：. (1)若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值； (2)若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标. 2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知圆的圆心的坐标为，且经过点． (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 5．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 7．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（2024·四川乐山·三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选题）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 10．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 11．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 12．（18-19高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 13．（23-24高二·全国·假期作业）求下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (3)过点和直线相切，并且圆心在直线上. 15．（2021高二上·全国·专题练习）已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 16．（18-19高二上·浙江台州·期中）如图，已知圆的圆心在坐标原点，点是圆上的一点． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若过点的动直线与圆相交于，两点．在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 圆的方程 考点1：圆的标准方程，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点2：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)、若点在圆上 (2)、若点在圆外 (3)、若点在圆内 考点3：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)、当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 考点4：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)、根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)、根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)、解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 考点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 重难点题型1 求圆的标准方程 例1．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 例2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 例3．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选题）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 例4．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，即可得解. 【详解】由题意半径， 所以圆的标准方程为． 故答案为：. 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 2．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可 【详解】因为， 所以 因为， 所以，即， 所以复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆， 所以它的面积为， 故选：D. 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知圆，则圆心坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可 【详解】圆是标准方程，则圆心坐标为， 故答案为： 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，则，从而可得答案. 【详解】由题可知的圆心坐标为， 因为点在圆上， 所以圆的半径. 故答案为： 重难点题型2 求圆的标一般方程 例5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 【答案】（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 例6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 1．（23-24高二下·河南开封·期末）已知圆，则圆C的半径 ． 【答案】2 【分析】将题目中的一般方程整理为标准方程，可得答案. 【详解】由圆，整理可得：， 则圆的半径为. 故答案为：2. 2．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 例7．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于D，E两点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）设，由可得a值，则圆心坐标可求，再利用两点之间的距离公式求半径即可得圆的标准方程； （2）先证得四边形是平行四边形，再结合点到直线的距离公式以及圆的性质可得答案. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 由A，B是圆上两点，所以， 即，解得， 所以圆心的坐标为. 圆的半径， 故圆的方程为. （2）过点作的垂线，垂足为，则为线段的中点， 由点到直线的距离公式，得， 所以. 因为，，所以， 直线的方程为. 而直线的方程为，所以，且， 由此得四边形是平行四边形. 因为，之间的距离， 所以平行四边形的面积为， 故四边形的面积为30. 例8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 1．（23-24高二上·全国·期中）已知△ABC的三个顶点为． (1)求AC边上的高BD所在直线的方程； (2)求△ABC的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的斜率；再利用垂直关系求出高线BD的斜率；最后利用点斜式写出直线BD的方程； （2）设△ABC的外接圆方程为，把A、B、C三点的坐标代入方程求出D、E、F即可． 【详解】（1）因为△ABC的三个顶点为， 所以直线AC的斜率为， 所以AC边上的高BD所在直线的斜率为， 所以直线BD的方程为， 化为一般式方程为. （2）设△ABC的外接圆方程为， 把A、B、C三点的坐标代入方程，得，即， 解得：； 所以所求圆的方程为． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案. （2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案. 【详解】（1）直线，即， 由于，故， 即直线过定点. （2）设圆C的方程为， 由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切， 则且，即， 解得或， 故圆C的方程为或. 重难点题型3 与圆有关的轨迹问题 例9．（23-24高二上·北京通州·期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动. (1)求点G的轨迹方程； (2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程； （2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可. 【详解】（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以， 所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆， 所以G的轨迹方程为. （2），证明如下： 依题意，下列各点坐标为， 直线的方程为. 因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点， 故设，且. 设直线的方程为， ，解得，即. 设直线的方程为， ，解得，即. 所以          ， 又， 所以.    例10（23-24高二上·山东·阶段练习）在长方体中，，，M为棱的中点，动点P在面上运动，且满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)求点P在长方形内的轨迹长度； (3)求线段长度的最大值． 【答案】(1)点的轨迹方程为； (2)； (3). 【分析】（1）由题设得，应用等比例性质有，再以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）由（1）所得方程确定轨迹，进而得到P在长方形内的轨迹长度； （3）由（2）所得轨迹，分析得到P在E处时线段长度的最大，求值即可. 【详解】（1）如图，当P在面内时，AD⊥面，CM⊥面，    ∴，又，则． ∴且，，则，即． 在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，    设，由得，整理得． ∴点P的轨迹是以为圆心，半径为2的圆． （2）如图，，，，    ∴，则P在长方形内的轨迹为圆心角是的弧， 故点P在长方形内的轨迹长度为． （3）任意点P在底面投影落在TC上，    又，显然，当P在E处时与同时最大，， 所以线段AP长度的最大值为． 【点睛】关键点点睛：第一问，利用三角形相似得到，构建直角坐标系并利用两点距离公式求轨迹方程；第二、三问，根据所得轨迹方程分析出P在长方形内的轨迹为关键. 1（19-20高二·全国·课后作业）已知定点，，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设动点P的坐标为，由题中条件利用直接法求出轨迹方程即可； （2）设点，，直线的方程为，与圆的方程联立可得，再利用韦达定理和斜率公式计算即可得出. 【详解】（1）设动点P的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得， 所以动点P的轨迹C的方程为； （2）设点，，直线的方程为， 由消去y，整理得，（） 由得，① 由（）知，，② 所以， 即，③ 将②代入③，整理得，④ 由④得，解得，⑤ 由①和④，解得或，⑥ 要使，，有意义，则，， 所以0不是方程（）的根， 所以，即，⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范围是. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 2．（18-19高一下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程； （3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为， 【分析】（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状； （2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程； （3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用 ，解出方程组可得出所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，化简可得：， 所以动点的轨迹方程为. 曲线是以为圆心，为半径的圆； （2）①当直线斜率不存在时，，不成立； ②当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到的距离为 ∵ ∴,  即，解得或， ∴的方程为或； （3）证明：∵在直线上，则设 ∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得， ∴经过的三点的圆是以为直径的圆， 则方程为， 整理可得, 令，且, 解得或 则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题． 重难点题型4 点与圆的位置关系 例11．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 例12．（22-23高二上·广东东莞·期中）（多选题）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 1．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 重难点突破5 圆的最值问题（几何关系） 例13．（22-23高二上·吉林·阶段练习）.已知是圆上的一点，则的最小值是 【答案】 【分析】即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出. 【详解】表示圆上的动点到点的距离， 由可化为，则圆心为，半径为， 点到圆心的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 即的最小值是. 故答案为：. 例14．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长求出轨迹方程再求出圆心和半径，最后应用圆心到直线距离求出距离的最大值. 【详解】，， 则，即，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故点到直线距离的最大值为． 故选：． 1．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质和勾股定理得到，根据平面向量的线性运算得到，然后将取最小值转化为取最小，然后求的最小值即可. 【详解】 解析：取中点为，连接，， 因为是圆的一条动弦，且， 所以， 又，，即， 因此取最小值，即是取最小值，所以只需取最小， 又点为直线上的任意一点， 所以原点到直线的距离即是的最小值， 即，即. 故选：D. 重难点突破6 与圆有关的对称问题与定点问题 例15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 例16．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 2．（23-24高一下·湖北·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，，是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为 【答案】CD 【分析】由复数的模长公式可判断A选项；由共轭复数的概念及复数的乘法法则可判断B选项； 对于C选项，利用共轭复数根的性质结合韦达定理，即可求得和的取值； 对于D选项，将复数模长公式的几何意义，将的模长转化为圆上的点，的最大值为圆心到点的距离再加上半径，即可判断. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：若，则，故B错误； C选项：因为是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，解得， 则，故C正确； D选项：设，因为， 所以，即，其表示圆心为，半径为2的圆. 而，其表示圆上的点到点的距离. 因为圆心到点的距离为， 所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 重难点突破7 与圆有关的综合问题（数形结合思想） 例17．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可. 【详解】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. 例18．（2024·辽宁丹东·模拟预测）（多选题）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 例19．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知是圆的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，分析可知点为线段靠近的三等分点，，再结合数量积的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的半径为，    设的中点为， 因为，， 则，，， 设，则，即， 可知点为线段靠近的三等分点， 则，， 设向量与的夹角为， 可得， 且，所以的最小值为. 故答案为：. 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 2．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）（多选题）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 3．（2024·广西·模拟预测）（多选题）点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 【答案】850 【分析】设出点，利用两点的距离公式求出，然后求解最值即可. 【详解】 ，，设， 则 ， 故当，时，取最大值，最大值为850， 此时点的坐标为 故答案为：850 例20．（22-23高二上·江西新余·开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. (2)若点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据点关于线的对称，求解，由几何法求圆心坐标，进而根据两点坐标即可求解直线方程， （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）点关于直线的对称点， 解得，所以， 由于圆过点，，因为圆心在直线：：上， 垂直平分线的方程为，联立与得圆的圆心：     则反射光线必经过点和点，， 由点斜式得为：，：， （2）设点，则，则又 ， 故当时，的最小值为20． 例21．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，且圆，求的最大值与最小值； 【答案】最大值为49，最小值为9 【分析】根据题意可知：表示圆上的动点与定点的距离，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为表示以为圆心，半径的圆， 所以表示圆上的动点与定点的距离（如图）．    连接，直线与圆交于， 因为， 则当位于位置时，取得最大值，为； 当位于位置时，取得最小值，为； 所以的最大值为49，最小值为9． 1．（22-23高二上·重庆·期末）已知点，直线l：，圆C：. (1)若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值； (2)若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由圆的一般方程写出圆心、半径，运用两直线垂直可求得a的值. （2）求点关于线的对称点，进而求得的最小值，运用点斜式写出直线方程，再求其与x轴交点. 【详解】（1）圆C：，∴，∴， ∵， ∴， ∴. （2）点关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当P、C、三点共线时等号成立， 此时，，则直线方程为：，即， 令，得，所以. 故的最小值为，此时点P坐标为. 2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知圆的圆心的坐标为，且经过点． (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解； （2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值． 【详解】（1）解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点， 可得圆的半径为， 所以圆的标准方程为． （2）解：由题意，圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，即可求出结果. 【详解】由题可设圆心为，半径为， 所以且，解得， 故圆的方程为，即， 故选：B. 3．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 4．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 5．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 6．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 7．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 8．（2024·四川乐山·三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选题）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 10．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 【答案】在圆的外部 【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得. 【详解】由圆的圆心到点的距离为， 知点在圆的外部. 故答案为：在圆的外部. 11．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 12．（18-19高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【分析】将已知圆的方程整理得到，联立，即可求出结果. 【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 13．（23-24高二·全国·假期作业）求下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (3)过点和直线相切，并且圆心在直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）， 圆的标准方程为. （2）设圆心为，则或， 圆心为或，又， 圆的标准方程为或. （3）圆心在上， 设圆心为， 设圆心到直线的距离为r. 则，① 又圆过点，② 由①②得或 圆的标准方程为或. 15．（2021高二上·全国·专题练习）已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 【答案】(1) (2)M为（1,0），最小值为5 【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求； (2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值． 【详解】（1）设圆的圆心为， 由题意可得，，解得． 圆的方程为； （2）设点，，，，则． ， 为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立， ，解得或(舍去)，， 此时为定值， ∴， 当且仅当、、三点共线时，的最小值为． 16．（18-19高二上·浙江台州·期中）如图，已知圆的圆心在坐标原点，点是圆上的一点． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若过点的动直线与圆相交于，两点．在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得，从而可得结果；(Ⅱ)先设，由可得，再证明对任意，满足即可，，则利用韦达定理可得， ，由角平分线定理可得结果. 【详解】(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得， 所以圆的方程为； (Ⅱ)先设，， 由 由（舍去） 再证明对任意，满足即可， 由， 则 则利用韦达定理可得， 化为 所以 ， 由角平分线定理可得， 即存在与点不同的定点，使得恒成立，. 【点睛】本题主要考查待定系数法求圆方程及韦达定理、直线和圆的位置关系及曲线线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$