精品解析：贵州省贵阳市南明区南明区小碧中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

贵阳市南明区小碧中学2023-2024学年度第二学期6月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. ＜ C. 2－a＞2－b D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC 中，BC＝6cm，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交边 AC 于 E，△BCE 的周长是 14cm，则 AC 的长等于（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 8. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 A. B. C. D. 9. 若分式方程有增根，则a值是(　　) A 4 B. 0或4 C. 0 D. 0或﹣4 10. 将一副直角三角板与正五边形按如图所示的方式摆放．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　） A. x＞ B. x＜ C. x＞﹣ D. x＜﹣ 12. 如图，在中，，，平分，对角线相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简：的结果是_______． 14. 四边形ABCD中，∠A＋∠B＝180°，添加一个条件___，则使四边形ABCD成为平行四边形． 15. 如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为____cm． 16. 如图，直角，沿着点到点的方向平移到的位置，， ，平移距离为，则阴影部分的面积是________． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程或不等式组： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知，xy＝3，求的值． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC. (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 21. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长． 22. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：_________； （2）因式分解：； （3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 24. 随着夏季的来临，某家电超市计划购进甲、乙两种品牌电风扇进行销售．在采购时发现，用10000元采购甲品牌电风扇的台数与用8000元采购乙品牌电风扇的台数相等，一台甲品牌电风扇的进价比一台乙品牌电风扇的进价高出100元． （1）求甲、乙两种品牌电风扇每台的进价； （2）该超市计划购进这两种品牌的电风扇共50台，并且甲品牌台数不超过乙品牌台数的2倍．若甲、乙两种品牌电风扇每台的售价分别为650元和500元，要使这两种品牌的电风扇售完后超市获取的利润最大，应怎样安排购进数量，并求出最大利润． 25. 如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． （1）若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （2）当时，连接，若，则当t为何值时，等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市南明区小碧中学2023-2024学年度第二学期6月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴． ∴ 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 2. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、最小旋转角度==120°； B、最小旋转角度==90°； C、最小旋转角度==180°； D、最小旋转角度==72°； 综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A． 故选：A． 【点睛】旋转对称图形． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. ＜ C. 2－a＞2－b D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次判断即可，熟记不等式的性质是解题的关键 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴， 故A，B， C错误；D正确， 故选D 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据提取公因式法和公式法分解因式，逐一判断选项，即可得到答案. 【详解】∵， ∴A错误， ∵， ∴B错误， ∵， ∴C错误， ∵， ∴D正确. 故选D. 【点睛】主要考查提取公因式法和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键. 5. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 四边形平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 7. 如图，在△ABC 中，BC＝6cm，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交边 AC 于 E，△BCE 的周长是 14cm，则 AC 的长等于（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】B 【解析】 【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，又由△BCE的周长等于14cm，可得AC+BC=14cm，继而求得答案． 【详解】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=DE， ∵△BCE的周长等于14cm， ∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14cm， ∵BC=6cm， ∴AC=8cm． 故选B 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 8. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程：．故选A． 9. 若分式方程有增根，则a的值是(　　) A. 4 B. 0或4 C. 0 D. 0或﹣4 【答案】A 【解析】 【详解】方程两边同时乘以x-3得，1+x-3=a-x， ∵方程有增根， ∴x-3=0，解得x=3． ∴1+3-3=a-3，解得a=4． 故选A. 10. 将一副直角三角板与正五边形按如图所示的方式摆放．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可以把两个三角板的直角顶点、的顶点和正五边形的一个顶点平移到一个顶点处，利用减去直角的度数和一个的角，再减去正五边形的一个内角的度数，减去和即可求得． 【详解】解：的直角三角形的另一个内角的度数是，等腰直角三角形的直角度数是，正五边形的一个内角的度数是：， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和平移的性质，熟练掌握多边形的内角和公式、灵活应用平移的性质是关键. 11. 如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　） A x＞ B. x＜ C. x＞﹣ D. x＜﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x﹣2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣）， ∴观察图像得出：当x＜时，3x﹣2＜kx+b， ∴不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与一元一次不等式，结合一次函数的图像可以很容易的得出一元一次不等式的解集. 12. 如图，在中，，，平分，对角线相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，根据角平分线的定义得出，得出是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∵平分， ∴ ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∴是的中点 ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴；故①正确， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴；故③正确， ∵ ∴，故④不正确， ∴ ∴，故⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 化简：的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键 14. 四边形ABCD中，∠A＋∠B＝180°，添加一个条件___，则使四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC， ∴只要添加∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°，即可得到另一组对边平行，所以四边形ABCD是平行四边形， 故答案为∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 15. 如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 16. 如图，直角，沿着点到点的方向平移到的位置，， ，平移距离为，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知， = ， 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程或不等式组： （1）； （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． （1）方程两边都乘得，求出方程的解，再进行检验即可； （2）先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：（1）方程两边都乘得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先将括号内通分化简，括号外除法改为乘法，再将括号外因式分解，最后约分即可；把代入化简后的式子求值即可． 【详解】 将代入，得：原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 19. 已知，xy＝3，求的值． 【答案】9 【解析】 【详解】解：． ∵，xy＝3， ∴． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC. (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）四边形ABCF是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM即可，连接BE延长BE交AM于F，连接FC； （2）只要证明△AEF≌△CEB即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示： （2）四边形ABCF是平行四边形． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB． 由作图可知∠DAC＝2∠FAC， ∴∠ACB＝∠FAC． ∴AF∥BC． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE． 在△AEF和△CEB中, ∠FAE=∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴AF＝BC． 又∵AF∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、全等三角形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 21. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF． （1）求证：DE=CF； （2）求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，进而得出DE=FC； （2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长 【详解】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴，， ∵延长BC至点F，使， ∴，； （2）解：∵，， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， ∴． 【点睛】考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质 22. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：_________； （2）因式分解：； （3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数平方． 【详解】解：（1） =(x-y+1)2； （2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2， 故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2； （3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2， ∵n为正整数， ∴n2+3n+1也为正整数， ∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，点C2的坐标为（1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，） 【解析】 【分析】(1)作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到; (2)把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可得到，根据图可写出C2的坐标; (3)成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标. 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，3）； （3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）． 【点睛】本题综合考查了轴对称图形和图形的旋转的作图，图形变换的性质，不管是哪一种变化，找对应点是关键. 24. 随着夏季的来临，某家电超市计划购进甲、乙两种品牌电风扇进行销售．在采购时发现，用10000元采购甲品牌电风扇的台数与用8000元采购乙品牌电风扇的台数相等，一台甲品牌电风扇的进价比一台乙品牌电风扇的进价高出100元． （1）求甲、乙两种品牌电风扇每台的进价； （2）该超市计划购进这两种品牌的电风扇共50台，并且甲品牌台数不超过乙品牌台数的2倍．若甲、乙两种品牌电风扇每台的售价分别为650元和500元，要使这两种品牌的电风扇售完后超市获取的利润最大，应怎样安排购进数量，并求出最大利润． 【答案】（1）甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元 （2）购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出分式方程并求解即可； （2）根据题意，列出关系式再通过不等式判断最值即可． 【小问1详解】 解：设乙品牌电风扇每台的进价为x元，则甲品牌电风扇每台的进价为元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的解． 此时，． 答：甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元． 【小问2详解】 设购进甲品牌的电风扇m台，两种品牌的电风扇全部售完后，可获利w元． 根据题意，得，解，得． ． ∵， ∴w随m的增大而增大． ∵， ∴当m取最大整数33时，w取得最大值． 此时，，． 答：购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用，正确解读题意列出关系式是解题的关键． 25. 如图，在四边形中，，点Q从点A出发，以的速度向点D运动，点P从点B出发，以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为． （1）若以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （2）当时，连接，若，则当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形，则，列出方程求解即可； （2）分两种情况讨论：若，过点P作于点E，若，过点Q作于点F，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 则， 点P未到达点C时，要使四边形是平行四边形， 则， ∴， 解得， ∴当四边形是平行四边形时，t的值是2； 【小问2详解】 如图①，若，过点P作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 如图②，若，过点Q作于点F， 同理可证四边形矩形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上所述：当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程，解决本题的关键是综合运用以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$