精品解析：湖北省武汉市第四十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级上学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 2. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可.. 【详解】因为，事件与对立， 所以， 又，与互斥， 所以， 故选：C. 3. 如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系： 设边长为1，则， 所以， 则， 故选：C 4. 从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法，列出5条线段中任取3条线段的所有情况，然后找出能构成三角形的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能， 其中，能构成三角形的只有，，共3种可能， 所以能构成三角形的概率为. 故选：A. 5. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程，得到直线必过的定点，可求出，，进而可求出的取值范围. 【详解】 因为直线，如图 直线：即恒过， 而， 因为直线与线段相交，结合图形， 故直线的斜率的范围为：或． 故选：B 6. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底表示空间向量，再利用数量积运算求解. 【详解】因为 所以 即 所以． 故选：C． 7. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，由于与均为边长为2的等边三角形，取中点，连接，，则，根据面面垂直的性质可得出平面，再确定为三棱锥的外接球的球心，结合已知求出三棱锥外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积. 【详解】解：在边长为2的菱形中，， 如图， 由已知可得，与均为边长为2的等边三角形， 取中点，连接，，则， ， 平面平面，交线为， 而平面，则平面， 分别取与的外心，， 过，分别作两面的垂线，相交于， 则为三棱锥的外接球的球心， 由与均为等边三角形且边长为2， 可得， ， ， 即三棱锥外接球的半径：， 三棱锥的外接球的表面积为：. 故选：C. 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，涉及等边三角形和菱形的性质以及面面垂直的性质，考查空间想象能力和运算能力，是中档题. 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量； B. “”是“与直线互相垂直”的充要条件； C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为； D. 直线在y轴上的截距为. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合方向向量的定义，可判定A正确；结合直线垂直的性质与运算，可判定B错误；根据题意，求得截距相等的直线方程，可判定C错误；根据截距的定义与求解，可判定D正确． 【详解】解：对于A中，直线的斜率为，所以向量是直线的一个方向向量，所以A正确； 对于B中，当直线与直线互相垂直，则， 解得或，故“”是“与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，直线l过点，且在轴上截距相等，当截距为0时，直线方程为； 当截距不为0时，可得直线方程为，所以C错误； 对于D中，由，令，可得，所以在轴上的截距为，所以D正确． 故选：AD． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“点数之和为奇数”，事件“出现3点”，则 B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球，则“两球不同色”的概率是 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靬率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98 D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】计算古典概率判断A；利用列举法结合古典概型计算判断B；利用对立事件及相互独立事件求出概率可判断CD. 【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种不同的结果， 事件“点数之和为奇数且出现3点”有共6种不同的结果，则，故A错误； 对于B，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有： ，共10个， 其中两球不同色的结果有：共6个， 所以“两球不同色”的概率是，故B正确； 对于C，依题意，“至少一人中靶”的概率为，故C正确； 对于D，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯， 第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故D错误. 故选：BC. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接， 于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确； 对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，B错误； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对于C，设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：AC 三、填空题 13. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，即，解得. 故答案为：. 14. 某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定同学随机选择选项一个或两个选项的基本事件总数，再确定其中“能得分”的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式即可计算出所求概率． 【详解】解：某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有，，，；选择两项有：，，，，，；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有，，，共3种，故“能得分”的概率为． 故答案为：． 15. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①； ②与成60°角； ③与成异面直线且； ④若与平面所成角为，则． 其中正确的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】首先还原几何体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与是异面直线，直线不平行，故①错误； 连接、,将平移到，则与所成角,为等边三角形，即可,故②正确； 连接,将平移到，则与所成角,为等边三角形，同理成角，故③错误； 平面，与平面所成角为， 故④正确. 故答案为: ②④ 16. 在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析双方战至时后四局的具体过程，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求概率可得结论. 【详解】记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为后甲先发球的情况下， 甲以赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：. ②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，， 乙以赢下此局分两种情况： ③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为： ④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为， 所以，所求事件概率为. 故答案为：. 四、解答题 17. 在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. （1）求对角线所在直线的一般方程； （2）求所在直线的一般方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求的中点，再利用垂直关系求直线的斜率，即可求解； （2）首先求点的坐标，再求直线的斜率，求得直线的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解. 【小问1详解】 由和得：中点 四边形为菱形， ， 且为中点， 对角线所在直线方程为：， 即：. 【小问2详解】 由， 解得：， ， ， ， 直线的方程为：， 即：. 18. 如图，在长方体中，，，点在上，且 （1）求直线与所成角的余弦值 （2）求点到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值. （2）先求出平面的法向量，然后利用向量法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 由题意，建立如图所示空间直角坐标系， ， 设直线与直线所成角为，则. 【小问2详解】 由题意，设平面的法向量为， 则，令，可得，又， 所以到平面的距离为. 19. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．（结果需用分数作答） （1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． （3）求两人各射击2次，甲未击中，乙击中2次的概率． （4）求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件和对立事件的概率即可求解； （2）（3）（4）根据独立重复试验和相互独立事件的概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件， 射击3次，相当于3重伯努利试验， 故. 【小问2详解】 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件， “乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件， 则，， 由于甲、乙射击相互独立，故. 【小问3详解】 记“甲未击中目标”为事件，“乙击中2次”为事件， 则，， 所以甲未击中、乙击中2次的概率为. 【小问4详解】 记“甲击中目标1次”为事件，“乙击中目标1次”为事件， 则，， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为. 20. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【小问1详解】 由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ． 则，，． 设平面的法向量是，则，即 令，则，．于是． ，． 又平面，平面． (2) ； (3)存在满足题意的点，且的值为，理由如下： 假设存在满足题意的点，且：， 设点N的坐标为，据此可得：， 由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 由题意可得： 解得：， 据此可得存在满足题意的点，且的值为. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为．则， 即据此可得平面的一个法向量, 设二面角的平面角大小为，易知： 则，即． 二面角的正弦值为． （3）略 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。 22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 连接，由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，； 又为中点，， 因为二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面平面 平面，又平面； 又平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明； （2）首先证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面， 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 3. 如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 6. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ） A. B. 夹角的余弦值为 C. A，B，C，D共面 D. 点O到直线的距离是 10. 下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量； B. “”是“与直线互相垂直”的充要条件； C. 已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为； D. 直线在y轴上的截距为. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“点数之和为奇数”，事件“出现3点”，则 B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球.从中依次不放回取出2个球，则“两球不同色”的概率是 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靬率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98 D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 12. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ） A. 当点是中点时，直线平面； B. 直线到平面的距离是； C. 存在点，使得； D. 面积的最小值是 三、填空题 13. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________． 14. 某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______． 15. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①； ②与成60°角； ③与成异面直线且； ④若与平面所成角为，则． 其中正确的序号是__________． 16. 在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至的概率为__________． 四、解答题 17. 在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. （1）求对角线所在直线的一般方程； （2）求所在直线的一般方程. 18. 如图，在长方体中，，，点在上，且 （1）求直线与所成角的余弦值 （2）求点到平面的距离 19. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．（结果需用分数作答） （1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． （3）求两人各射击2次，甲未击中，乙击中2次的概率． （4）求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 20. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. （1）求证：平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $