精品解析：2024 年贵州省铜仁市沿河县九年级中考二模数学试题

沿河土家族自治县2024年初中学业水平考试学科素养提升适应性训练(一) 九年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．) 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 年月日，日本东京电力公司称已于当天完成第四轮福岛第一核电站核污染水排海，也就是年度（到今年月日止）内的批排海作业已宣布结束．共同社称，自去年月至今，东电已进行轮核污染水排海，累计排放约吨核污染水，将数据“”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 6. “书是灯，读书照亮了前面的路；书是桥，读书接通了彼此的岸；书是帆，读书推动了人生的船．读书是一门人生的艺术，因为读书，人生才更精彩！”在世界读书日（月日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是 7. 如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≤ B. k＜ C. k≤且k≠1 D. k≥ 11. 如图，线段是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 4 D. 12. 如图表示的是小红和小星外出散步时，离家的距离与时间的函数关系．（图代表小红，图代表小星） ①小红从家出发，再回到家中共用了分钟； ②小星从家出发，当出发分钟后，就立即往回走； ③小红与小星离家最远距离都是米； ④小红与小星从家出发前分钟速度相同； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程是一路同行的； 以上描述，符合函数图象的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ③④⑤ 二、填空题(每小题4分，共16分) 13. 分解因式=____________． 14. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 三、解答题(本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （1）计算：． （2）已知，，．若，求的值． 18. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 19. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． （1）求k的值及点D的坐标． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机的正东方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：，） 23. 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． （1）的度数为_____； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 24. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． 25. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沿河土家族自治县2024年初中学业水平考试学科素养提升适应性训练(一) 九年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．) 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】的相反数是3． 故选A． 【点睛】本题考查求一个数的相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 3. 年月日，日本东京电力公司称已于当天完成第四轮福岛第一核电站核污染水排海，也就是年度（到今年月日止）内的批排海作业已宣布结束．共同社称，自去年月至今，东电已进行轮核污染水排海，累计排放约吨核污染水，将数据“”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，其一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值． 根据科学记数法规则即可求出答案． 【详解】解：用科学记数法表示， 即：， 故选：B． 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2． 【详解】解：如图，∵a∥b， ∴∠1=∠3=60°， ∴∠2=180°-∠3=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功． 5. 小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离的定义进行分析解答，题目中根据题意的分析，可以运用点到直线的距离的定义以及跳远比赛的规则作出分析和判断. 【详解】解：根据题意的分析可知，小亮的跳远成绩是线段的长. 故选：C 6. “书是灯，读书照亮了前面的路；书是桥，读书接通了彼此的岸；书是帆，读书推动了人生的船．读书是一门人生的艺术，因为读书，人生才更精彩！”在世界读书日（月日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算中位数，众数，平均数，方差，逐项判断即可． 【详解】解：A. 中位数是第和第个数的平均数，为，故选项符合题意； B. 出现的次数最多，故众数是，故选项不符合题意； C. 平均数，故选项不符合题意； D. 方差，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差等知识点，熟练掌握相关概念并能灵活运用是解题的关键． 7. 如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标特征与象限的关系判断即可． 【详解】∵第二象限的坐标符号特征为， ∴符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标特征与象限的关系，熟练掌握坐标的符号特征与象限的关系是解题的关键． 8. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理； 根据题意可知是的中位线，然后由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半计算即可． 【详解】解：∵点D， E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 9. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，明确题意，找到等量关系是解题的关键． 根据等量关系——“若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 10. 若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≤ B. k＜ C. k≤且k≠1 D. k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根， ∴且， 解得：k≤且k≠1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 11. 如图，线段是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，圆周角定理的推论，线段垂直平分线的性质，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角定理的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】如图，连接． 根据作图知垂直平分， ，， ， ， 即， 线段是半圆的直径， ， 在中，根据勾股定理得，， 故选：D． 12. 如图表示的是小红和小星外出散步时，离家的距离与时间的函数关系．（图代表小红，图代表小星） ①小红从家出发，再回到家中共用了分钟； ②小星从家出发，当出发分钟后，就立即往回走； ③小红与小星离家最远距离都是米； ④小红与小星从家出发前分钟速度相同； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程是一路同行的； 以上描述，符合函数图象的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，根据图象读懂信息是解题的关键． 根据图象逐一判断即可． 【详解】解：①由图象可知小红从家出发，再回到家中共用了分钟，故①正确； ②由图象可知小星从家出发，当出发分钟后，停留了分钟再往回走，故②错误； ③由，图象可知小红与小星离家最远距离都是米，故③正确； ④由，图象可知小红与小星从家出发前分钟速度都是(米/分钟)，故④正确； ⑤如果小红与小星同一时刻从同一地点出发，从两个图象上看，他们整个过程可能是一路同行，也可能朝相反的方向运动，故⑤错误； ∴正确的描述有①③④． 故选：C． 二、填空题(每小题4分，共16分) 13. 分解因式=____________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 14. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 思想政治，地理 思想政治，化学 思想政治，生物 地理 地理，思想政治 地理，化学 地理，生物 化学 化学，思想政治 化学，地理 化学，生物 生物 生物，思想政治 生物，地理 生物，化学 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果， 某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题(本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （1）计算：． （2）已知，，．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，求算术平方根，求绝对值，实数的混合运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握实数的混合运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）首先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先根据题意可得，然后按照解一元一次方程的一般步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2），，， ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 18. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）100 （2）360 （3） 答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 【解析】 【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数； （2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可； （3）从图中观察或计算得出，合理即可． 【小问1详解】 被抽查学生数：， 答：本次调查共抽查了100名学生． 【小问2详解】 被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：， ∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：， ∴（人）． 答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题． 19. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 若选②，即OE=OF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵OE=OF，∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选①，即AE=CF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选③，即BE∥DF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵BE∥DF； ∴∠BEO=∠DFO， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE=DF； 【解析】 【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键． 20. 如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为． （1）求k的值及点D的坐标． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标； （2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围； 【小问1详解】 解：把C（2，2）代入，得，， ∴反比例函数函数为（x＞0）， ∵AB⊥x轴，BD=1， ∴D点纵坐标为1， 把代入，得， ∴点D坐标为（4，1）； 【小问2详解】 解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间， ∴点P的横坐标：； 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元 （2）购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据“用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同”列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为元，根据“总利润甲、乙两种粽子利润之和”列出函数解析式，根据“甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍”求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【小问1详解】 解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根， 此时，， 答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， ， ， 根据题意得： ， 与的函数关系式为， 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ， 解得：， （为正整数）， ，，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 此时，， 答：购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识点，找到等量关系，列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 22. 我校中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机的正东方向继续飞行60米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为，线段的长为无人机距地面的垂直高度，点、、在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】（1）无人机的飞行高度为米； （2）河流的宽度约为351米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，从而可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ， 在中，米， （米， 无人机的飞行高度为米； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 则米，， 在中，， （米， 米， （米， （米， 河流的宽度约为351米． 23. 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． （1）的度数为_____； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是证明阴影的面积＝扇形  的面积． （1）由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， 已知，由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 24. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1） （2）米，分 （3）或 【解析】 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把的坐标代入可得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式； （2）取函数值为，看球落地时的值为多少，根据点的位置，取正值即为球抛出去的距离，根据所给表格可判断应得分数； （3）根据题意得出，，进而根据的范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， ， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 点在轴的正半轴， 舍去， ，即小强在这次训练中的成绩为米， ， 小强的得分是分； 【小问3详解】 解：抛物线经过两点，， ， ， 由题意可知，图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为， 有以下四种情况： 如图，当时，的值随的值的增大而增大， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， 即：， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，的值随的值的增大而减小， 依题意，， 即：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及分类讨论思想是解题的关键． 25. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1） （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $